哈爾濱工業(yè)大學(xué) 04 結(jié)構(gòu)力學(xué)——平面有限元1

1、哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院1 / 75harbin institute of technology 哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院2 / 75哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院3 / 75淺梁淺梁深梁深梁平截面假設(shè)成立平截面假設(shè)成立桿類問題分析桿類問題分析平面問題分析平面問題分析平截面假設(shè)未必成立平截面假設(shè)未必成立結(jié)構(gòu)力學(xué)與彈性力學(xué)的區(qū)別結(jié)構(gòu)力學(xué)與彈性力學(xué)的區(qū)別q4lh l4lh xyyzlq哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院4 / 75一、平面應(yīng)力問題一、平面應(yīng)力問題xyztabzybtba ,表面力作用在薄片邊緣上且平行薄片，不沿厚表面力作用在薄片邊緣上且平行薄

2、片，不沿厚度變化，體積力亦如此。度變化，體積力亦如此。0 z 0 zx 0 zy 三個應(yīng)力分三個應(yīng)力分量只發(fā)生在量只發(fā)生在xy面上，故面上，故稱平面應(yīng)力稱平面應(yīng)力問題。問題。彈性力學(xué)平面問題的兩種類型彈性力學(xué)平面問題的兩種類型pfpf哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院5 / 75二、平面應(yīng)變問題二、平面應(yīng)變問題xyablba ,0 z 0 zx 0 zy 無限長柱體，荷載作用在柱體側(cè)面上且垂直柱軸無限長柱體，荷載作用在柱體側(cè)面上且垂直柱軸線。沿垂直縱線方向切出一薄片線。沿垂直縱線方向切出一薄片由于對稱由于對稱三個應(yīng)變分三個應(yīng)變分量只發(fā)生在量只發(fā)生在xy面上，故面上，故稱平面應(yīng)變稱平面應(yīng)變問

3、題。問題。l哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院6 / 75 一個復(fù)雜的彈性物體可以看成是由無限個一個復(fù)雜的彈性物體可以看成是由無限個質(zhì)點(diǎn)組成的連續(xù)體，它具有無限多自由度。為質(zhì)點(diǎn)組成的連續(xù)體，它具有無限多自由度。為了進(jìn)行解算，可以將它簡化為有限個單元組成了進(jìn)行解算，可以將它簡化為有限個單元組成的集合體，這些單元只在有限個結(jié)點(diǎn)處鉸接，的集合體，這些單元只在有限個結(jié)點(diǎn)處鉸接，這個集合體就只具有有限個自由度。由無限個這個集合體就只具有有限個自由度。由無限個質(zhì)點(diǎn)的連續(xù)體轉(zhuǎn)化為有限個單元的集合體，就質(zhì)點(diǎn)的連續(xù)體轉(zhuǎn)化為有限個單元的集合體，就稱為稱為離散化離散化。在數(shù)學(xué)意義上說，就是把微分方。在數(shù)學(xué)意義上

4、說，就是把微分方程的連續(xù)形式轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組。程的連續(xù)形式轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組。哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院7 / 75規(guī)定規(guī)定 單元之間僅在結(jié)點(diǎn)處鉸接；單元之間僅在結(jié)點(diǎn)處鉸接； 單元之間的力只通過結(jié)點(diǎn)傳遞；單元之間的力只通過結(jié)點(diǎn)傳遞； 外荷載只加在結(jié)點(diǎn)上外荷載只加在結(jié)點(diǎn)上哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院8 / 75三角形三結(jié)點(diǎn)單元三角形三結(jié)點(diǎn)單元矩形四結(jié)點(diǎn)單元矩形四結(jié)點(diǎn)單元四邊形單元四邊形單元三角形六結(jié)點(diǎn)單元三角形六結(jié)點(diǎn)單元曲邊四邊形八結(jié)點(diǎn)單元曲邊四邊形八結(jié)點(diǎn)單元哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院9 / 75 單元劃分越細(xì)，結(jié)點(diǎn)布置單元劃分越細(xì)，結(jié)點(diǎn)布置越多，計算結(jié)果越精確，

