41二重積分174007227

1、review:條件極值:等式約束情形定義域約束情形lagrange用乘子法定義域內(nèi)部相當于無條件極值問題lagrange邊界上用乘子法或其它方法rank(,) 1xyzg gg一個約束條件時( , )rank2( , , )g hx y z兩個約束條件時正則性條件000( , , ),( ,)0,g x y zg x y z試構(gòu)造使得且000000000( ,)( ,)( ,)0 xyzg x y zgx y zg x y z chap4.chap4.重積分重積分1.1.二重積分的概念和性質(zhì)二重積分的概念和性質(zhì) 二重積分是三重積分的基礎(chǔ).只有掌握好了二重積分才能學好三重積分.而且,二重積分完全

2、體現(xiàn)了重積分的所有思想.二重積分的幾何與物理意義 曲頂柱體的體積 平板質(zhì)量二重積分的概念二重積分的性質(zhì):( , ),( , ).,v( ). s zf x yx ydds 設(shè)曲面求以 為下底 以曲面 為上頂?shù)那斨w 的體積1.1.二重積分的幾何與物理背景二重積分的幾何與物理背景(1)(1)曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積step1.d對 進行分劃:12,.n 相應(yīng)地被分成了曲頂柱體1( )max().ii ntddt 稱為分劃 的直徑 其中,1,dnd將 分成 個小區(qū)域2,ndd1.niidtd 稱之為 的一個分劃()sup( ,),.iiddd p q p qd step2.取標志點( ,).

3、iiiidp 在中任取一點step3.求近似和iid以表示的面積,則v()(),iiif p11v( )v()().nniiiiif p step4.取極限,( )0,dt直觀上 當 的分劃越來越細 即時1()v( ).niiif p(2)(2)平板質(zhì)量平板質(zhì)量( , )( , ),dx ym x y薄板 上點處的密度為求薄板質(zhì)量.(1,2, )idnd in將 分成 個小區(qū)域11 ()()().nniiiiim dmdm p1,()().niiidm pm d當 的分割越來越細時step1.分劃:( ,).iiiidp 在中任取一點,iid用表示的面積 薄板質(zhì)量step2.取標志點:step

4、3.求近似和:step4.取極限:2.2.二重積分的概念二重積分的概念2 ( , )def.,f x yd 在有界閉區(qū)域上有定義d對 的1,niitd 任意分劃( ,)iiiipd 以及任意的點(1,2, ),in1( ,)niiiifriemann 若和的極限( )01lim( ,)niiitif ,都存在(),( ),fdriemannfr d則稱 在 上可積記作fd并稱該極限為 在 上的二重積分, 記作( )01( , ) lim( ,),niiitidf x y df 其中,df是二重積分號是積分域是被積函數(shù),.d是面積元 (remark:,)iiriemannd 定義中,和的極限與對

5、 的分劃無關(guān),與標志點的選取無關(guān).因此也可以用語言定義二重積分:211 ,.0,0, . .,( ,)(1,2, ),( ), ( ,),(),( , )e.d f.niiiiiniiiidfdastdtdd intfafdriemannafdf x y da 在有界閉區(qū)域上有定義若對 的任意分劃以及任意只要就有則稱 在 上可積 稱 為 在 上的二重積分,記為( , )rema,. ( , )r.k: dddf x y dfx yf x y df只與被積函數(shù) 和積分區(qū)域有關(guān) 而與自變量的記號無關(guān) 故有時也簡記為( , ),.( , )remark: ( , ).dijddf x y ddxyf

6、 x y df x y dxdy 設(shè)存在.用平行于坐標軸的網(wǎng)格對 作分劃 則面積微元為因此也記為,.rk: remax y二重積分對變量具有輪換不變性 即同時將積分區(qū)域與被積函數(shù)中的變量交換 所得積分值不變 ( , )( , )( , )x yu vy x,( , )( , ).case1.,dddyxf x y df y x dx y特別地 若區(qū)域 關(guān)于直線對稱 則 也就是說當積分區(qū)域具有輪換對稱性時 將被積函數(shù)中變量交換 積分值不變.,( , )( , ), case ( , )( , ),( , ) ( ,2.).def x yf y xx yf x y df x y dex yy xd

