38方程的近似解

1、返回第八節(jié)第八節(jié) 方程的近似解方程的近似解一、問題的提出一、問題的提出二、二分法二、二分法三、切線法三、切線法四、小結(jié)四、小結(jié) 思考題思考題一、問題的提出一、問題的提出【求近似實(shí)根的步驟【求近似實(shí)根的步驟】確定根的大致范圍確定根的大致范圍根的隔離根的隔離根的隔離區(qū)間根的隔離區(qū)間稱為所求實(shí)稱為所求實(shí)間間區(qū)間內(nèi)的唯一實(shí)根區(qū)區(qū)間內(nèi)的唯一實(shí)根區(qū)使所求的根是位于這個使所求的根是位于這個確定一個區(qū)間確定一個區(qū)間,baba【問題【問題】高次代數(shù)方程或其他類型的方程求精高次代數(shù)方程或其他類型的方程求精確根一般比較困難確根一般比較困難, ,希望尋求方程近似根的有效希望尋求方程近似根的有效計算方法計算方法軸軸交交

2、點(diǎn)點(diǎn)的的大大概概位位置置定定出出它它與與的的圖圖形形，然然后后從從圖圖上上如如圖圖，精精確確畫畫出出xxfy)( 以根的隔離區(qū)間的端點(diǎn)作為根的初始近似以根的隔離區(qū)間的端點(diǎn)作為根的初始近似值，逐步改善根的近似值的精確度，直至求得值，逐步改善根的近似值的精確度，直至求得滿足精確度要求的近似實(shí)根滿足精確度要求的近似實(shí)根【常用方法【常用方法】二分法和切線法（牛頓法）二分法和切線法（牛頓法）二、二分法二、二分法區(qū)間區(qū)間即是這個根的一個隔離即是這個根的一個隔離，于是，于是內(nèi)僅有一個實(shí)根內(nèi)僅有一個實(shí)根在在且方程且方程，上連續(xù)，上連續(xù)，在區(qū)間在區(qū)間設(shè)設(shè),),()(0)()(,)(babaxfbfafbaxf

3、；，那末，那末如果如果110)( f【作法【作法】).(2,11 fbaba，計算，計算的中點(diǎn)的中點(diǎn)取取 ,)()(1111bbaaff 同號，那末取同號，那末取與與如果如果);(210)()(111111ababbabfaf ，且，且，即知，即知由由 ,)()(1111 baabff同號，那末取同號，那末取與與如果如果);(211111ababba 及及也有也有 總之，總之，);(211111ababba 且且時，可求得時，可求得當(dāng)當(dāng) );(21)(21,2222211211ababbababa 且且時時，可可求求得得當(dāng)當(dāng)復(fù)復(fù)上上述述做做法法，作作為為新新的的隔隔離離區(qū)區(qū)間間，重重以以 ).

4、(21,ababbannnnnn 且且可求得可求得次次如此重復(fù)如此重復(fù) 小于小于的近似值，那末其誤差的近似值，那末其誤差作為作為或或如果以如果以)(21abbannn .10,04 . 19 . 01 . 1323 使誤差不超過使誤差不超過的實(shí)根的近似值的實(shí)根的近似值用二分法求方程用二分法求方程xxx【例【例】【解【解】, 4 . 19 . 01 . 1)(23 xxxxf令令.),()(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在顯然顯然xf, 9 . 02 . 23)(2 xxxf. 0)(, 049. 1 xf,),()(內(nèi)單調(diào)增加內(nèi)單調(diào)增加在在故故xf如圖如圖至多有一個實(shí)根至多有一個實(shí)根0)( xf, 06 .