5、但越多，計算結(jié)果越精確，但計算量增加。所以在劃分單計算量增加。所以在劃分單元時應(yīng)兼顧這兩個方面。元時應(yīng)兼顧這兩個方面?？疾煲皇軓澃辶嚎疾煲皇軓澃辶航Y(jié)點(diǎn)數(shù)結(jié)點(diǎn)數(shù)精確解精確解2 23 44 6哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院10 / 75 在邊界比較曲折，應(yīng)力比較集中，應(yīng)力變化較大在邊界比較曲折，應(yīng)力比較集中，應(yīng)力變化較大區(qū)域，單元應(yīng)劃分的細(xì)一些，而在應(yīng)力變化平緩區(qū)單區(qū)域，單元應(yīng)劃分的細(xì)一些，而在應(yīng)力變化平緩區(qū)單元可劃分的大一些。元可劃分的大一些?？疾靻卧植济芏瓤疾靻卧植济芏裙ご蠊ご?土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院11 / 75細(xì)長比細(xì)長比 = 最大尺寸最大尺寸/ 最小尺寸最小尺寸 三角元

6、三條邊長應(yīng)盡量接近，不應(yīng)出現(xiàn)鈍角；矩形三角元三條邊長應(yīng)盡量接近，不應(yīng)出現(xiàn)鈍角；矩形單元的長寬比不宜過大，長寬比越接近，精度越高。單元的長寬比不宜過大，長寬比越接近，精度越高。精確解精確解考察單元邊長比的影響考察單元邊長比的影響哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院12 / 75 任意一個三角形單元的角點(diǎn)必須同時也是相鄰單任意一個三角形單元的角點(diǎn)必須同時也是相鄰單元的角點(diǎn)，而不能是相鄰單元的邊上內(nèi)點(diǎn)。其它單元元的角點(diǎn)，而不能是相鄰單元的邊上內(nèi)點(diǎn)。其它單元劃分亦循此原則。劃分亦循此原則。哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院13 / 75 如計算對象具有不同的厚度或不同的彈性系數(shù)，如計算對象具有不

7、同的厚度或不同的彈性系數(shù)，則厚度或彈性突變處應(yīng)是單元的邊線。則厚度或彈性突變處應(yīng)是單元的邊線。 應(yīng)在分布荷載有突變處或是受有集中荷載處布置應(yīng)在分布荷載有突變處或是受有集中荷載處布置結(jié)點(diǎn)，其附近單元也應(yīng)劃分的小一些結(jié)點(diǎn)，其附近單元也應(yīng)劃分的小一些哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院14 / 75 問題問題 由于在形狀復(fù)雜的彈性體內(nèi)，各點(diǎn)位移變化情由于在形狀復(fù)雜的彈性體內(nèi)，各點(diǎn)位移變化情況也非常復(fù)雜，很難選擇一個恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)來表況也非常復(fù)雜，很難選擇一個恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)來表示整個彈性體內(nèi)位移的變化。示整個彈性體內(nèi)位移的變化。 提示提示 如果彈性體比較規(guī)整規(guī)模也比較小，那么可以如果彈性體比較規(guī)整規(guī)模也比較

8、小，那么可以采用比較簡單的函數(shù)近似地表示區(qū)域真實位移采用比較簡單的函數(shù)近似地表示區(qū)域真實位移 思路思路 將彈性體整個區(qū)域分割成許多小區(qū)域，以滿足將彈性體整個區(qū)域分割成許多小區(qū)域，以滿足規(guī)整和小規(guī)模的要求，則在每個小區(qū)域局部范規(guī)整和小規(guī)模的要求，則在每個小區(qū)域局部范圍內(nèi)就可以采用比較簡單的函數(shù)近似地表示區(qū)圍內(nèi)就可以采用比較簡單的函數(shù)近似地表示區(qū)域真實位移。域真實位移。 再將各區(qū)域的位移連接起來，便可近似地表示再將各區(qū)域的位移連接起來，便可近似地表示整個區(qū)域的真實位移。整個區(qū)域的真實位移。哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院15 / 75定義定義 這個劃分的小區(qū)域稱這個劃分的小區(qū)域稱單元單元。在

