導數(shù)的應用函數(shù)的單調(diào)性與極值和最值和應用

1、復習復習 1 、 某點處導數(shù)的定義某點處導數(shù)的定義這一點處的導數(shù)這一點處的導數(shù)即為即為這一點處切線的斜率這一點處切線的斜率x x) )f f( (x xx x) )f f( (x xl li im m) )( (x xf f0 00 00 0 x x0 02 、 某點處導數(shù)的某點處導數(shù)的幾何意義幾何意義 3 、 導函數(shù)的定義導函數(shù)的定義x xf f( (x x) )x x) )f f( (x xl li im m( (x x) )f f0 0 x x4、由、由定義定義求導數(shù)的步驟（三步法）求導數(shù)的步驟（三步法）f f( (x x) )x x) )f f( (x xy y求求增增量量( (1 1

2、) )x xf(x)f(x)x)x)f(xf(xx xy y算比值算比值(2)(2)x xy yl li im my y求求極極限限( (3 3) )0 0 x x5、 求導的公式與法則求導的公式與法則 0)(/c)()(*1/nnnxxnn如果函數(shù)如果函數(shù) f(x)f(x)、g(x) g(x) 有導數(shù)，那么有導數(shù)，那么( (x x) )g g( (x x) )f fg g( (x x) ) f f( (x x) )/ / / /( (x x) )c cf ff f( (x x) ) c c/ / /6、 求導的方法求導的方法 定義法定義法公式法公式法練習：練習：1、求下列函數(shù)的導數(shù)、求下列函

3、數(shù)的導數(shù)（1）y=（x2-3x+2）（）（x4+x2-1）（2）y=（x/2+t）22、設、設f（x）=ax3-bx2+cx，且，且f /（0）=0， f /（1）=1，f /（2）=8，求，求a、b、c3、拋物線、拋物線f（x）=x2-2x+4在哪一點處的在哪一點處的切線平行于切線平行于x軸？在哪一處的切線與軸？在哪一處的切線與x軸的軸的交角為交角為450？引例、引例、 已知函數(shù)已知函數(shù)y=2x3-6x2+7,求證：這個函數(shù)在區(qū)間求證：這個函數(shù)在區(qū)間(0,2)上是單調(diào)遞增的上是單調(diào)遞增的. （1）任?。┤稳10，那么，那么y=f(x)為這為這個區(qū)間內(nèi)的個區(qū)間內(nèi)的增函數(shù)增函數(shù)；如果在這個區(qū)間

4、內(nèi)；如果在這個區(qū)間內(nèi)y/0增函數(shù)增函數(shù)y/0，求得其解集，求得其解集， 再根據(jù)解集寫出單調(diào)再根據(jù)解集寫出單調(diào)遞增遞增區(qū)間區(qū)間（3）求解不等式求解不等式f/(x)0，求得其解集，求得其解集， 再根據(jù)解集寫出單調(diào)再根據(jù)解集寫出單調(diào)遞減遞減區(qū)間區(qū)間注、注、單調(diào)區(qū)間不單調(diào)區(qū)間不 以以“并集并集”出現(xiàn)。出現(xiàn)。 導數(shù)的應用一、導數(shù)的應用一、判斷單調(diào)性、求單調(diào)區(qū)間判斷單調(diào)性、求單調(diào)區(qū)間練習練習1、 確定確定y=2x3-6x2+7的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間練習練習2、求求y=3x-x3的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間補充兩例補充兩例引例：你能引例：你能確定確定y=2x3-6x2+7的大致圖的大致圖象嗎象嗎? 一般地，設函數(shù)一般

5、地，設函數(shù)y=f(x)在在x=x0及其及其附近有定義，如果附近有定義，如果f(x0)的值比的值比x0附近所附近所有各點的函數(shù)值都大，我們就說有各點的函數(shù)值都大，我們就說f(x0)是是函數(shù)的一個函數(shù)的一個極大值極大值，如果，如果f(x0)的值比的值比x0附近所有各點的函數(shù)值都小，我們就附近所有各點的函數(shù)值都小，我們就說說f(x0)是函數(shù)的一個是函數(shù)的一個極小值極小值。 極大值與極小值極大值與極小值統(tǒng)稱統(tǒng)稱為極值為極值. 函數(shù)極值函數(shù)極值的定義的定義 如果如果x0是是f/(x)=0的一個根，并且在的一個根，并且在x0的左側(cè)附近的左側(cè)附近f/(x)0，那么是那么是f(x0)函數(shù)函數(shù)f(x)的一個的一

6、個極小值極小值. 導數(shù)的應用二、導數(shù)的應用二、求函數(shù)的極值求函數(shù)的極值 如果如果x0是是f/(x)=0的一個根，并且在的一個根，并且在x0的的左側(cè)附近左側(cè)附近f/(x)0，在，在x0右側(cè)附近右側(cè)附近f/(x)0 (b) 1a1 (d) 0a1 33,336、當、當x(-2,1)時，時，f(x)=2x3+3x2-12x+1是是( )(a)單調(diào)遞增函數(shù)單調(diào)遞增函數(shù) (b) 單調(diào)遞減函數(shù)單調(diào)遞減函數(shù) (c) 部份單調(diào)增，部分單調(diào)減部份單調(diào)增，部分單調(diào)減 (d) 單調(diào)性不能確定單調(diào)性不能確定 7、 如果質(zhì)點如果質(zhì)點m的運動規(guī)律為的運動規(guī)律為s=2t2-1，則在，則在一小段時間一小段時間2，2+t中相應

