無窮級數(shù)說課

1、第十二章 無窮級數(shù)主講人：馬麗娟主講人：馬麗娟二二o o一二年四月一二年四月說課提綱說課提綱一、本章的地位與作用一、本章的地位與作用二、教學目標二、教學目標三、教材內容處理三、教材內容處理四、教學方法與教學手段四、教學方法與教學手段一、本章的地位與作用一、本章的地位與作用級數(shù)級數(shù)函數(shù)函數(shù)函數(shù)表示級數(shù)，如用冪級數(shù)研究非初等函數(shù)， 級數(shù)表示函數(shù)，如微分方程的解就常用級數(shù)示； 掌握級數(shù)斂散性的概念和性質掌握級數(shù)斂散性的概念和性質. .掌握正項級數(shù)的比較審斂法、比值審斂法掌握正項級數(shù)的比較審斂法、比值審斂法. .二、教學目標二、教學目標掌握交錯級數(shù)的掌握交錯級數(shù)的萊布尼茨定理萊布尼茨定理. .掌握絕對

2、收斂和條件收斂概念掌握絕對收斂和條件收斂概念. .了解冪級數(shù)的概念，會求收斂半徑、收斂了解冪級數(shù)的概念，會求收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域，會求簡單的冪級數(shù)的和函數(shù)區(qū)間及收斂域，會求簡單的冪級數(shù)的和函數(shù). .熟記五個常用函數(shù)的級數(shù)展開式熟記五個常用函數(shù)的級數(shù)展開式. .二、教學目標二、教學目標三、教材內容的處理三、教材內容的處理 1 1 教材內容解析教材內容解析2 2 教學的重點、難點教學的重點、難點3 3 作業(yè)布置作業(yè)布置4 4 教學進度安排教學進度安排 級級數(shù)數(shù)級數(shù)的概念和性質級數(shù)的概念和性質常數(shù)項常數(shù)項級數(shù)級數(shù)任意項級數(shù)任意項級數(shù)三、教材內容的處理三、教材內容的處理正項級數(shù)正項級數(shù)交錯級數(shù)交

3、錯級數(shù)比值審斂法比值審斂法比較審斂法比較審斂法萊布尼茨定理萊布尼茨定理斂散性的判斷斂散性的判斷絕對收斂絕對收斂條件收斂條件收斂斂散性的判斷斂散性的判斷冪級數(shù)冪級數(shù)收斂半徑和收斂域收斂半徑和收斂域函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應用函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應用函數(shù)展開成函數(shù)展開成 的冪級數(shù)的冪級數(shù)1.1.教材內容解析教材內容解析冪級數(shù)的和函數(shù)冪級數(shù)的和函數(shù)（ 收斂，收斂， 發(fā)散）發(fā)散）1nnu=1nnu=（ 收斂）收斂）1nnu=（ ）（ ）1nnna x=1( )nnna xs x=1( )nnnf xa x=（ 近似計算近似計算 ）x2.2.教學的重點、難點教學的重點、難點u 函數(shù)展開成函數(shù)展開成 的冪級數(shù)

4、的冪級數(shù). .三、教材內容的處理三、教材內容的處理u 正項級數(shù)的審斂法正項級數(shù)的審斂法. .u 冪級數(shù)的收斂半徑冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間收斂區(qū)間及收斂域及收斂域的求法的求法 重點重點x三、教材內容的處理三、教材內容的處理2.2.教學的重點、難點教學的重點、難點 難點難點 正項級數(shù)的比較審斂法正項級數(shù)的比較審斂法. .u 函數(shù)函數(shù)展開成展開成 的的冪級數(shù)冪級數(shù). .x三、教材內容的處理三、教材內容的處理2.教學的重點、難點教學的重點、難點 化解難點化解難點正項級數(shù)正項級數(shù) 的比較審斂法的比較審斂法初步估計初步估計 的斂散性的斂散性 若估計若估計 收斂，收斂，將將 適當放大，使其放適當放大，使其

5、放大之后的表達式為大之后的表達式為 ，而而 收斂；收斂；nunv1nnv=將將 適當縮小，使其縮適當縮小，使其縮小之后的表達式為小之后的表達式為 ，而而 發(fā)散；發(fā)散；nunv1nnv=若估計若估計 發(fā)散，發(fā)散，大的收斂，大的收斂，則小的收斂；則小的收斂；小的發(fā)散，小的發(fā)散，則大的發(fā)散。則大的發(fā)散。大斂小散2.教學的重點、難點教學的重點、難點 化解難點化解難點正項級數(shù)正項級數(shù) 的比較審斂法的比較審斂法函數(shù)函數(shù) 展成冪級數(shù)展成冪級數(shù)三、教材內容的處理三、教材內容的處理2.2.教學的重點、難點教學的重點、難點化解難點化解難點( )f x(a) (a) 先求出先求出的各階導數(shù)的各階導數(shù) , , , ,

6、 , , ,若在若在處處, , 不存在不存在, ,此函數(shù)不能展開成冪級數(shù)此函數(shù)不能展開成冪級數(shù). .的某階導數(shù)的某階導數(shù)(b) (b) 求出函數(shù)及其各階導數(shù)在求出函數(shù)及其各階導數(shù)在處的數(shù)值處的數(shù)值, , , , , , , ,(c) (c) 求出冪級數(shù)求出冪級數(shù)的收斂半徑的收斂半徑r.r.(d) (d) 觀察當觀察當時時, ,是否有是否有, ,如無如無, ,則說明則說明不能展開不能展開可以展開成冪級數(shù)可以展開成冪級數(shù), ,且有且有, ,成冪級數(shù)成冪級數(shù); ;若有若有, ,則說明則說明(1) (1) 直接法展開直接法展開= =三、教材內容的處理三、教材內容的處理(2) (2) 間接法展開間接法展

7、開(a) (a) 利用變量代換進行展開利用變量代換進行展開(b) (b) 利用四則運算性質進行展開利用四則運算性質進行展開(c) (c) 利用冪級數(shù)的可導性與可積性進行展開利用冪級數(shù)的可導性與可積性進行展開nxxnxxe!1!2112),(x常用的函數(shù)展開式常用的函數(shù)展開式nnxxxxx) 1(11132x)1 , 1(xsin)!12 () 1(! 5! 312153nxxxxnnx),(xcos)!2() 1(! 4! 21242nxxxnnx),(nxxxxxxnn 1432) 1(432)1ln(x 1 , 1(三、教材內容的處理三、教材內容的處理3.3.作業(yè)布置作業(yè)布置題目題目習題習

8、題1 12 2-1-13（2）（）（3）、）、4（2）習題習題1 12 2-2-21（1）（）（3）、）、2（2）、）、4（2）、（）、（4）、）、5（2）習題習題1 12 2-3-31（1）（）（6）、）、2（1）習題習題1 12 2-4-46習題習題1 12 2- -5 51（1）、）、4（2）三、教材內容的處理三、教材內容的處理小節(jié)序號小節(jié)序號內容內容學時分配學時分配第一節(jié)第一節(jié)常數(shù)項級數(shù)的概念和性質常數(shù)項級數(shù)的概念和性質2學時學時第二節(jié)第二節(jié)常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法2學時學時第三節(jié)第三節(jié)冪級數(shù)冪級數(shù)2學時學時第四節(jié)第四節(jié)函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)2學時學時第五節(jié)第五節(jié)函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應用函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應用2 2學時學時習題課習題課2 2學時學時總計總計 1212學時學時4.4.教學進安排教學進安排