9、小單元范圍內(nèi)把。在小單元范圍內(nèi)把某一點(diǎn)的位移近似地表達(dá)為結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)，某一點(diǎn)的位移近似地表達(dá)為結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)，這表達(dá)式稱為這表達(dá)式稱為位移模式位移模式。這種化繁為簡，聯(lián)合局部逼近整體的思想，正是有限元的絕妙之處。哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院16 / 75 aaadfaedd21tbtp eesfsdf ttsd 哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院17 / 75 單元間靠結(jié)點(diǎn)傳遞位移，故結(jié)點(diǎn)可視為單元間靠結(jié)點(diǎn)傳遞位移，故結(jié)點(diǎn)可視為鉸結(jié)點(diǎn)。鉸結(jié)點(diǎn)。 在各種單元形式中，以三角形單元最簡在各種單元形式中，以三角形單元最簡單，且通過調(diào)整邊長能對任意形狀邊界單，且通過調(diào)整邊長能對任意形狀邊

10、界作精確描述。作精確描述。哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院18 / 75jujviuiv)(kky,x)(iiy,x)(jjy,xkukvjki)(y,xuv結(jié)點(diǎn)位移：結(jié)點(diǎn)位移： rrrvu 單元結(jié)點(diǎn)位移：單元結(jié)點(diǎn)位移：單元內(nèi)點(diǎn)位移：單元內(nèi)點(diǎn)位移： vud t kjie 哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院19 / 75結(jié)點(diǎn)力：結(jié)點(diǎn)力： ryrxrfff單元結(jié)點(diǎn)力：單元結(jié)點(diǎn)力：單元體積力：單元體積力： yxefffbbb t kjieffffixf)(kky,x)(iiy,x)(jjy,xjki)(y,xiyfjxfjyfkxfkyfxfbyfb哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院2

11、0 / 75三角形單元共有三角形單元共有6 6個結(jié)點(diǎn)位移，所以有個結(jié)點(diǎn)位移，所以有6 6個自由度。個自由度。故選位移模式：故選位移模式：yxu321 yxv664 討論單元內(nèi)任意一點(diǎn)的位移模式討論單元內(nèi)任意一點(diǎn)的位移模式 65432110000001 yxyxvud 0n 待定系數(shù)廣義坐標(biāo)結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)矩陣哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院21 / 75將單元結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)代入：將單元結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)代入： 654321100000011000000110000001 kkkkjjjjiiiikjieyxyxyxyxyxyx 1n en 11 哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院22 / 75 321111

12、 kkjjiikjieuyxyxyxuuu un 2 654111 kkjjiikjievyxyxyxvvv vn 2 ayxyxyxdkkjjii2111 ijk保證三角形面積為正保證三角形面積為正)()(kijkijkkkjjiyxyxyxyxyxyx 哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院23 / 75kkkjjjiiiyxuyxuyxud 1kkjjiiyuyuyud1112 kkjjiiuxuxuxd1113 )(2111kkjjiiuauauaadd )(2122kkjjiiubububadd )(2133kkjjiiucucucadd ayxyxyxdkkjjii2111 哈工大

13、哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院24 / 75kkkjjjiiiyxvyxvyxvd 4kkjjiiyvyvyvd1115 kkjjiivxvxvxd1116 )(2144kkjjiivavavaadd )(2155kkjjiivbvbvbadd )(2166kkjjiivcvcvcadd ayxyxyxdkkjjii2111 哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院25 / 75 kjikjikjikjikjikjicccbbbaaacccbbbaaaan0000000000000000002111 en 11 jkkjkkjjiyxyxyxyxa kjkjiyyyyb 11jkkjixxxx

14、c 11a,b,c 分別是分別是d的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式ijk哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院26 / 75 eenn nd 110 kjikjinnnnnnn000000)(21ycxbaaniiii )(21ycxbaanjjjj )(21ycxbaankkkk 單元形函數(shù)單元形函數(shù)單元位移形狀單元位移形狀函數(shù)矩陣函數(shù)矩陣 inininkji 哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院27 / 75kkjjiiunununu kkjjiivnvnvnv kkjjiikjikjivuvuvunnnnnnvu000000 end 哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院28 / 75由行列式

