2018-2019北京市西城區(qū)一模數(shù)學(xué)文科試題及答案

1、北京市西城區(qū)高三統(tǒng)一測(cè)試2019.4數(shù)學(xué)（文科）第卷 （選擇題共 40 分）選 擇題：本大題共8 小題，每小題5 分，共 40 分 在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)1設(shè)全集U R ，集合 A x|0 x 2， B 3, 1,1,3，則集合（eUA） B（A） 3,1（B） 3,1,3（C）1,3（D） 1,11i2若復(fù)數(shù)z ，則在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于2i（ A）第一象限（ B）第二象限（ C）第三象限（ D ）第四象限3下列函數(shù)中，值域?yàn)镽 且在區(qū)間（0,） 上單調(diào)遞增的是A) y x2 2x ( B ) y 2x 1C) y x3 1( D) y (x 1)|x |數(shù)學(xué)（文

2、科）第 9 頁（共 12 頁）4. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的k 值為（ A） 4（ B） 5（ C） 7（ D） 9115. 在 ABC 中，已知a 2 ， sin（A B） ， sinA ，則 c3484（ A） 4（ B） 3（ C）（ D）33ama6. 設(shè) a, b, m 均為正數(shù)，則“b a ”是“ a m a ”的bmb（ A）充分而不必要條件（ B ）必要而不充分條件（ C）充要條件（ D）既不充分也不必要條件7. 如圖， 陰影表示的平面區(qū)域W是由曲線x y 0， x2 y2 2所圍成的. 若點(diǎn) P（x, y）在 W 內(nèi)（含邊界），則 z 4x 3y 的最大值和最小值分別

3、為（A） 52，7（B） 52，52（C） 7，52（D） 7，78. 如果把一個(gè)平面區(qū)域內(nèi)兩點(diǎn)間的距離的最大值稱為此區(qū)域的直徑，那么曲線| y| 2 x2圍成的平面區(qū)域的直徑為（ A）2（B）4（ C）22（D ）26第卷 （非選擇題共 110分）二、填空題：本大題共6 小題，每小題5 分，共 30 分 9設(shè)向量a ， b 滿足 | a | 2 ， | b | 3， < a, b60 ，則 a （a b） 22xy10設(shè)F1 ， F2為雙曲線C：22 1（a 0,b 0） 的兩個(gè)焦點(diǎn)，若雙曲線C 的兩個(gè)頂點(diǎn)恰ab好將線段F1F2 三等分，則雙曲線C 的離心率為11 能說明 “在ABC中

4、，若 sin 2A sin 2B ， 則 A B”為假命題的一組A， B 的值是12 某四棱錐的三視圖如圖所示，那么該四棱錐的體積為正 （主 ）視圖側(cè) （左 ）視圖俯視圖ln(x 2), x1,13設(shè)函數(shù)f(x)當(dāng) f (a)1 時(shí)， a ；如果對(duì)于任意的x R 都有2x 4, x1.f （x） b ，那么實(shí)數(shù)b 的取值范圍是14 團(tuán)體購買公園門票，票價(jià)如下表：購票人以上門票價(jià)格13 元 /人11 元 /人9 元 /人現(xiàn)某單位要組織其市場(chǎng)部和生產(chǎn)部的員工游覽該公園，這兩個(gè)部門人數(shù)分別為a 和 b（a b） ，若按部門作為團(tuán)體，選擇兩個(gè)不同的時(shí)間分別購票游覽公園，則共需

5、支付門票費(fèi)為 1290 元；若兩個(gè)部門合在一起作為一個(gè)團(tuán)體，同一時(shí)間購票游覽公園，則需支付門票費(fèi)為 990 元，那么這兩個(gè)部門的人數(shù)a ； b .三、 解答題： 本大題共6 小題， 共 80 分 解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟15 （本小題滿分13 分）已知函數(shù)f （x） sin x（cos x3sin x） .（）求函數(shù)f （x） 的最小正周期；（）求函數(shù)f （x） 在區(qū)間 ,5 上的最小值和最大值.16 （本小題滿分13 分）已知數(shù)列an 的前 n項(xiàng)和Sn n（n 1） 2，其中 n N* .（）求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式；（）若a2, ak 2, a3k 2（ k N ）為等比

6、數(shù)列bn 的前三項(xiàng)，求數(shù)列bn 的通項(xiàng)公式17 （本小題滿分13 分）為培養(yǎng)學(xué)生的閱讀習(xí)慣，某校開展了為期一年的 “弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化，閱讀經(jīng)典名著”活動(dòng) .活動(dòng)后，為了解閱讀情況，學(xué)校統(tǒng)計(jì)了甲、乙兩組各10 名學(xué)生的閱讀量（單位：本），統(tǒng)計(jì)結(jié)果用莖葉圖記錄如下，乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無法確認(rèn)，在圖中以a 表示 .甲乙78 6 212 2 1010121 2 4 42 3 6 6a0求圖中 a 的所有可能取值；15 本的學(xué)生稱為“閱讀達(dá)人”. 設(shè)a 3，現(xiàn)從所有的“閱讀達(dá)人”里任取 2 人，求至少有1 人來自甲組的概率；s02. 若在甲組中增加一個(gè)閱讀量為10的學(xué)生，并記新得到的甲組閱讀量的方差

