新課標高中數(shù)學 1.1.2余弦定理教學設計 新人教A版必修5

1、人教版高中數(shù)學必修精品教學資料1.1.2余弦定理從容說課課本在引入余弦定理內容時,首先提出探究性問題“如果已知三角形的兩條邊及其所夾的角,根據(jù)三角形全等的判定方法,這個三角形是大小、形狀完全確定的三角形.我們仍然從量化的角度來研究這個問題,也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和兩個角的問題”這樣,用聯(lián)系的觀點,從新的角度看過去的問題,使學生對過去的知識有了新的認識,同時使新知識建立在已有知識的堅實基礎上,使學生能夠形成良好的知識結構設置這樣的問題,是為了更好地加強數(shù)學思想方法的教學比如對于余弦定理的證明,常用的方法是借助于三角的方法,需要對三角形進行討論,方法不夠簡潔,通

2、過向量知識給予證明,引起學生對向量知識的學習興趣,同時感受向量法證明余弦定理的簡便之處.教科書就是用了向量的方法,發(fā)揮了向量方法在解決問題中的威力在證明了余弦定理及其推論以后,教科書從余弦定理與勾股定理的比較中,提出了一個思考問題“勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關系,余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關系,如何看這兩個定理之間的關系？”并進而指出,“從余弦定理以及余弦函數(shù)的性質可知,如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么第三邊所對的角是直角；如果小于第三邊的平方,那么第三邊所對的角是鈍角；如果大于第三邊的平方,那么第三邊所對的角是銳角.由上可知,余弦定理是勾股定理的

3、推廣”還要啟發(fā)引導學生注意余弦定理的各種變形式,并總結余弦定理的適用題型的特點,在解題時正確選用余弦定理達到求解、求證目的.啟發(fā)學生在證明余弦定理時能與向量數(shù)量積的知識產生聯(lián)系,在應用向量知識的同時,注意使學生體會三角函數(shù)、正弦定理、向量數(shù)量積等多處知識之間的聯(lián)系.教學重點 余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其基本應用. 教學難點 1.向量知識在證明余弦定理時的應用,與向量知識的聯(lián)系過程;2.余弦定理在解三角形時的應用思路;3.勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程中的作用教具準備 投影儀、幻燈片兩張第一張:課題引入圖片(記作1.1.2a)如圖(1),在rtabc中,有a2+b2=c2問題:在圖(2)、(

4、3)中,能否用b、c、a求解a?第二張:余弦定理(記作1.1.2b)余弦定理:三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.形式一: a2=b2+c2-2bccosa,b2=c2+a2-2cacosb,c2=a2+b2-2abcosc,形式二:cosa=,cosb=,cosc=.三維目標一、知識與技能1.掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法;2.會利用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題;3.能利用計算器進行運算.二、過程與方法1.利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論;2.通過實踐演算掌握運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題.三、情感態(tài)度與價值觀

5、1.培養(yǎng)學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；2.通過三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的關系,來理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一教學過程導入新課師 上一節(jié),我們一起研究了正弦定理及其應用,在體會向量應用的同時,解決了在三角形已知兩角、一邊和已知兩邊與其中一邊對角這兩類解三角形問題.當時對于已知兩邊夾角求第三邊問題未能解決,下面我們來看幻燈片1.1.2a,如圖(1),在直角三角形中,根據(jù)兩直角邊及直角可表示斜邊,即勾股定理,那么對于任意三角形,能否根據(jù)已知兩邊及夾角來表示第三邊呢?下面我們根據(jù)初中所學的平面幾何的有關知識來研究這一問題.在abc中,設bc=a,ac=b,ab=c

6、,試根據(jù)b、c、a來表示a.師 由于初中平面幾何所接觸的是解直角三角形問題,所以應添加輔助線構成直角三角形,在直角三角形內通過邊角關系作進一步的轉化工作,故作cd垂直于ab于d,那么在rtbdc中,邊a可利用勾股定理用cd、db表示,而cd可在rtadc中利用邊角關系表示,db可利用ab-ad轉化為ad,進而在rtadc內求解.解：過c作cdab,垂足為d,則在rtcdb中,根據(jù)勾股定理可得a2=cd2+bd2.在rtadc中,cd2=b2-ad2,又bd2=(c-ad)2=c2-2c·ad+ad2,a2=b2-ad2+c2-2c·ad+ad2=b2+c2-2c·