15、性質(zhì)：行列式任一行（列）的元素與由行列式性質(zhì)：行列式任一行（列）的元素與其相應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和等于行列式的其相應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和等于行列式的值；而行列式任一行（列）的元素與其它行值；而行列式任一行（列）的元素與其它行（列）對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和等于零（列）對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和等于零。注意：注意： a, ,b, ,c 分別是分別是2 2a的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院29 / 75形狀函數(shù)的性質(zhì)形狀函數(shù)的性質(zhì)1. 形函數(shù)在單元結(jié)點(diǎn)上具有形函數(shù)在單元結(jié)點(diǎn)上具有“本點(diǎn)為本點(diǎn)為1 1，它點(diǎn)為，它點(diǎn)為零零”的性質(zhì)的性質(zhì)。0)(21)( jijiijj

16、iycxbaay,xn0)(21)( kikiikkiycxbaay,xn1)(21)( iiiiiiiiycxbaay,xn)(21)(ycxbaay,xniiii 哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院30 / 75類似有類似有0 ),(iijyxn1 ),(jjjyxn0 ),(kkjyxn0 ),(iikyxn0 ),(jjkyxn1 ),(kkkyxnijk1 iu),(yxniijk1 ju),(yxnjijk1 ku),(yxnk哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院31 / 752. 2. 在單元內(nèi)任一點(diǎn)三個形函數(shù)之和等于在單元內(nèi)任一點(diǎn)三個形函數(shù)之和等于 1 1即即1 ),()

17、,(),(yxnyxnyxnkji說明只有說明只有2 2個結(jié)點(diǎn)的形函數(shù)是獨(dú)立的個結(jié)點(diǎn)的形函數(shù)是獨(dú)立的。若若1 kjiuuukjinnnyxu ),(則則yxyxu321 ),(yddxdddd321 0321 dddd;1 ),(yxu由此可知由此可知: :所設(shè)所設(shè)位移可反映單元位移可反映單元的剛體位移的剛體位移. .哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院32 / 75如在如在 ij 邊邊3. 3. 在三角形單元內(nèi)任一邊上的形函數(shù)只與該邊的兩端在三角形單元內(nèi)任一邊上的形函數(shù)只與該邊的兩端點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)且是線性的，而與其它結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)無關(guān)。點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)且是線性的，而與其它結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)無關(guān)。ijkijiijix

18、xxxyyyy iikkyxxcby )(i、j邊的直線方程為邊的直線方程為 )(21)(iikkkkkkyxxcbcxbay,xn 021 ikikkycxba在在i、j邊上形函數(shù)邊上形函數(shù)根據(jù)性質(zhì)根據(jù)性質(zhì)1哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院33 / 75注意應(yīng)用注意應(yīng)用ijiixxxxyxn 1),(ijijxxxxyxn ),(0 ),(yxnkjkkjkkjjiyxyxyxyxa kjkjiyyyyb 11jkkjixxxxc 11則有則有ijk哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院34 / 75在在 ij 邊的位移邊的位移jjiiuyxnuyxnu),(),( jjiivyxnv

19、yxnv),(),( 由此性質(zhì)可知：單元邊界是線性變化的。由此性質(zhì)可知：單元邊界是線性變化的。相鄰單元在公共結(jié)點(diǎn)有相同位移，所以能相鄰單元在公共結(jié)點(diǎn)有相同位移，所以能保證相鄰單元的位移協(xié)調(diào)。保證相鄰單元的位移協(xié)調(diào)。哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院35 / 75為以后方便理解和確定復(fù)雜單元內(nèi)任意一點(diǎn)處形函數(shù)的值，在此引入面積坐標(biāo)的概念ijkpiajakakjiaaaa aalii aaljj aalkk 1 kjilll在單元內(nèi)任一點(diǎn)在單元內(nèi)任一點(diǎn) p(x , y) 可可用用三個數(shù)（三個數(shù)（li，lj，lk）來）來確定確定哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院36 / 75)(21ycxb

