第3講平面及其方程

1、高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程 一元微積分學(xué)一元微積分學(xué) 大大 學(xué)學(xué) 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)（一一）第八講第八講 平面及其方程平面及其方程第一章第一章 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何第三節(jié)第三節(jié) 平面及其方程平面及其方程本節(jié)教學(xué)要求： 理解平面的法向量的概念。 熟悉平面的點(diǎn)法式方程、三點(diǎn)式方程、截距式方程 和一般方程以及它們間的轉(zhuǎn)化。 熟悉平面間的夾角、點(diǎn)到平面的距離的計(jì)算。 掌握平面間垂直、平行與它們的法向量間的關(guān)系。一一. 平面的法向量平面的法向量第三節(jié)第三節(jié) 平面及其方程平面及其方程二二. 平面的方程平面的方程三三. 與平面有關(guān)的幾個(gè)問(wèn)題與平面有關(guān)的幾個(gè)問(wèn)題一一. 平面的法向量平面的法向

2、量 垂直的任何非零與已知平面 向量。向量均稱為該平面的法 ) , ,( 。法向量通常記為cban 1 的法向量稱為單位法模等于 , ,0。記為稱為單位法向量向量n ) 0( , 的法向量。均為為實(shí)數(shù)則的法向量為平面若nn ,/ / , 11的法向量。也是平面則平面的法向量為平面若nnn1nn二二. 平面的方程平面的方程1. 平面的點(diǎn)法式方程2. 平面的一般方程3. 平面的三點(diǎn)式方程4. 平面的截距式方程5. 小結(jié)(點(diǎn)法式)1. 平面的點(diǎn)法式方程xyzon 0m ),( 0000zyxm通過(guò)點(diǎn)已知平面 , 3中在空間r ),( cban 的法向量及 ) ,( 。不同時(shí)為零cba m : ),(

3、0mmzyxm構(gòu)成向量上任取一點(diǎn)在平面 , ),(0000zzyyxxmm 0 , 00即有。故則nmmnmm 0)()()(000。zzcyybxxa2. 平面的一般方程 , 0)()()( 000得由平面的點(diǎn)法式方程zzcyybxxa 0000。czbyaxczbyax ),( 000則有令czbyaxd 0。dczbyax , ),( ,0000則有滿足上面的方程如果點(diǎn)反過(guò)來(lái)zyxm , 0000dczbyax , 000從而故czbyaxd , 0)()()(000zzcyybxxa ),( 0000上。在平面即點(diǎn)zyxm定理定理 1 1 , , , 3的一次方程任何一個(gè)關(guān)于空間中在z

4、yxr 0dczbyax 的法向量為該方程所表示的平面都是平面方程。 ) , ,(。cban ) , , , (不全為零。其中cba 的轉(zhuǎn)化一般方程與點(diǎn)法式方程 0 dczbyax一般方程 0)()()( 000zzcyybxxa點(diǎn)法式方程 , 0 則假設(shè)a ), , ,(cban )0 0, ,( 0。過(guò)點(diǎn)adm 000czbyaxd令 ) , ,( 0000zyxm過(guò)點(diǎn) ), , ,(cban )( 1 截距式方程。czbyax 位置平面在坐標(biāo)系中的特殊 , 0 則的一般方程為設(shè)平面dczbyax , 0 ) 1 (則平面方程為若d , 0 czbyax , 0 , 0 , 0 ,滿足方程

5、此時(shí)zyx , 0 過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。平面時(shí)故dyxzo 位置平面在坐標(biāo)系中的特殊 , 0 則的一般方程為設(shè)平面dczbyaxoyxz , 0 )2(則平面方程為若c , 0 dbyax ) 0 , ,( 。平面的法向量ban , 01 0 0)0 ,(），（，bakn 軸。znkn 0c / , 0軸。則平面zd , 0軸。則平面通過(guò) zd 0c / , 0軸。則平面zd , 0軸。則平面通過(guò) zd 位置平面在坐標(biāo)系中的特殊 , 0 則的一般方程為設(shè)平面dczbyax 0c / , 0軸。則平面zd , 0軸。則平面通過(guò) zd 0b / , 0軸。則平面yd , 0軸。則平面通過(guò) yd 0a /

