最短路徑問題

1、最短路徑問題將軍飲馬問題及延伸省永州市雙牌縣茶林學校熊東旭最短路徑問題教學容解析：本節(jié)課的主要容是利用軸對稱研究某些最短路徑問題，最短路徑問題在現(xiàn)實生活中經(jīng)常遇到，初中階段，主要以“兩點之間，線段最短”“三角形兩邊之和大于第三邊”為知識基礎，有時還要借助軸對稱、平移變換進行研究。本節(jié)課以數(shù)學史中的一個經(jīng)典故事- “將軍飲馬問題”為載體開展對“最短路徑問題”的課題研究，讓學生經(jīng)歷將實際問題抽象為數(shù)學的線段和最小問題，再利用軸對稱將線段和最小問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間、線段最短”的問題。教學目標設置：1、能利用軸對稱解決最短路徑問題。2、在解題過程能總結出解題方法， ，能進行一定的延伸。3、體會“軸對稱

2、”的橋梁作用，感悟轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想。教學重點難點：重點：利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間、線段最短”問題。難點：如何利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為線段和最小問題。學情分析：1、八年級學生的觀察、操作、猜想能力較強，但演繹推理、歸納和運用數(shù)學意識的思想比較薄弱， 自主探究和合作學習能力也需要在課堂教學中進一步引導。此年齡段的學生具有一定的探究精神和合作意識，能在一定的親身經(jīng)歷和體驗中獲取一定的數(shù)學新知識，但在數(shù)學的說理上還不規(guī)， 集合演繹推理能力有待加強。2、學生已經(jīng)學習過“兩點之間，線段最短。”以及“垂線段最短”。以及剛剛學習的軸對稱和垂直平分線的性質(zhì)作為本節(jié)知識的基礎。教學條件分析:在

3、初次解決問題時， 學生出現(xiàn)了多種方法，通過測量，發(fā)現(xiàn)利用軸對稱將同側(cè)兩點轉(zhuǎn)化為異側(cè)兩點求得的線段和比較短；進而利用 PPT動畫演示，實驗驗證了結論的一般性；最后通過邏輯推理證明。教具準備：直尺、 ppt教學過程：環(huán) 節(jié)教師活動1. 【問題】：看到圖片，回憶如何用學過的數(shù)學知識解釋這個一 問題？復習引入2. 這樣的問題，我們稱為“最短路徑”問題。1. 探究一：二【故事引入】 ：唐朝詩人頎在古從軍行中寫道：“白日登探山望峰火，黃昏飲馬傍交河 ” 詩中就隱含著一個有趣的數(shù)學究問題，古時候有位將軍，每天從軍營回家，都要經(jīng)過一條筆新直的小河。而將軍的馬每天要到河邊喝水，那么問題來了，知問題：怎樣走才能使

4、總路程最短呢？學生活動設計意圖1、兩點之間，線段最短。2、兩邊之和大于第三邊。從學生已經(jīng)學過的知識入手，為進一步豐富、完善知識結構做鋪墊。認真讀題，仔細思考。從異側(cè)問題入手，由簡到難，逐步深入。將實際問題中的“地點”“河”抽象為數(shù)學中的“點”“線”，把實際問題抽象線段和最小問題。2. 探究二：【變換情境】：后來將軍把家搬到了河的對面，若還是要帶馬先到河邊喝水，然后再回家，應該怎樣走，才能使總路程最短呢？（1）【轉(zhuǎn)化】：你能將實際問題【回答】：學生思考并回抽象為數(shù)學問題嗎？答，如何將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題。已知：直線 L 和同側(cè)兩點A、B求作：直線 L 上一點 C，使 C 滿足 AC+BC的值最

5、小。二（2）【展示】：【學生展示】：讓學生猜想，并畫出圖形。作法 1：探巡視發(fā)現(xiàn)學生不同的作法（盡可能多），分別展示各小組的作究法。新給予學生一定的提示。作法 2：知學生主動探索，充分發(fā)揮學生的主動性。展示多種方法，產(chǎn)生思維沖突，引發(fā)學生進一步探究的學習欲望。作法 3：（3）【度量】：如何才能判斷哪【學生反思】：第 1 種作種猜想是正確的呢？（測量一法是利用“垂線段最短”，下）在幾何畫板中分別度量出得到 AC最短，利用“兩AC,BC的長度，并計算AC+BC。點之間線段最短” ，得到讓學生觀察數(shù)值如何變化。并BC 最短，但不能確定反思各自的作法是否正確。AC+BC是最短的。第 2 種作法只能說明