7、同樣地 若即被積函數(shù)具有輪換對稱性 則將積分區(qū)域中變量交換 積分值不變 即其中2,().()th()(m). dfr dfdfc dfr d可積的必要條件可積設(shè)為有界閉區(qū)域 則)在 上有界的充分條件1),(),(), .()dddf gr dfgr dfg dfdgd 則且線性性質(zhì)3.3.二重積分的性質(zhì)二重積分的性質(zhì)121212),()(),1,2, . ( ,(.), )inniniddddddd ddfr dfr dinf x y dxdyf x y dxdy且中任意兩區(qū)域無公共內(nèi)點,則 性 加且域可 區(qū)3),(), ( , )( , ).,(),0,( , )0.()dddf gr df

8、gf x y dxdyg x y dxdyfr dff x y dxdy保序性則特別地則 ,(),proof.: f gr dfg由二重積分的線性性質(zhì),0().fgr d,由二重積分的定義 0,dfg dxdy( , )( , ).ddf x y dxdyg x y dxdy再由線性性質(zhì)得4)(),( , )( , ).ddfr df x y dxdyf x y dxdy則 p,roof:ff,由線性性質(zhì)和保序性( , )( , ). ddf x y dxdyf x y dxdy5)(),( , ).(),()( , )().(dfr d mf x ymddmdf x y dxdymd記為 的

9、面積 則 估值定理)26),(),( , ), . . ( , )( , ) ().(ddfc dd stf x y dxdyfd 積分中值定)有界則理閉存在117)(), ( , ), ( , )0; ( , ),( , )2(), ).dddfr d doxf x yyf x y dxdyf x yyddoxf x y dxdyf x y dxdy設(shè)關(guān)于軸對稱若關(guān)于 為奇函數(shù) 則若關(guān)于 為偶函數(shù) 記為 位于軸上方的部分稱性,則對2 ,(),.( , ), . . ( , ) ( , )( , )( , ).1:dddf gc d gd stf x y g x y dxdyfg x y dx

10、dy 有界閉不變號則存在例,(),(),().: f gc dfgc dfgr d從而解則g不變,0.g 號 不妨設(shè)記( , )( , ) min( , ),max( , ),x ydx ydmf x y mf x y( , )( , ) ( , )( , ).mg x yf x y g x ymg x y則 ,由二重積分的保序性( , )( , ) ( , ) ( , ).dddmg x y dxdyf x y g x y dxdymg x y dxdy( , )0,dg x y dxdy若則( , ) ( , ),( , )ddf x y g x y dxdymmg x y dxdy, (

11、 , ), . . ( , ),( , ) ( , )( , )( , ).ddd st ff x y g x y dfg x y d 由連續(xù)函數(shù)的介值定理此時( , )0,( , )0. ( , ), ( , ) ( , ) ( , )( , )0. dddg x y dxdyg x ydf x y g x y dxdyfg x y dxdy 若則remark: g變號時,結(jié)論不一定成立. 1,1 1,1,( , )( , ).df x yg x yx 例如,則2( , ) ( , )0.ddf x y g x y dxdyx dxdy,事實上221122,1,1110.416dx yx y

12、x dxdyx dxdydxdy, ( , )( , )0.dddyg x yxxg x y dxdyxdxdy 而區(qū)域 關(guān)于 軸對稱關(guān)于 為奇函數(shù),所以( , ), 0( , ) ( , ) ( , )( , )0. dddf x y g x y dxdyfg x y dxdy 故2 , ,0, , , ,( ) 2: () .( )dfca bfda ba bf xdxdybaf y則例p ,( )( ).roof(:)( )dddf xf yddf yf x由于區(qū)域 是輪換對稱的 因此 ( )( )( )( ).( )( )dddf xf uf ydddf yf vf x( , )( , )( , )x yu vy x于是( )1( )( )( )2( )( )ddf xf xf ydxdydxdyf yf yf x221( )( )2( ) ( )dfxfydxdyf x f y212() .2ddxdyba22222201 limcos().:rxyrxyxy dxdyre求例3,(0 ,: 0)將被積函數(shù)看成薄板點密度 則所求為原點處的點密度 即被積函數(shù)在點分的值析1結(jié)果應(yīng)為 .222, (,), . .:,rrrrstr 由積中定解分值理且2222221cos()xyrxyxy dxdyre22cos()rrrre1,0. r當時二重積分的基本性質(zhì)二