7、的平均速度等于中相應的平均速度等于( ) (a) 8+2t (b) 4+2t (c) 7+2t (d) 8+2t 8、如果質(zhì)點、如果質(zhì)點a按規(guī)律按規(guī)律s=2t3運動，則在運動，則在t=3秒秒時的瞬時速度為時的瞬時速度為( ) (a) 6 (b) 18 (c) 54 (d) 81 9、 已知已知y=f(x)=2x3-3x2+a的極大值為的極大值為6，那么那么a等于等于( ) (a) 6 (b) 0 (c) 5 (d) 1 10、函數(shù)、函數(shù)y=x3-3x的極大值為的極大值為( ) (a) 0 (b) 2 (c) +3 (d) 1 例例1、 若兩曲線若兩曲線y=3x2+ax與與y=x2-ax+1在在

8、點點x=1處的切線互相平行，求處的切線互相平行，求a的值的值. 分析分析 原題意等價于函數(shù)原題意等價于函數(shù)y=3x2+ax與與 y=x2-ax+1在在x=1的導數(shù)相等，的導數(shù)相等， 即：即：6+a=2-a 例例2 、 已知拋物線已知拋物線y=ax2+bx+c通過點通過點p(1，1)，且在點，且在點q(2，-1)處與直線處與直線y=x-3相切，求相切，求實數(shù)實數(shù)a、b、c的值的值. 分析分析 由條件知：由條件知： y=ax2+bx+c在點在點q(2，-1)處的導數(shù)為處的導數(shù)為1，于是，于是 4a+b=1 又點又點p(1，1)、q(2，-1)在曲線在曲線y=ax2+bx+c上，從而上，從而 a+b

9、+c=1且且4a+2b+c=-1 例例3 已知已知p為拋物線為拋物線y=x2上任意一點，則當點上任意一點，則當點p到直線到直線x+y+2=0的距離最小時，求點的距離最小時，求點p到拋到拋物線準線的距離物線準線的距離 分析分析 點點p到直線的距離最小時，拋物線在點到直線的距離最小時，拋物線在點p處的切線斜率為處的切線斜率為-1，即函數(shù)在點，即函數(shù)在點p處的導數(shù)處的導數(shù)為為-1，令，令p(a,b),于是有：于是有：2a= -1. 例例4 設設f(x)=ax3+x恰有三個單調(diào)區(qū)間，試確定恰有三個單調(diào)區(qū)間，試確定實數(shù)實數(shù)a的取值范圍，并求出這三個單調(diào)區(qū)間的取值范圍，并求出這三個單調(diào)區(qū)間. 思考、思考、

10、 已知函數(shù)已知函數(shù)y=x2-2(m-1)x+2在區(qū)間在區(qū)間2，6內(nèi)單調(diào)遞增，求內(nèi)單調(diào)遞增，求m的取值范圍。的取值范圍。(1)若曲線若曲線y=x3在點處的切線的斜率等于在點處的切線的斜率等于，則點的坐標為，則點的坐標為( )(a)(2,8) (b) (-2,-8) (c) (-1,-1)或或(1,1) (d) (-1/2,-1/8)(2)若曲線若曲線y=x5/5上一點處的切線與直線上一點處的切線與直線y=3-x垂直，則此切線方程為垂直，則此切線方程為( )(a)5x+5y-4=0 (b) 5x-5y-4=0 (c) 5x-5y+4=0 (d)以上皆非以上皆非 (3)曲線曲線y=x3/3-x2+5

11、在點處的切線的傾角在點處的切線的傾角為為3/4，則的坐標為，則的坐標為. 1. ( 2005全國卷iii文第21題，滿分12分)用長為90cm,寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器,先在四角分別截去一個小正方形,然后把四邊翻轉(zhuǎn)90角,再焊接而成(如圖),問該容器的高為多少時,容器的容積最大?最大容積是多少?xp21242005px50000200rx2 某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知該產(chǎn)品的某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知該產(chǎn)品的月生產(chǎn)量月生產(chǎn)量（噸）與每噸產(chǎn)品的價格（元（元/噸）之間的關系式為：噸）之間的關系式為：,且生產(chǎn)且生產(chǎn)x噸的成本為噸的成本為 （元）（元）.問該廠每月生產(chǎn)多少噸產(chǎn)品才能問該廠每月生產(chǎn)多少噸產(chǎn)品才能使利潤達到最大？最大利潤是多少？使利潤達到最大？最大利潤是多少？（利潤（利潤=收入收入成本）成本） 3.已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=x33x29xa, （i）求）求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；的單調(diào)遞減區(qū)間； （ii）若）若f(x)在區(qū)間在區(qū)間2，2上的最大值為上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值求它在該區(qū)間上的最小值r.aaxxaxxf其中, 86) 1