7、ad.又在rtadc中,ad=b·cosa,a2=b2+c2-2abcosa.類似地可以證明b2=c2+a2-2cacosb.c2=a2+b2-2abcosc.另外,當a為鈍角時也可證得上述結論,當a為直角時,a2+b2=c2也符合上述結論,這也正是我們這一節(jié)將要研究的余弦定理,下面我們給出余弦定理的具體內容.(給出幻燈片1.1.2b)推進新課1.余弦定理:三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.在幻燈片1.1.2b中我們可以看到它的兩種表示形式:形式一:a2=b2+c2-2bccosa,b2=c+a2-2cacosb,c2=a2+b2-2abc

8、osc.形式二:,.師 在余弦定理中,令c =90°時,這時cosc=0,所以c2=a2+b2,由此可知余弦定理是勾股定理的推廣.另外,對于余弦定理的證明,我們也可以仿照正弦定理的證明方法二采用向量法證明,以進一步體會向量知識的工具性作用. 合作探究2.向量法證明余弦定理(1)證明思路分析師 聯(lián)系已經學過的知識和方法,可用什么途徑來解決這個問題？用正弦定理試求,發(fā)現(xiàn)因a、b均未知,所以較難求邊c由于余弦定理中涉及到的角是以余弦形式出現(xiàn),從而可以考慮用向量來研究這個問題由于涉及邊長問題,那么可以與哪些向量知識產生聯(lián)系呢?生 向量數(shù)量積的定義式a·b=|a|b|cos,其中為a

9、、b的夾角.師 在這一點聯(lián)系上與向量法證明正弦定理有相似之處,但又有所區(qū)別.首先因為無須進行正、余弦形式的轉換,也就少去添加輔助向量的麻煩.當然,在各邊所在向量的聯(lián)系上仍然通過向量加法的三角形法則,而在數(shù)量積的構造上則以兩向量夾角為引導,比如證明形式中含有角c,則構造這一數(shù)量積以使出現(xiàn)cosc.同樣在證明過程中應注意兩向量夾角是以同起點為前提.(2)向量法證明余弦定理過程:如圖,在abc中,設ab、bc、ca的長分別是c、a、b.由向量加法的三角形法則,可得,即b2=c2+a2-2accosb.由向量減法的三角形法則,可得,即a2=b2+c2-2bccosa.由向量加法的三角形法則,可得,即c

10、2=a2+b2-2abcosc. 方法引導(1)上述證明過程中應注意正確運用向量加法(減法)的三角形法則.(2)在證明過程中應強調學生注意的是兩向量夾角的確定,與屬于同起點向量,則夾角為a;與是首尾相接,則夾角為角b的補角180°-b;與是同終點,則夾角仍是角c. 合作探究師 思考：這個式子中有幾個量？從方程的角度看已知其中三個量,可以求出第四個量,能否由三邊求出一角？生（留點時間讓學生自己動手推出）從余弦定理,又可得到以下推論：.師 思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關系,余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關系,如何看這兩個定理之間的關系？生（學生思考片刻后會總

11、結出）若abc中,c =90°,則cosc=0,這時c2=a2+b2.由此可知余弦定理是勾股定理的推廣,勾股定理是余弦定理的特例師 從余弦定理和余弦函數(shù)的性質可知,在一個三角形中,如果兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么第三邊所對的角是直角；如果兩邊的平方和小于第三邊的平方,那么第三邊所對的角是鈍角,如果兩邊的平方和大于第三邊的平方,那么第三邊所對的角是銳角從上可知,余弦定理可以看作是勾股定理的推廣現(xiàn)在,三角函數(shù)把幾何中關于三角形的定性結果都變成可定量計算的公式了師 在證明了余弦定理之后,我們來進一步學習余弦定理的應用(給出幻燈片1.1.2b)通過幻燈片中余弦定理的兩種表示形式我們可以

