等差數(shù)列的前n項和優(yōu)質(zhì)課比賽PPT精品文檔

1、.12.3 2.3 等差數(shù)列的等差數(shù)列的 前前n n項和項和上頁上頁下頁下頁.2高斯（高斯（Gauss,17771855），），德國著名數(shù)學(xué)家，他研究的內(nèi)德國著名數(shù)學(xué)家，他研究的內(nèi)容涉及數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域，是歷容涉及數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域，是歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，被史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，被譽為譽為“數(shù)學(xué)王子數(shù)學(xué)王子”.上頁上頁下頁下頁.3 有一次，老師與高斯去買鉛筆，在商店發(fā)有一次，老師與高斯去買鉛筆，在商店發(fā)現(xiàn)了一個堆放鉛筆的現(xiàn)了一個堆放鉛筆的V形架，形架，V形架的最下面一層放形架的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一都比它下面一層多放一支，最上面一層放支，最上

2、面一層放100支支.老師問：高斯，你知道這老師問：高斯，你知道這個個V形架上共放著多少支鉛筆嗎？形架上共放著多少支鉛筆嗎？創(chuàng)設(shè)情景創(chuàng)設(shè)情景問題就是：問題就是：計算計算1 2 3 99 100上頁上頁下頁下頁.4高斯的算法高斯的算法計算：計算： 1 2 3 99 100 高斯算法的高明之處在于他發(fā)現(xiàn)這高斯算法的高明之處在于他發(fā)現(xiàn)這100100個數(shù)可以分為個數(shù)可以分為5050組：組： 第一個數(shù)與最后一個數(shù)一組；第一個數(shù)與最后一個數(shù)一組； 第二個數(shù)與倒數(shù)第二個數(shù)一組；第二個數(shù)與倒數(shù)第二個數(shù)一組； 第三個數(shù)與倒數(shù)第三個數(shù)一組，第三個數(shù)與倒數(shù)第三個數(shù)一組， 每組數(shù)的和均相等，都等于每組數(shù)的和均相等，都等

3、于101101，5050個個101101就等于就等于50505050了。高斯算法將加法問題了。高斯算法將加法問題轉(zhuǎn)化為乘法運算，迅速準(zhǔn)確得到了結(jié)果轉(zhuǎn)化為乘法運算，迅速準(zhǔn)確得到了結(jié)果. .首尾首尾配對配對相加相加法法中間的一中間的一組數(shù)是什組數(shù)是什么呢？么呢？上頁上頁下頁下頁.5 若若V形架的的最下面一層放一支鉛筆，往上每形架的的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層一層都比它下面一層多放一支，最上面多放一支，最上面一層有很多支鉛筆，一層有很多支鉛筆，老師說有老師說有n支。問：支。問：這個這個V形架上共放形架上共放著多少支鉛筆？著多少支鉛筆？ 創(chuàng)設(shè)情景創(chuàng)設(shè)情景問題就是：問題就是：1 2

4、3 (n-1) n若用首尾配對相加法，需要分類討論若用首尾配對相加法，需要分類討論.三角形三角形平行四平行四邊形邊形上頁上頁下頁下頁.6nn) 1(321計算：2) 1() 1(321nnnnn (n-1) (n-2) 2 1倒序相加法倒序相加法 那么，對一般的等差數(shù)列，如何求它的前前n項和項和呢？前前n項和項和) 1() 1(3212nnnn分析：這分析：這其實是求其實是求一個具體一個具體的等差數(shù)的等差數(shù)列前列前n項項和和.上頁上頁下頁下頁.7123nnSaaaa12()nnSn aa 1213212nnnnnSaaaaaaaa121321nnnnaaaaaaaa又問題分析問題分析已知等差數(shù)

5、列已知等差數(shù)列 an 的首項為的首項為a1，項數(shù)，項數(shù)是是n，第，第n項為項為如何才能將如何才能將等式的右邊等式的右邊化簡？化簡？121nnnnSaaaa1()2nnn aaS即上頁上頁下頁下頁.8由此得到等差數(shù)列的由此得到等差數(shù)列的 an 前前n n項和的公式項和的公式2)(1nnaanS即：等差數(shù)列前即：等差數(shù)列前n項的和等于項的和等于首末項首末項的的和和與與項數(shù)項數(shù)乘乘積積的一半的一半。上面的公式又可以寫成上面的公式又可以寫成dnnnaSn2)1(1差由等數(shù)列的通項公式差由等數(shù)列的通項公式an = a1+(n-1)d解題時需根據(jù)已知條件決定選用哪個公式解題時需根據(jù)已知條件決定選用哪個公式