20、aaaaliiiii 因為因為)(2111121ycxbayxyxyxaiiikkjji 所以所以)(21ycxbaaaaljjjjj )(21ycxbaaaalkkkkk 可見面積可見面積坐標(biāo)就是坐標(biāo)就是形函數(shù)形函數(shù)哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院37 / 75ijkp 由面積坐標(biāo)的定義不難發(fā)現(xiàn)，平行于某邊直線由面積坐標(biāo)的定義不難發(fā)現(xiàn)，平行于某邊直線（ik）上的所有點(diǎn)具有相同的坐標(biāo)（）上的所有點(diǎn)具有相同的坐標(biāo)（lj），并且該坐），并且該坐標(biāo)就等于標(biāo)就等于“該直線到至該直線到至（ik）邊的距離）邊的距離”與與“點(diǎn)點(diǎn) j 到到（ik）邊的距離）邊的距離”之比之比。0 jl1 jl43/ j

21、l21/ jl41/ jl哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院38 / 75三個結(jié)點(diǎn)的面積坐標(biāo)分別為三個結(jié)點(diǎn)的面積坐標(biāo)分別為： i001 kjilll,010 kjilll,100 kjilll, j k不難驗證面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的變換關(guān)系不難驗證面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的變換關(guān)系 yxcbacbacballlkkkjjjiiikji121kkjjiilxlxlxx kkjjiilylylyy 1 kjilll哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院39 / 75 vuxyyxxyyx00 kkjjiikjikjibcbcbccccbbbab00000021 da t ee bna t kjibbb

22、 微分算子矩陣哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院40 / 75幾何矩陣只與結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)，它的元素都是常幾何矩陣只與結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)，它的元素都是常數(shù)，所以單元內(nèi)每點(diǎn)的應(yīng)變也必為常數(shù)，所以數(shù)，所以單元內(nèi)每點(diǎn)的應(yīng)變也必為常數(shù)，所以三結(jié)點(diǎn)三角元稱常應(yīng)變?nèi)窃Y(jié)點(diǎn)三角元稱常應(yīng)變?nèi)窃? . iiiiibccbab0021 jjjjjbccbab0021 kkkkkbccbab0021 d e b d e s 哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院41 / 75應(yīng)變勢能應(yīng)變勢能 e evb db atvv ttt21d21 外力勢能外力勢能 )dd(ststbt svesdfvdffv 體系勢能體系勢

23、能 vvep e eb db t a tt21 )dd(ststbt svesdfvdff 哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院42 / 75由最小勢能原理由最小勢能原理0p e eeeeffke t ab dbk et 0)(tettt ffb db t a e 哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院43 / 75（1 1）單元上任意點(diǎn)的集中荷載）單元上任意點(diǎn)的集中荷載 yxfffp直接加在相應(yīng)位移方向上直接加在相應(yīng)位移方向上 dp ep非結(jié)點(diǎn)荷載等效到結(jié)點(diǎn)上非結(jié)點(diǎn)荷載等效到結(jié)點(diǎn)上ijk pt0etfdpe ijk)(00y,xoyfxf ey,xnd )(000 pt00e)(fy,xn

24、p 所以所以哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院44 / 75（2 2）單元上體積力）單元上體積力 ),(),(yxqyxqqyx yxtyxqfdd),(dp pted),(dfyxnp 所以所以 ayxtyxqyxnpdd),(),(te 哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院45 / 75單元應(yīng)力單元應(yīng)力 xyyxes x xy yx yn哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院46 / 75應(yīng)力圓半徑應(yīng)力圓半徑平均應(yīng)力平均應(yīng)力222xyyxr )(最大主應(yīng)力最大主應(yīng)力2myx r m1 最小主應(yīng)力最小主應(yīng)力r m2 主方向角主方向角)(211 yxyctg)(212 yxyctg 2

25、1 2 y m x o xy?哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院47 / 75一一. .結(jié)點(diǎn)的選擇和單元劃分結(jié)點(diǎn)的選擇和單元劃分1.1.集中力作用點(diǎn)、分布力突變點(diǎn)、支承點(diǎn)應(yīng)選集中力作用點(diǎn)、分布力突變點(diǎn)、支承點(diǎn)應(yīng)選作結(jié)點(diǎn)。作結(jié)點(diǎn)。2.2.不同厚度、不同材料的部分不應(yīng)劃在同一不同厚度、不同材料的部分不應(yīng)劃在同一個單元。個單元。3.3.應(yīng)力變化大處單元應(yīng)密集一些。結(jié)點(diǎn)的多少應(yīng)力變化大處單元應(yīng)密集一些。結(jié)點(diǎn)的多少與疏密要考慮計算機(jī)的容量和計算精度。與疏密要考慮計算機(jī)的容量和計算精度。哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院48 / 754.4.單元邊界的邊長之比應(yīng)盡可能靠近單元邊界的邊長之比應(yīng)盡可能