12、得到,利用余弦定理,可以解決以下兩類有關三角形的問題:(1)已知三邊,求三個角.這類問題由于三邊確定,故三角也確定,解唯一,課本p8例4屬這類情況.(2)已知兩邊和它們的夾角,求第三邊和其他兩個角.這類問題第三邊確定,因而其他兩個角唯一,故解唯一,不會產生類似利用正弦定理解三角形所產生的判斷取舍等問題.接下來,我們通過例題來進一步體會一下.例題剖析【例1】在abc中,已知b=60 cm,c=34 cm,a=41°,解三角形（角度精確到1°,邊長精確到1 cm）.解：根據(jù)余弦定理,a2=b2+c2-2bccosa=602+342-2·60·34cos41&

13、#176;3 600+1 156-4 080×0.754 71 676.82,所以a41 cm.由正弦定理得sinc=0.544 0,因為c不是三角形中最大的邊,所以c是銳角.利用計數(shù)器可得c33°,b=180°-a-c=180°-41°-33°=106°.【例2】在abc中,已知a =134.6 cm,b=87.8 cm,c =161.7 cm,解三角形.解：由余弦定理的推論,得cosa=0.554 3,a56°20;cosb=0.839 8,b32°53;c =180°-(a+b)=180&

14、#176;-(56°20+32°53)=90°47. 知識拓展補充例題：【例1】在abc中,已知a=7,b=10,c=6,求a、b和c.(精確到1°)分析:此題屬于已知三角形三邊求角的問題,可以利用余弦定理,意在使學生熟悉余弦定理的形式二.解：,a44°.cosc=0.807 1,c36°.b=180°-(a+c)=180°-(44°+36°)=100°. 教師精講 (1)為保證求解結果符合三角形內角和定理,即三角形內角和為180°,可用余弦定理求出兩角,第三角用三角形內角和

15、定理求出.(2)對于較復雜運算,可以利用計算器運算.【例2】在abc中,已知a=2.730,b=3.696,c=82°28,解這個三角形(邊長保留四個有效數(shù)字,角度精確到1).分析:此題屬于已知兩邊及其夾角解三角形的類型,可通過余弦定理形式一先求出第三邊,在第三邊求出后其余角求解有兩種思路:一是利用余弦定理的形式二根據(jù)三邊求其余角,二是利用兩邊和一邊對角利用正弦定理求解,但根據(jù)1.1.1斜三角形求解經驗,若用正弦定理需對兩種結果進行判斷取舍,而在0°180°之間,余弦有唯一解,故用余弦定理較好.解：由c2=a2+b2-2abcosc=2.7302+3.6962-2

16、×2.730×3.696×cos82°28,得c4.297.cosa=0.776 7,a39°2.b=180°-(a+c)=180°-(39°2+82°28)=58°30. 教師精講通過例2,我們可以體會在解斜三角形時,如果正弦定理與余弦定理都可選用,那么求邊用兩個定理均可,求角則用余弦定理可免去判斷取舍的麻煩.【例3】在abc中,已知a=8,b=7,b=60°,求c及sabc.分析:根據(jù)已知條件可以先由正弦定理求出角a,再結合三角形內角和定理求出角c,再利用正弦定理求出邊c,而三角形

17、面積由公式sabc=acsinb可以求出.若用余弦定理求c,表面上缺少c,但可利用余弦定理b2=c2+a2-2cacosb建立關于c的方程,亦能達到求c的目的.下面給出兩種解法.解法一:由正弦定理得,a1=81.8°,a2=98.2°,c1=38.2°,c2=21.8°.由,得c1=3,c2=5,sabc=或sabc=.解法二:由余弦定理得b2=c+a2-2cacosb,72=c+82-2×8×ccos60°,整理得c2-8c+15=0,解之,得c1=3,c2=5.sabc=或sabc= . 教師精講在解法一的思路里,應注意

18、由正弦定理應有兩種結果,避免遺漏;而解法二更有耐人尋味之處,體現(xiàn)出余弦定理作為公式而直接應用的另外用處,即可以用之建立方程,從而運用方程的觀點去解決,故解法二應引起學生的注意.綜合上述例題,要求學生總結余弦定理在求解三角形時的適用范圍;已知三邊求角或已知兩邊及其夾角解三角形,同時注意余弦定理在求角時的優(yōu)勢以及利用余弦定理建立方程的解法,即已知兩邊、一角解三角形可用余弦定理解之.課堂練習1.在abc中:(1)已知c=8,b=3,b=60°,求a;(2)已知a=20,bb=29,c=21,求b;(3)已知a=33,c=2,b=150°,求b;(4)已知a=2,b=2,c=3+1