6、。個個可求另已知其中個量：公式共涉及到23.,51nnSanda知三求二上頁上頁下頁下頁.9公式的記憶公式的記憶我們可結(jié)合梯形的面積公式來記憶等差數(shù)我們可結(jié)合梯形的面積公式來記憶等差數(shù)列前列前 n 項和公式項和公式.na1an1()2nnn aaS上頁上頁下頁下頁.10公式的記憶公式的記憶我們可結(jié)合梯形的面積公式來記憶等差數(shù)我們可結(jié)合梯形的面積公式來記憶等差數(shù)列前列前 n 項和公式項和公式.a1(n-1)dna1an將圖形分割成一個平行四邊形和一個三角形將圖形分割成一個平行四邊形和一個三角形.1(1)2nn nSnad上頁上頁下頁下頁.11公式應(yīng)用公式應(yīng)用 根據(jù)下列各題中的條件，求相應(yīng)的等差數(shù)

7、列an的Sn ： （1）a1=5，an=95，n=10 （2）a1=100，d=2，n=505002550 1()12nnn aaS解：10 (595)2500 1(1)22nn nSnad解：50 (50 1)50 100-222550上頁上頁下頁下頁.12 已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an(2)a14，S8172，求，求a8和和d.思路探索思路探索 根據(jù)等差數(shù)列前根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式解方程項和公式解方程題型題型一一與等差數(shù)列前與等差數(shù)列前n項和有關(guān)的基本量的計算項和有關(guān)的基本量的計算【例例1】上頁上頁下頁下頁.13 a1，d，n稱為等差數(shù)列的三個基本量，稱為等差數(shù)列的三個基本量，an和和S

8、n都都可以用這三個基本量來表示，五個量可以用這三個基本量來表示，五個量a1，d，n，an，Sn中可中可知三求二，一般通過通項公式和前知三求二，一般通過通項公式和前n項和公式聯(lián)立方程項和公式聯(lián)立方程(組組)求解，在求解過程中要注意整體思想的運用求解，在求解過程中要注意整體思想的運用上頁上頁下頁下頁.14 在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中；中；(1)已知已知a610，S55，求，求a8和和S10；(2)已知已知a3a1540，求，求S17.【變式變式1】 上頁上頁下頁下頁.15解：由題意，該市在解：由題意，該市在“校校通校校通”工程中每年投入工程中每年投入的資金構(gòu)成等差數(shù)列的資金構(gòu)成等差數(shù)列an，【例例

9、2 2】20002000年年1111月月1414日教育部下發(fā)了日教育部下發(fā)了關(guān)于在中小學(xué)實施關(guān)于在中小學(xué)實施“校校通校校通”工程的通知工程的通知，某市據(jù)此提出了實施，某市據(jù)此提出了實施“校校通校校通”工工程的總目標(biāo)：從程的總目標(biāo)：從20012001年起用年起用1010年的時間，在全市中小學(xué)建成不年的時間，在全市中小學(xué)建成不同標(biāo)準(zhǔn)的校園網(wǎng)同標(biāo)準(zhǔn)的校園網(wǎng). .據(jù)測算，據(jù)測算，20012001年該市用于年該市用于“校校通校校通”工程的工程的經(jīng)費為經(jīng)費為500500萬元萬元. .為了保證工程的順利實施，為了保證工程的順利實施，計劃每年投入的資計劃每年投入的資金都比上一年增加金都比上一年增加5050萬元

10、萬元. .那么，從那么，從20012001年起的年起的未來未來1010年內(nèi)年內(nèi)，該市在該市在“校校通校校通”工程中的工程中的總投入總投入是多少？是多少？故，該市在未來故，該市在未來10年內(nèi)的總投入為年內(nèi)的總投入為答：從答：從2001年起的未來年起的未來10年內(nèi)，該市在年內(nèi)，該市在“校校通校校通”工工程中的總投入是程中的總投入是7250萬元萬元.1010 (10 1)=10 500+502S=7250()萬元且且a1=500,d=50,n=10.題型二題型二 利用等差數(shù)列求和公式解決實際問題利用等差數(shù)列求和公式解決實際問題上頁上頁下頁下頁.16 【變式變式2 】 一個屋頂?shù)哪骋恍泵娉傻妊菪危?/p>