6、在河l 上取一點，到 A、B 兩地的距離相等，也就是AC BC。不能說明 AC+BC最短第 3 種作法應該是正確的。如果做點 B關于直線 L 的3. 解決問題對稱點，就是把點 B 移到【追問】用第 3 種作法的同學，了另一側(cè)，而且滿足了 BC你們是怎樣想到作點B 關于直BC。其實直線 L 上所線 L 的對稱點的？為什么要作有點到 B 和 B的距離都對稱點？相等。也可是根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，L 就是線段 BB的垂直平分線， 而垂直平分線上的點到線段兩個二端點的距離相等。利用軸對稱將同側(cè)線段探和最短 轉(zhuǎn)化 為異側(cè)線段和最短問題。借助軸對究稱，把折線轉(zhuǎn)化為線段的長來求解。新知（ 4）【推理論證】 ：

7、如何證明認真觀察，思考，要想確AC+BC最短呢？認 AC+BC最短，可以在直線 l 上任取一點 C不與（點 C重合）讓學生進一步體會做法的正確性，提高邏輯思維能力。讓學生在反思的過程中，體會軸對稱的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想，豐富數(shù)學活動經(jīng)驗。讓學生進一步體會作法的正確性，提高邏輯思維能力?！咎崾尽浚簺]有比較就不會產(chǎn)生1.獨立糾錯大小。通常我們要在直線上任2.兵教兵另取一點 C（與點 C 不重合），只要證明AC+BCAC+BC即可。通過動畫演示，從特殊到一般地驗證了前面的結論。變式鞏固老師動手操作，驗證結論的正確性。（1）學生自主證明，教師糾錯。（2）師生共同分析，學生說明證明過程，教師版書。（3）共

8、同完成證明過程。三發(fā)除了作點 B 關于直線 l 的對稱點以外，還有沒有別的作法？散思維四【問題】：我們是如何解決將軍得飲馬問題的？出結論【問題】：如圖，已知： P、 Q五是 ABC的邊 AB、 AC 上的點，你能在 BC上確定一點 R，使PQR的周長最短嗎？還可以作點 A 關于直線 l 的對稱點。先將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題。然后作其中一個點關于直線 l 的對稱點，連接對稱點和另一點與直線的交點就是滿足最短距離的點的位置。發(fā)散思維，培養(yǎng)學生一題多解的能力。讓學生反思剛才的探究過程。培養(yǎng)數(shù)學思維，和及時總結所學的知識的好習慣。在具體問題中實踐已有模型，固化已有模型。為進一步豐富、完善知識結構做鋪墊

9、?！締栴}】：如圖 , 一位將軍騎馬從駐地 A 出發(fā)，先牽馬去草地OM吃草，再牽馬去河邊ON喝水， 最后回到駐地 A 問：這位將軍怎樣走路程最短？六拓展【問題】：如圖， A 為馬廄， B提為帳篷，將軍某一天要從馬廄升牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請你幫助確定這一天的最短路線。1.【題目】：如圖，已知： MON七兩點 A、B.求作：點 C 和點 D,使得點C 在 OM上，點 D 在 ON上，且習題難度，由鞏AC+CD+BD+AB最短。易到難，逐步固深入。讓學生【題目】：如圖，如圖，OMCN進一步鞏固解2.是矩形的臺球桌面，有黑、C決最短路徑問練M白兩球分別位于 B、 A

10、 兩點題的基本策略和基本方法。的位置上，試問怎樣撞擊白A習球，使白球 A 依次碰撞球臺B邊 OM、ON后，反彈擊中黑NO球？1. 【問題】：本節(jié)課研究問題的八 基本過程是什么？當我們遇到一個實際問我們要先將實際問題變課題，首先，我們要將實際問題成一個數(shù)學問題， 然后觀培養(yǎng)學生總結變成一個數(shù)學問題（群答） ，也察實驗，提出猜想，之后在課題學習的堂就是抽象成一個數(shù)學模型，這通過證明，驗證猜想，從基本思路。樣可以幫助 我們進 行實驗觀而得出結論，最后再將結小察，進而運用合情推理得到一論運用到實際問題里。個猜想，然后我們可以通過嚴結謹?shù)倪壿嬜C明，驗證猜想，從而得出結論，最后再將結論運用到實際問題里。2. 【問題】：今天我們學習了最短路徑的相關