19、,求a.解： (1)由a2=b2+c2-2bccosa,得a2=82+32-2×8×3cos60°=49.a=7.(2)由,得.b=90°.(3)由b2=c2+a2-2cacosb,得b2=(33)2+22-2×33×2cos150°=49.b=7.(4)由,得.a=45°.評述:此練習目的在于讓學生熟悉余弦定理的基本形式,要求學生注意運算的準確性及解題效率.2.根據(jù)下列條件解三角形(角度精確到1°).(1)a=31,b=42,c=27;(2)a=9,b=10,c=15.解：(1)由,得0.675 5,a

20、48°.由-0.044 2,b93°.c=180°-(a+b)=180°-(48°+93°)39°.(2)由得0.813 3,a36°.由0.763 0,b40°.c=180°-(a+b)=180°-(36°+40°)104°.評述:此練習的目的除了讓學生進一步熟悉余弦定理之外,還要求學生能夠利用計算器進行較復雜的運算.同時,增強解斜三角形的能力.課堂小結通過本節(jié)學習,我們一起研究了余弦定理的證明方法,同時又進一步了解了向量的工具性作用,并且明確了利用余弦

21、定理所能解決的兩類有關三角形問題:（1）余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律,勾股定理是余弦定理的特例；（2）余弦定理的應用范圍：已知三邊求三角；已知兩邊、一角解三角形布置作業(yè)課本第8頁練習第1（1）、2（1）題.板書設計余弦定理1.余弦定理 2.證明方法: 3.余弦定理所能解決的兩類問題:(1)平面幾何法; (1)已知三邊求任意角;(2)向量法 (2)已知兩邊、一角解三角形 4.學生練習習題詳解（課本第8頁練習）1.解：（1）根據(jù)余弦定理：c2=a2+b2-2abcosc=2.72+3.6962-2×2.7×3.696×cos82.2°18.24

22、,所以c4.3（cm）.由正弦定理得sina=0.622 1.因為a不是三角形中最大的邊,所以a是銳角,利用計數(shù)器可得a38.5°,b=180°-a-c=180°-38.5°-82.2°=59.3°.(2)根據(jù)余弦定理,a2=b+c2-2bccosa=12.92+15.42-2×12.9×15.4×cos42.3°109.70,所以a10.5（cm）.由正弦定理得sinb=0.826 8.因為b不是三角形中最大的邊,所以b是銳角,利用計數(shù)器可得b55.8°,c =180°-a

23、-b=180°-55.8°-42.3°81.9°.2.解：（1）由余弦定理的推論得cosa=0.725,所以a43.5°.cosb=-0.178 6,所以b100.3°. c=180°-a-b=180°-43.5°-100.3°=36.2°.（2）由余弦定理的推論得cosa =0.908 6,所以a24.7°.cosb=0.707 8,所以b44.9°.c =180°-a-b=180°-24.7°-44.9°=110.4

24、76;.備課資料一、向量方法證明三角形中的射影定理在abc中,設三內角a、b、c的對邊分別是a、b、c.,.b-acosc=ccosa,即b=ccosa+acosc.類似地有c =acosb+bcosa,a=bcosc +ccosb.上述三式稱為三角形中的射影定理.二、解斜三角形題型分析正弦定理和余弦定理的每一個等式中都包含三角形的四個元素,如果其中三個元素是已知的(其中至少有一個元素是邊),那么這個三角形一定可解.關于斜三角形的解法,根據(jù)所給的條件及適用的定理可以歸納為下面四種類型:(1)已知兩角及其中一個角的對邊,如a、b、a,解abc.解：根據(jù)a+b+c=,求出角c;根據(jù),求b、c.如果已知的是兩角和它們的夾邊,如a、b、c,那么先求出第三角c,然后按照來求解.求解過程中盡可能應用已知元素.(2)已知兩邊和它們的夾角,如a、b、c,解abc.解：根據(jù)c2=a2+b2-2abcosc,求出邊c;根據(jù)cosa=,求出角a;由b=