11、上面一個屋頂?shù)哪骋恍泵娉傻妊菪?，最上面一層鋪瓦片一層鋪瓦?1塊，往下每一層多鋪塊，往下每一層多鋪1塊，斜面上鋪了塊，斜面上鋪了19層，層，共鋪瓦片多少塊？共鋪瓦片多少塊？解：由題意，該屋頂斜面每層所鋪的瓦片數(shù)構(gòu)成等差解：由題意，該屋頂斜面每層所鋪的瓦片數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列數(shù)列an，且，且a1=21，d=1，n=19.191919 119 2115702S 塊答：屋頂斜面共鋪瓦片答：屋頂斜面共鋪瓦片570塊塊.于是，屋頂斜面共鋪瓦片：于是，屋頂斜面共鋪瓦片：上頁上頁下頁下頁.17題型題型三三利用利用Sn求求an 已知數(shù)列已知數(shù)列an的前的前n項和項和Sn32n，求，求an.解解(1)當(dāng)當(dāng)n1時，時

12、，a1S1325.(2)當(dāng)當(dāng)n2時，時，Sn132n1，又又Sn32n，anSnSn12n2n12n1.又當(dāng)又當(dāng)n1時，時，a121115，【例例3】上頁上頁下頁下頁.18 (1)已知已知Sn求求an，其方法是，其方法是anSnSn1(n2)，這里常常因為忽略條件這里常常因為忽略條件“n2”而出錯而出錯上頁上頁下頁下頁.19已知數(shù)列已知數(shù)列an的前的前n項和項和Sn2n23n，求，求an.解解a1S15，當(dāng)當(dāng)n2時，時，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n1，當(dāng)當(dāng)n1時也適合，時也適合，an4n1.【變式變式3】 上頁上頁下頁下頁.20【例例4】已知一個等差數(shù)列的前已知一個等

13、差數(shù)列的前10項的和項的和是是310，前，前20項的和是項的和是1220，由此可以確，由此可以確定求其前定求其前n項和的公式嗎？項和的公式嗎？解：由于解：由于S10310，S201220，將它們代，將它們代入公式入公式1(1)2nn nSnad可得可得111045310201901220adad146ad于是，所以所以2(1)46 32nn nSnnn 題型四題型四 已知等差數(shù)列的某些項的和求出已知等差數(shù)列的某些項的和求出n項和項和上頁上頁下頁下頁.21【例例4】已知一個等差數(shù)列的前已知一個等差數(shù)列的前10項的和項的和是是310，前，前20項的和是項的和是1220，由此可以確，由此可以確定求其

14、前定求其前n項和的公式嗎？項和的公式嗎？1101011010()310622aaSaa1202012020()12201222aaSaa201060aa1060d6d14a 21132nn nSa ndnn（）另解： 兩式相減得上頁上頁下頁下頁.22一個等差數(shù)列的前一個等差數(shù)列的前10項之和為項之和為100，前，前100項之和為項之和為10，求前求前110項之和項之和思路探索思路探索 解答本題可利用前解答本題可利用前n項和公式求出項和公式求出a1和和d，即可，即可求出求出S110，或利用等差數(shù)列前，或利用等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)求解項和的性質(zhì)求解【變式變式4】上頁上頁下頁下頁.23上頁上頁下頁下

15、頁.24故此數(shù)列的前故此數(shù)列的前110項之和為項之和為110.法二法二數(shù)列數(shù)列S10，S20S10，S30S20，S100S90，S110S100為等差數(shù)列，設(shè)公差為為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則，則又又S10100，代入上式得，代入上式得d22，S110S100S10(111)d10010(22)120，S110120S100110.法三法三設(shè)等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列an的前的前n項和項和Snan2bn.S10100，S10010，上頁上頁下頁下頁.25上頁上頁下頁下頁.26解決此類問題的方法較多，法一、法三解決此類問題的方法較多，法一、法三是利用方程的思想方法確定出系數(shù)，從而求出是利用方程的思想方法確定出系數(shù)，從而求出Sn；法二是利用等差數(shù)列的法二是利用等差數(shù)列的“片