26、靠近1 1。不宜不宜5.5.相鄰單元的尺寸盡可能接近。相鄰單元的尺寸盡可能接近。6.6.結(jié)點(diǎn)所連接的單元個數(shù)盡可能一致。結(jié)點(diǎn)所連接的單元個數(shù)盡可能一致。適宜適宜適宜適宜不宜不宜哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院49 / 75二二. .結(jié)點(diǎn)編碼結(jié)點(diǎn)編碼盡可能使相關(guān)結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)編碼差值最小，以縮盡可能使相關(guān)結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)編碼差值最小，以縮小剛度矩陣的帶寬。從而提高儲存和運(yùn)算效率小剛度矩陣的帶寬。從而提高儲存和運(yùn)算效率總剛半帶寬總剛半帶寬=(=(相關(guān)結(jié)點(diǎn)最大差值相關(guān)結(jié)點(diǎn)最大差值+1)+1)* *結(jié)點(diǎn)位移數(shù)結(jié)點(diǎn)位移數(shù)哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院50 / 75總剛半帶寬總剛半帶寬=(=(相關(guān)結(jié)點(diǎn)

27、最大差值相關(guān)結(jié)點(diǎn)最大差值+1)+1)* *結(jié)點(diǎn)位移數(shù)結(jié)點(diǎn)位移數(shù)總剛半帶寬總剛半帶寬=16=16總剛需占用的存總剛需占用的存貯空間為貯空間為:16 14 2=448總剛半帶寬總剛半帶寬=6=6總剛需占用的存總剛需占用的存貯空間為貯空間為:6 14 2=1681 2 3 4 5 6 78 9 10 11 12 13 141 3 5 7 9 11 132 4 6 8 10 12 14哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院51 / 75三三. .充分利用結(jié)構(gòu)的對稱性充分利用結(jié)構(gòu)的對稱性fpfpfpfpfp哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院52 / 75四四. .應(yīng)力結(jié)果的整理應(yīng)力結(jié)果的整理位移的計

28、算結(jié)果一般比應(yīng)力、內(nèi)力結(jié)果精度位移的計算結(jié)果一般比應(yīng)力、內(nèi)力結(jié)果精度高。位移達(dá)到滿意結(jié)果，由幾何方程求應(yīng)變，再由高。位移達(dá)到滿意結(jié)果，由幾何方程求應(yīng)變，再由物理方程求應(yīng)力，結(jié)果的精度較差。上述三角形單物理方程求應(yīng)力，結(jié)果的精度較差。上述三角形單元為常應(yīng)力，矩形單元應(yīng)力線性變化，而工程問題元為常應(yīng)力，矩形單元應(yīng)力線性變化，而工程問題的應(yīng)力是比較復(fù)雜的。為更好地反應(yīng)實際應(yīng)力情況，的應(yīng)力是比較復(fù)雜的。為更好地反應(yīng)實際應(yīng)力情況，需要對計算結(jié)果進(jìn)行整理。常用處理方法有兩種需要對計算結(jié)果進(jìn)行整理。常用處理方法有兩種: :繞結(jié)點(diǎn)平均法繞結(jié)點(diǎn)平均法和和兩單元平均法兩單元平均法。哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工

29、程學(xué)院53 / 75以交于同一結(jié)點(diǎn)各單以交于同一結(jié)點(diǎn)各單元此結(jié)點(diǎn)處某應(yīng)力分元此結(jié)點(diǎn)處某應(yīng)力分量的代數(shù)平均值，作量的代數(shù)平均值，作為此結(jié)點(diǎn)該實際應(yīng)力為此結(jié)點(diǎn)該實際應(yīng)力的近似值。對于邊界的近似值。對于邊界處的結(jié)點(diǎn)，由內(nèi)結(jié)點(diǎn)處的結(jié)點(diǎn)，由內(nèi)結(jié)點(diǎn)結(jié)果的外得到。結(jié)果的外得到。 )(611111111fedcba 結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)4 4的應(yīng)力由結(jié)點(diǎn)的應(yīng)力由結(jié)點(diǎn)1 1、2 2、3 3的應(yīng)力外插得到的應(yīng)力外插得到1 1、繞結(jié)點(diǎn)平均法、繞結(jié)點(diǎn)平均法（相關(guān)單元應(yīng)力平均值作為（相關(guān)單元應(yīng)力平均值作為結(jié)點(diǎn)應(yīng)力值）結(jié)點(diǎn)應(yīng)力值）abcdef1234哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院54 / 752 2、兩單元平均法、兩單元平均