5、1)1(, 04 . 1)0( ff.1 , 00)(內(nèi)有唯一的實(shí)根內(nèi)有唯一的實(shí)根在在 xf.1 , 0, 1, 0即是一個隔離區(qū)間即是一個隔離區(qū)間取取 ba計算得計算得: :; 1, 5 . 0, 055. 0)(, 5 . 01111 baf故故 ;75. 0, 5 . 0, 032. 0)(,75. 02222 baf故故 ;75. 0,625. 0, 016. 0)(,625. 02333 baf故故 ;687. 0,625. 0, 0062. 0)(,687. 04444 baf故故 .10,671. 0 , 670. 03 其誤差都小于其誤差都小于作為根的過剩近似值作為根的過剩近似

6、值作為根的不足近似值作為根的不足近似值即即;687. 0,656. 0, 0054. 0)(,656. 05555 baf故故 ;672. 0,656. 0, 0005. 0)(,672. 06666 baf故故 ;672. 0,664. 0, 0025. 0)(,664. 07777 baf故故 ;672. 0,668. 0, 0010. 0)(,668. 08888 baf故故 ;672. 0,670. 0, 0002. 0)(,670. 09999 baf故故 .671. 0,670. 0, 0001. 0)(,671. 010101010 baf故故 .671. 0670. 0 三、切

7、線法三、切線法是根的一個隔離區(qū)間是根的一個隔離區(qū)間，內(nèi)有唯一個的實(shí)根內(nèi)有唯一個的實(shí)根在在則方程則方程上保持定號上保持定號在在及及且且，上具有二階導(dǎo)數(shù)，上具有二階導(dǎo)數(shù)，在在設(shè)設(shè),),()(,)()(0)()(,)(babaxfbaxfxfbfafbaxf 【定義【定義】用曲線弧一端的切線來代替曲線弧，用曲線弧一端的切線來代替曲線弧，從而求出方程實(shí)根的近似值，這種方法叫做切從而求出方程實(shí)根的近似值，這種方法叫做切線法（牛頓法）線法（牛頓法）【如圖【如圖】更接近方程的根更接近方程的根比比軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)線與線與作切線，這切作切線，這切那個端點(diǎn)（此端點(diǎn)記作那個端點(diǎn)（此端點(diǎn)記作同號的同號

8、的在縱坐標(biāo)與在縱坐標(biāo)與 0100)(,()(xxxxfxxf ,0ax 令令).)()(000 xxxfxfy 則切線方程為則切線方程為abxyoab 1x)(xfy 0)(, 0)(0)(, 0)( xfxfbfaf作切線，作切線，在點(diǎn)在點(diǎn))(,(11xfx.)()(1112xfxfxx 得根的近似值得根的近似值如此繼續(xù)，得根的近似值如此繼續(xù)，得根的近似值)1()()(111 nnnnxfxfxx.,)()(0bxxfbf 可記可記同號同號與與如果如果,)()(0001xfxfxx 得得令令, 0 yabxyoab 1x)(xfy 2x【注意【注意】.10,04 . 19 . 01 . 13

9、23 使誤差不超過使誤差不超過的實(shí)根的近似值的實(shí)根的近似值用切線法求方程用切線法求方程xxx【例【例】【解【解】, 4 . 19 . 01 . 1)(23 xxxxf令令. 0)1(, 0)0(.1 , 0 ff是一個隔離區(qū)間是一個隔離區(qū)間上，上，如圖，在如圖，在1 , 0, 02 . 26)( xxf, 09 . 02 . 23)(2 xxxf同號，同號，與與)()(xfxf . 10 x令令代入代入( (1),),得得;738. 0)1()1(11 ffx;674. 0)738. 0()738. 0(738. 02 ffx;671. 0)674. 0()674. 0(674. 03 ffx;671. 0)671. 0()671. 0(671. 04 ffx計算停止計算停止. .10,671. 03 其誤差都小于其誤差都小于得根的近似值為得根的近似值為四、小結(jié)四、小結(jié)【求方程近似實(shí)根的常用方法【求方程近似實(shí)根的常用方法】二分法、切線法（牛頓法）、割線法二分法、切線法（牛頓法）、割線法【切線法實(shí)質(zhì)【切線法實(shí)質(zhì)】特定的特定的迭代法迭代法求方程的根的迭代法是指由根的近似值出發(fā)求方程