6、, 0軸。則平面xd , 0軸。則平面通過(guò) xd 位置平面在坐標(biāo)系中的特殊 , 0 則的一般方程為設(shè)平面dczbyax , 0 , 0 )3(則平面方程為若ba , 0 dzc 0 , 0ba ) ( / , 0。軸垂直于平面則平面zxyd , 0平面重合。與則平面xyd / / ), , 0 , 0(。且kncnoyxz 位置平面在坐標(biāo)系中的特殊 , 0 則的一般方程為設(shè)平面dczbyax 0 , 0ba ) ( / , 0。軸垂直于平面則平面zxyd , 0平面重合。與則平面xyd 0 , 0ca ) ( / , 0。軸垂直于平面則平面yxzd , 0平面重合。與則平面xzd 0 , 0c

7、b ) ( / , 0。軸垂直于平面則平面xyzd , 0平面重合。與則平面yzd3. 平面的三點(diǎn)式方程 3的三點(diǎn)空間中不在同一直線上已知 r ),( ),( ),(333322221111zyxmzyxmzyxm 面的方程。求由此三點(diǎn)所確定的平不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面。1m2m3m3121mmmmn 點(diǎn)法式方程),(zyxm 向量共面定理定理 1 11m2m3m),(zyxm 的充要條件是 3的三點(diǎn)空間中不在同一直線上設(shè) r ),( ),( ),(333322221111zyxmzyxmzyxm上位于平面則空間中點(diǎn)確定一個(gè)平面 ),( , zyxm 0)(13121。mmmmmm 3

8、的三點(diǎn)空間中不在同一直線上r ),( ),( ),(333322221111zyxmzyxmzyxm 所確定的平面的方程為 0 131313121212111。zzyyxxzzyyxxzzyyxx, 0)(13121mmmmmm ,),( 3即其中rzyxm )( 0 131313121212111三點(diǎn)式方程。zzyyxxzzyyxxzzyyxx4. 平面的截距式方程 3標(biāo)軸上的三點(diǎn)空間中分別位于三個(gè)坐r ) , 0 , 0( ),0 , , 0( ),0 , 0 ,(crbqap 所確定的平面的方程為 , 0 00 0000000000 cabazyaxcabazyax 0 。即abcabz

9、acybcx 1 。czbyax軸上的截距。平面在分別為 , , , ,zyxcba , 0 故該平面方程為由于abcoyxz)0 , 0 ,(ap)0 , 0(bq), 0 , 0(cr 3空間中的三點(diǎn)r 所確定的平面的方程為 1 。czbyax ) 1 , 1 , 1 ( ,。此時(shí)cban , , 稱為方程中的cba 截距。平面在相應(yīng)坐標(biāo)軸上的 ) , 0 , 0( ),0 , , 0( ),0 , 0 ,(crbqap )( 1 截距式方程。czbyax , 3的方程有平面空間中r(點(diǎn)法式) 0)()()(000zzcyybxxa )( 0 131313121212111三點(diǎn)式方程zzy

10、yxxzzyyxxzzyyxx )( 1 截距式方程czbyax 0dczbyax ) (一般方程例 )3 , 2 , 0( ),2 , 3 , 1( ),4 , 1 , 2( 321的求過(guò)點(diǎn)mmm 平面的方程。解解 , 得所求平面方程為由平面的三點(diǎn)式方程 , 0 55113232 322301342102320 zyxzyx 021 139 20 。即zyx )13 , 9 ,20(n例解解 :平面方程求由下列條件所確定的 ; ) 1 , 3 , 4( )1 (軸和通過(guò)點(diǎn)xm ; )7 , 11 , 5( )2 , 0 , 4( )2(21軸且平行于和通過(guò)點(diǎn)xmm ) 1 , 3 , 0(

11、) 1 , 2 , 0( ) 1 , 1 , 1( )3(。且平行于和通過(guò)點(diǎn)aba , ) 1 (上。及坐標(biāo)原點(diǎn)均在平面故軸通過(guò)平面ix , )3, 1, 0( 134001 kjiomin平面的法向量 ) )0 , 0 , 0( ( ,o點(diǎn)得所求平面方程為由點(diǎn)法式方程 0 3。zy例解解 : 的方程平面求由下列條件所確定的 ; ) 1 , 3 , 4( )1 (軸和通過(guò)點(diǎn)xm ; )7 , 11 , 5( )2 , 0 , 4( )2(21軸且平行于和通過(guò)點(diǎn)xmm ) 1 , 3 , 0( ) 1 , 2 , 0( ) 1 , 1 , 1( )3(。且平行于和通過(guò)點(diǎn)aba ,/ / , /