30、法（相鄰單元應(yīng)力平均值作為（相鄰單元應(yīng)力平均值作為邊界應(yīng)力值）邊界應(yīng)力值）三角形單元時，以兩相鄰單元應(yīng)力平均值作為三角形單元時，以兩相鄰單元應(yīng)力平均值作為邊中點(diǎn)的應(yīng)力近似值。矩形單元時，以兩相鄰單元邊中點(diǎn)的應(yīng)力近似值。矩形單元時，以兩相鄰單元公共邊兩端結(jié)點(diǎn)四個應(yīng)力的平均值作為邊中點(diǎn)的應(yīng)公共邊兩端結(jié)點(diǎn)四個應(yīng)力的平均值作為邊中點(diǎn)的應(yīng)力近似值。對于邊界處的結(jié)點(diǎn)，同樣由內(nèi)結(jié)點(diǎn)結(jié)果力近似值。對于邊界處的結(jié)點(diǎn)，同樣由內(nèi)結(jié)點(diǎn)結(jié)果的外插得到。的外插得到。abcdef12345678哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院55 / 75例題例題1 1page 104哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院56 /

31、75 希望隨著離散網(wǎng)格的逐步細(xì)分，所得到的解答希望隨著離散網(wǎng)格的逐步細(xì)分，所得到的解答能收斂于問題的精確解。能收斂于問題的精確解。 單元形狀確定后，位移模式的選擇非常關(guān)鍵單元形狀確定后，位移模式的選擇非常關(guān)鍵（因為荷載的位置、應(yīng)力矩陣、剛度矩陣的建（因為荷載的位置、應(yīng)力矩陣、剛度矩陣的建立都依賴于單元的位移模式），要盡量與位移立都依賴于單元的位移模式），要盡量與位移分布相吻合。分布相吻合。 計算經(jīng)驗表明，在給定位移模式后計算的剛度計算經(jīng)驗表明，在給定位移模式后計算的剛度系數(shù)通常比精確值大，所以在給定荷載作用下，系數(shù)通常比精確值大，所以在給定荷載作用下，計算模型的應(yīng)變將比實際結(jié)構(gòu)的變形小。當(dāng)網(wǎng)計

32、算模型的應(yīng)變將比實際結(jié)構(gòu)的變形小。當(dāng)網(wǎng)格分得越來越細(xì)時，位移的近似解將由下界趨格分得越來越細(xì)時，位移的近似解將由下界趨于真解。于真解。哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院57 / 75為保證計算的收斂，要求位移模式必須滿足以下條件1 位移模式必須包含單元的剛體位移。保證產(chǎn)生位移模式必須包含單元的剛體位移。保證產(chǎn)生剛體位移時，彈性體內(nèi)不會產(chǎn)生應(yīng)變。剛體位移時，彈性體內(nèi)不會產(chǎn)生應(yīng)變。2 位移模式中必須包含單元的常應(yīng)變。保證隨單位移模式中必須包含單元的常應(yīng)變。保證隨單元尺寸的縮小，單元應(yīng)變應(yīng)趨于常數(shù)。元尺寸的縮小，單元應(yīng)變應(yīng)趨于常數(shù)。3 位移模式在單元內(nèi)要連續(xù)，且在相鄰單元間位位移模式在單元內(nèi)要連

