83全微分及其應(yīng)用25719

1、)()(00 xfxxfy )( xoxay 稱稱y= f (x)在在x= x0點(diǎn)可微點(diǎn)可微 y= f (x)在在x= x0點(diǎn)，增量點(diǎn)，增量 若若.0 xadyxx 微分微分 z= f (x,y)在在(x0,y0)點(diǎn)點(diǎn),全增量全增量),(),(0000yxfyyxxfz 若若)( oybxaz稱稱z= f (x, y)在在(x0,y0)點(diǎn)可微點(diǎn)可微,稱稱ybxa 為為z= f (x,y)在在(x0,y0)點(diǎn)的全微分。點(diǎn)的全微分。定義：函數(shù)定義：函數(shù) z = f (x, y) 在點(diǎn)在點(diǎn)(x, y)的某鄰域有定義，的某鄰域有定義，若全增量若全增量),(),(yxfyyxxfz 可表示為可表示為)(

2、 oybxaz其中其中a , b不依賴于不依賴于x、y僅與僅與 x , y 有關(guān)有關(guān),22)()(yx 則稱函數(shù)則稱函數(shù) z = f (x, y) 在點(diǎn)在點(diǎn) (x, y)可微可微，ybxa 稱稱為為z = f (x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x, y) 的全的全微分微分，記為：記為：dz 或或d f (x,y)ybxadz 即即注注：(1)若函數(shù)若函數(shù) f(x,y) 在某區(qū)域在某區(qū)域d內(nèi)各點(diǎn)處處可微，內(nèi)各點(diǎn)處處可微，則稱這函數(shù)在則稱這函數(shù)在d內(nèi)可微內(nèi)可微.若函數(shù)若函數(shù) z = f (x, y) 在點(diǎn)在點(diǎn)p (x, y) 可微，可微，),(),(yxfyyxxfz ),( oybxa),(),(lim00

3、yxfyyxxfyx )(lim00 oybxayx0 ),(),(lim00yxfyyxxfyx 故函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)故函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)(2)若函數(shù)若函數(shù) f(x,y) 在在(x,y)點(diǎn)可微，則在該點(diǎn)連續(xù)。點(diǎn)可微，則在該點(diǎn)連續(xù)。定理定理1 若函數(shù)若函數(shù) z = f (x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)p (x, y) 可微可微則函數(shù)在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)存在。則函數(shù)在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)存在。證證若函數(shù)若函數(shù) z = f (x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)p (x, y) 可微可微)(),(),( oybxayxfyyxxfz),(),(yxfyxxf |),(|xoxa 0 y取取xxoaxyxfyxxf )(),(),(axyxfyxxf

4、x ),(),(lim0.xza yyzxxzdz 則則推論：若函數(shù)推論：若函數(shù) z = f (x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)p (x, y) 可微可微設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)u=f (x,y,z), 若若),(),(zyxfzzyyxxfu )( ozcybxazcybxa 稱稱為為 u = f (x, y,z)的全微分的全微分.dzzudyyudxxudu 關(guān)于關(guān)于z 的的偏微分偏微分解解,xyyexz ,xyxeyz ,2)1 ,2(exz ,22)1 , 2(eyz .222dyedxedz 所求全微分所求全微分例例1 計(jì)算函數(shù)計(jì)算函數(shù)xyez 在點(diǎn)在點(diǎn) (2,1)處的全微分處的全微分.解解, 1 xu,2c

5、os21yzzeyyu ,yzyezu .)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz 例例2 計(jì)算函數(shù)計(jì)算函數(shù)yzeyxu 2sin的全微分的全微分 一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)存在一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)存在 可微可微多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在 可微可微如如.0 0 0 ),(222222 yxyxyxxyyxf在點(diǎn)在點(diǎn)(0,0)處處xfxffxx )0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(0 xxxx 00)(0lim20=00)0 , 0( yf同同理理：.0 0 0 ),( 222222 yxyxyxxyyxf設(shè)設(shè)在在(0,0)點(diǎn)可微點(diǎn)可微)0 , 0(),(fyxfz )( oybx

6、a)( o0lim 0 z則則,)()(22yxyxz ,)()(22yxyxz 22000)()(limlimyxyxzyx 不存在不存在故函數(shù)在點(diǎn)故函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處不可微處不可微. 說明說明：多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在：多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證全微分存在。并不能保證全微分存在。多元函數(shù)連續(xù)是可微的多元函數(shù)連續(xù)是可微的_條件，條件，多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在是可微的多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在是可微的_條件條件 結(jié)論：結(jié)論：定理定理 若函數(shù)若函數(shù) z = f (x, y) 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)yzxz 、在點(diǎn)在點(diǎn) (x, y) 連續(xù)，連續(xù)，則該函數(shù)在點(diǎn)則該函數(shù)在點(diǎn) (x, y) 可微分可微分 函數(shù)

7、函數(shù)可微可微函函 數(shù)數(shù) 連連 續(xù)續(xù)偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在作業(yè)：作業(yè)：p76：t1(3)(4), t3， p83: t9,t10,t11 當(dāng)當(dāng)z=f (x, y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且 較小時(shí)，較小時(shí)， yx ,),(),(yxfyyxxfz )(),(),( oyyxfxyxfyx),(),(yxfyyxxf yyxfxyxfyx ),(),(.),(),(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx .),(),(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx 例例3 計(jì)算計(jì)算02. 2)04. 1(的近似值的近似值 解解 設(shè)設(shè).),(yxyxf 0

8、2. 2)04. 1()2 , 1(f 02. 0)2 , 1(04. 0)2 , 1( yxff,),(1 yxyxyxf,ln),(xxyxfyy , 2)2 , 1( xf, 0)2 , 1( yf, 1)2 , 1( f02. 0004. 021)04. 1(02. 2 .08. 1 p83:t11 設(shè)設(shè) 其中其中f 具有二階導(dǎo)數(shù)，具有二階導(dǎo)數(shù)， ),(22yxfz 求求22222,yzyxzxz 解解xz )(22yxf x2 )(222yxfx 22xz )(222yxf )(222yxfx x2 f 2fx 24yxz 2)(222yxfx y2 fxy 422yz f 2fy 24練習(xí)題練習(xí)題 1. 母線平行于母線平行于x軸，且過曲線軸，且過曲線 0162222222zyxzyx的柱面方程是的柱面方程是_2.