12、/ )2(。故即平面軸平面inix , )11, 9, 0( 001)2(701145 21kjiimmn平面的法向量 ) )11 , 9 , 0( , ( ,1nm點(diǎn)得所求平面方程為由點(diǎn)法式方程 022119。zy例解解 : 的方程平面求由下列條件所確定的 ; ) 1 , 3 , 4( )1 (軸和通過(guò)點(diǎn)xm ; )7 , 11 , 5( )2 , 0 , 4( )2(21軸且平行于和通過(guò)點(diǎn)xmm ) 1 , 3 , 0( ) 1 , 2 , 0( ) 1 , 1 , 1( )3(。且平行于和通過(guò)點(diǎn)aba ,/ / )3(。故平面ana , )3, 1, 5( 1301112) 1(0 kj

13、iaabn平面的法向量 ) )3 , 1 , 5( , ( ,nb點(diǎn)得所求平面方程為由點(diǎn)法式方程 0135。zyx) 3 , 1 , 5( 或n例解解 )3 , 1 , 2( ) 1 , 0 , 1 ( 且過(guò)點(diǎn)和求平行于向量ba )4 , 1 , 3(的方程。的平面p , , ,/ / ,/ / 故取的法向量故平面因?yàn)閎nanba ),1, 5, 1( 312101 kjiban ) ) 1 , 5 , 1( , ( ,np點(diǎn)的方程為得平面由平面的點(diǎn)法式方程 , 0)4)(1()1()(5()3)(1(zyx 025 。即zyx) 1 , 5 , 1 ( n或三三. 有關(guān)平面的幾個(gè)問(wèn)題有關(guān)平面

14、的幾個(gè)問(wèn)題 . 1兩個(gè)平面間的夾角 . 2點(diǎn)到平面的距離1. 兩個(gè)平面間的夾角定定 義義 ,。角稱為這兩個(gè)平面間的夾夾角兩個(gè)平面的法向量間的) ( 0 1. :為兩平面間的夾角。規(guī)定 0 ,/ / . 221。或則若 設(shè)兩平面的方程為 ), , ,( , 0 :111 11111 1cbandzcybxa ) , ,( , 0 :222222222。cbandzcybxa , , , 2 1 21則記nn , | |cos222222212121 212121 2121cbacbaccbbaannnn 0 。其中 夾角的計(jì)算公式例解解 , 094 : , 01354 : 21zyxzyx已知平

15、面 21。間的夾角與求 , ),1 , 4 , 1 ( ),3 , 5 , 4( 21所以因?yàn)閚n ) 1()4(1 3)5(4) 1(3)4()5(14cos222222 , 7 . 0 30 21 4345 o。故 則 行關(guān)系平面間的相互垂直和平 設(shè)兩平面的方程為 ), , ,( , 0 :111 11111 1cbandzcybxa ) , ,( , 0 :222222222。cbandzcybxa 0 0 212121212121。ccbbaannnn 0 / / / /212121212121。ccbbaannnn 21212121 21。重合與ddccbbaa例解解 : )2 ,

16、7 , 4( ) 1 , 3 , 8( 121且與平面和通過(guò)點(diǎn)平面mm , 021753的方程。平面垂直zyx11m2m1nn , ) 1 ,10 , 4( :21引入向量mm )7 , 5 , 3( : 11。的法向量平面n , , ,211故取由題意mmnnn ),2, 1, 3(25)50,25,75( 1104753 211kjimmnn ) ( : ,1m點(diǎn)的方程得平面由點(diǎn)法式方程 02323。zyx例解解 , , )2, 3, 4( 21垂直和使它與平面的平面求過(guò)點(diǎn)p 05432 : ; 02 : ,21。其中zyxzyx , , , , 2121。的法向量為依次記平面nnn ,

17、, , , , 2121故取所以因?yàn)閚nnn ),7, 6, 5( 432121 21kjinnn ) ( p點(diǎn)的方程為由點(diǎn)法式方程得平面 052765。zyx2. 點(diǎn)到平面間的距離外的一點(diǎn)及平面已知平面 0 : dczbyax d ), , ,(11111。的距離到平面求點(diǎn)mzyxm1mp |d1pmm1 的投影的投影1mp |d1pm0mn ),( 0000zyxm上任取一點(diǎn)在平面 0 000。則dczbyax , 100則和引入向量mmpm ),( 。的法向量為平面cban , | | |101mmprjpmn ),( ,01010110。其中zzyyxxmm | )()()(| | d22