7、為s12，試比較s02， s12的大小. （結(jié)論不要求證明）1（注：s2（x1x）2 （x2x）2（xnx）2， 其中 x 為數(shù)據(jù)x1, x2,xn的平均數(shù)）n18 （本小題滿分14 分）如圖，在多面體ABCDEF 中，底面ABCD 為矩形，側(cè)面ADEF 為梯形，AF / DE ，DE AD ， DC DE .（）求證：AD CE ；（）求證：BF / 平面CDE ；（）判斷線段BE 上是否存在點(diǎn)Q ，使得平面ADQ 平面 BCE ？并說明理由FC19 （本小題滿分13 分）設(shè)函數(shù) f （x） mex x2 3，其中 m R （）當(dāng)f （x） 為偶函數(shù)時(shí)，求函數(shù)h（x） xf （x）的極值；（

8、）若函數(shù)f （x） 在區(qū)間 2 , 4 上有兩個(gè)零點(diǎn)，求m 的取值范圍20 （本小題滿分14分）22已知橢圓W : x y 1 的長軸長為4，左、右頂點(diǎn)分別為A, B ，經(jīng)過點(diǎn)P（1,0）的動(dòng)4m m直線與橢圓W相交于不同的兩點(diǎn)C, D （不與點(diǎn)A, B 重合） .（）求橢圓W 的方程及離心率；（）求四邊形ACBD 面積的最大值；（）若直線CB 與直線 AD 相交于點(diǎn)M ，判斷點(diǎn)M 是否位于一條定直線上？若是，寫出該直線的方程. （結(jié)論不要求證明）北京市西城區(qū)高三統(tǒng)一測(cè)試數(shù)學(xué)（文科）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)2019.4一、選擇題：本大題共8 小題，每小題5 分，共 40 分 .1 B2 D3 C4

9、D5 C6 C7 A二、填空題：本大題共6 小題，每小題5 分，共 30 分 .10 311 答案不唯一，如A 60 ， B 3012 4133； (, 214 70； 4032注：第 13題第一問2分，第二問3 分 .6 小題，共80 分 . 其他正確解答過程，請(qǐng)參照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給分15 (本小題滿分13 分)解： () f (x) sin xcos x 3sin 2 x13sin 2x (1 cos2x)4 分223sin(2 x )，6 分32所以函數(shù)f (x) 的最小正周期T .8分 5 7()因?yàn)?x ，所以 2x 9 分3123363所以當(dāng) 2x ，即 x 時(shí)， f(x) 取得最大值1

10、3 .3 2122當(dāng) 2x ，即 x 時(shí)， f (x) 取得最小值313分33316 （本小題滿分13 分）解： （）當(dāng)n 1 時(shí)，S1 a1 4 ，2 分當(dāng)n2時(shí)，由題意，得Snn（n 1）2，1Sn1（n 1）n ，225分1 - 2 ，得an 2n ，其中n 2 .4, n 1,所以數(shù)列an 的通項(xiàng)公式an 2n,n 2.ak2 2a2 a3k 2 .9即 2(k 2)2 4 2(3k 2) .解得 k 0 (舍)或k 2 .10ak 2所以公比q2.11a2所以 bnb1qn 1 a2qn 12n 1 .1317 （本小題滿分13 分）解： （）甲組10 名學(xué)生閱讀量的平均值為12 6

11、 810 111212 17 2110，10乙組 10 名學(xué)生閱讀量的平均值為12 4 412 131616 （10 a）2098 a .10102分由題意，得10 98 a ，即 a 2 .310分故圖中 a 的取值為0 或 1.4分（）記事件“從所有的“閱讀達(dá)人”里任取 2 人，至少有1 人來自甲組”為 M . 5分由圖可知，甲組“閱讀達(dá)人”有 2 人，在此分別記為A1 ，A2 ；乙組“閱讀達(dá)人”有 3 人，在此分別記為B1 ， B2 ， B3 .則從所有的“ 閱讀達(dá)人”里任取 2 人， 所有可能結(jié)果有10 種， 即 (A1,A2)， (A1,B1) ，18解：(A1,B2)， (A1,B