33、續(xù)，且在相鄰單元間位移協(xié)調(diào)。通常當(dāng)單元交界面上的位移取決于該交界移協(xié)調(diào)。通常當(dāng)單元交界面上的位移取決于該交界面上結(jié)點(diǎn)的位移時，就能保證位移的協(xié)調(diào)性。面上結(jié)點(diǎn)的位移時，就能保證位移的協(xié)調(diào)性。能滿足1、2條件的單元稱完備單元能滿足3條件的單元稱協(xié)調(diào)單元哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院58 / 75優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：可以方便地擬和各種不規(guī)則邊界：可以方便地擬和各種不規(guī)則邊界缺點(diǎn)缺點(diǎn)：因應(yīng)力、應(yīng)變?yōu)槌?shù)，一般與實：因應(yīng)力、應(yīng)變?yōu)槌?shù)，一般與實際物體受力相差較大，為得到滿意際物體受力相差較大，為得到滿意結(jié)構(gòu)，必須把網(wǎng)絡(luò)劃分得很密，因結(jié)構(gòu)，必須把網(wǎng)絡(luò)劃分得很密，因而自由度增大，運(yùn)算時間加長。而自由度增大，運(yùn)

34、算時間加長。哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院59 / 75常應(yīng)變?nèi)窃膽?yīng)力是常數(shù)，當(dāng)用它分析變化大的常應(yīng)變?nèi)窃膽?yīng)力是常數(shù)，當(dāng)用它分析變化大的問題時，必須加密網(wǎng)格的劃分才能得到較好的計算問題時，必須加密網(wǎng)格的劃分才能得到較好的計算結(jié)果。這樣做將使結(jié)點(diǎn)數(shù)增加，未知量增多，工作結(jié)果。這樣做將使結(jié)點(diǎn)數(shù)增加，未知量增多，工作量增大。如果采用的單元的形函數(shù)為線性或高次多量增大。如果采用的單元的形函數(shù)為線性或高次多項式，那么單元精度會提高，單元個數(shù)會減少，分項式，那么單元精度會提高，單元個數(shù)會減少，分析效率提高。但對復(fù)雜邊界的描述不如三角元好。析效率提高。但對復(fù)雜邊界的描述不如三角元好。實際工作

35、中梁和剪力墻等都為規(guī)則的矩形形狀，因?qū)嶋H工作中梁和剪力墻等都為規(guī)則的矩形形狀，因此采用矩形單元進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)劃分是十分方便的。下面此采用矩形單元進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)劃分是十分方便的。下面介紹的雙線性矩形單元得到的應(yīng)力是線性變化的，介紹的雙線性矩形單元得到的應(yīng)力是線性變化的，比三角形單元更接近于實際物體的應(yīng)力狀態(tài)。比三角形單元更接近于實際物體的應(yīng)力狀態(tài)。哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院60 / 75xyoaabb1243 o11211143ax by 正則正則( (自然自然) )坐標(biāo)系坐標(biāo)系哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院61 / 75 )4321(,i vuiii 4321 e單元結(jié)點(diǎn)位移向量單元結(jié)

36、點(diǎn)位移向量 4321fffffe單元結(jié)點(diǎn)力向量單元結(jié)點(diǎn)力向量 )4321(,i fffyixii 哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院62 / 75由結(jié)點(diǎn)位移確定廣義座標(biāo)由結(jié)點(diǎn)位移確定廣義座標(biāo)1.1.單元位移模式單元位移模式 廣義座標(biāo)法廣義座標(biāo)法xyyxy,xvxyyxy,xu87654321)()( end 由廣義座標(biāo)確定形函數(shù)由廣義座標(biāo)確定形函數(shù)由形函數(shù)表示位移場由形函數(shù)表示位移場哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院63 / 75正則座標(biāo)下單元四條邊的方程：正則座標(biāo)下單元四條邊的方程： 函數(shù)試湊法函數(shù)試湊法01010101 )1)(1(1 n根據(jù)形函數(shù)性質(zhì)：本點(diǎn)為根據(jù)形函數(shù)性質(zhì)：本點(diǎn)為1，它點(diǎn)為，它點(diǎn)為0)1)(1(2 n)1)(1(3 n)1)(1(4 n哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院64 / 75代入結(jié)點(diǎn)座標(biāo)得代入結(jié)點(diǎn)座標(biāo)得41 )1)(1(00 in引人引人)4321(00,i ii 則有則有)4321(,i 廣義座