12、3)， (A2,B1)， (A2,B2)， (A2,B3)， (B1,B2)，(B1,B3)， (B2,B3).7分M 的結(jié)果有7種，它們是(A1,A2)， (A1,B1)，(A1,B2)， (A1,B3)， (A2,B1)，(A2,B2)(A2,B3)，所以 P(M )710即從所有的閱讀達(dá)人里任取22s0s1 .14分)ABCD 為矩形，知2 人，至少有1 人來自甲組的概率為7 . 1010AD CD .又因?yàn)?DE AD ， DE CD D ，所以 AD 平面 CDE .又因?yàn)?CE 平面 CDE ，所以 AD CE .ABCD 為矩形，知AB/ CD ，又因?yàn)?AB 平面 CDE ，

13、CD 平面 CDE ，所以 AB/平面 CDE .AF /平面 CDE ，又因?yàn)?AB AF A，所以平面ABF / 平面CDE .8分133分6分?jǐn)?shù)學(xué)(文科)第 10 頁(共 12又因?yàn)?BF 平面 ABF ，所以 BF / 平面 CDE .9 分結(jié)論 ：線段 BE 上存在點(diǎn)Q (即 BE 的中點(diǎn)) ，使得平面ADQ 平面 BCE . 10證明如下：取 CE 的中點(diǎn)P， BE 的中點(diǎn) Q ，連接 AQ, DP, PQ，則 PQ/ BC .由 AD / BC ，得 PQ / AD .所以A, D, P, Q四點(diǎn)共面.11由() ，知 AD 平面 CDE ，所以 AD DP ，故 BC DP .

14、在 CDE 中，由 DC DE ，可得 DP CE .又因?yàn)锽CCEC ，所以 DP 平面 BCE .13又因?yàn)镈P平面ADPQ所以平面ADPQ 平面 BCE (即平面ADQ 平面 BCE ) .即線段BE 上存在點(diǎn)Q(即BE 中點(diǎn)) ，使得平面ADQ平面 BCE .1419 (本小題滿分13 分)解 ： ()由函數(shù)f (x) 是偶函數(shù)，得f ( x) f (x) ，即 me x ( x)2 3 mex x2 3對(duì)于任意實(shí)數(shù)x都成立，所以 m 0 .2分此時(shí) h(x) xf (x)x3 3x，則 h (x) 3x2 3.由 h (x) 0 ， 解得 x 1 .3 分當(dāng) x 變化時(shí)，h (x)與

15、 h(x) 的變化情況如下表所示：x(, 1)1( 1,1)1(1,)數(shù)學(xué)(文科)第 16 頁(共 12 頁)h (x)00h(x)極小值極大值所以 h(x) 在 (, 1)， (1,)上單調(diào)遞減，在( 1,1)上單調(diào)遞增.5所以 h(x) 有極小值h( 1)2， h(x)有極大值h(1) 2 .6分x2 3f (x) me x 3 0 ，得 m x ex2 3所以 “ f (x) 在區(qū)間 2,4上有兩個(gè)零點(diǎn)”等價(jià)于 “直線 y m與曲線 g(x) x x 3，x 2 , 4 有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)”8分2對(duì)函數(shù) g(x) 求導(dǎo)， 得 g (x) xx2x 3e9分g (x) 0 ，解得 x11

16、， x23 .10x 變化時(shí)，g (x) 與 g(x) 的變化情況如下表所示：x( 2, 1)1( 1,3)3(3,4)g (x)00g(x)極小值極大值所以 g(x) 在 ( 2, 1)， (3,4) 上單調(diào)遞減，在 ( 1,3) 上單調(diào)遞增.11 分2613又因?yàn)?g( 2) e2，g( 1) 2e， g(3)3 g( 2)， g(4)4 g( 1)，ee136x2 3所以當(dāng) 2e m 4或 m 3 時(shí)，直線y m 與曲線 g(x) x ， x 2,4有且只eee有兩個(gè)公共點(diǎn).即當(dāng) 2e m 134或m 63 時(shí)， 函數(shù) f (x)在區(qū)間 2,4上有兩個(gè)零點(diǎn). 13 分ee20 (本小題滿

17、分14 分)解： ()由題意，得a2 4m 4 , 解得 m 1 .1分2所以橢圓W 方程為 x y2 1 .24故 a 2， b 1， c a2 b23.所以橢圓W 的離心率e c 3 .4a2CD 的斜率 k 不存在時(shí)，由題意，得CD 的方程為x 1 ，33代入橢圓W的方程，得C(1,)， D(1,) ，22又因?yàn)?| AB| 2a 4， AB CD ，所以四邊形ACBD 的面積 S 1 |AB| |CD | 2 3.6當(dāng)直線 CD 的斜率 k 存在時(shí)，設(shè)CD 的方程為y k(x 1)(k 0) ， C(x1,y1) ，D (x2, y2 )，y k(x 1),聯(lián)立方程x224 y 1,消去 y， 得 (4k2 1) x2 8 k2x 4k2 4 07分8k24k2 40恒成立，則x1 x282k， x1x2 4k2 4