北京郵電大學高等數(shù)學習題課一zh

1、1第一次習題課第一次習題課 一、內(nèi)容及要求一、內(nèi)容及要求 1 理解多元函數(shù)、多元函數(shù)的極限、連續(xù)、理解多元函數(shù)、多元函數(shù)的極限、連續(xù)、偏導數(shù)及全微分的定義偏導數(shù)及全微分的定義. 2 會求一些二元函數(shù)的極限、能判別函數(shù)的會求一些二元函數(shù)的極限、能判別函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)性.4 理解多元函數(shù)連續(xù)、可導、可微的關(guān)系理解多元函數(shù)連續(xù)、可導、可微的關(guān)系 3 能利用一元函數(shù)的求導法則計算多元函數(shù)能利用一元函數(shù)的求導法則計算多元函數(shù)的一階二階偏導，會求多元函數(shù)的全微分的一階二階偏導，會求多元函數(shù)的全微分.2 5 熟練掌握多元復合函數(shù)的一階、二階偏導數(shù)熟練掌握多元復合函數(shù)的一階、二階偏導數(shù)的計算（重點）的計算（重

2、點）注：多元復合函數(shù)的偏導數(shù)注：多元復合函數(shù)的偏導數(shù)，),(),(),(yxvyxuvufz ),(),(yxyxfz 變量關(guān)系圖變量關(guān)系圖 uvzxy則有則有 xvxuffxvvzxuuzxz yvyuffyvvzyuuzyz 鏈式法則鏈式法則“連線相乘，分線相加連線相乘，分線相加”（1）3（2）幾種變形幾種變形 )(),(),(),(tztytxzyxfu dtdzzudtdyyudtdxxudtdu uxyzt(i)多個中間變量，一個自變量多個中間變量，一個自變量uzxy(ii)一個中間變量，多個自變量：一個中間變量，多個自變量： ,)(xufxududzxz ),(),(yxuufz

3、yufyududzyz )( 4(iii)中間變量與自變量混合存在中間變量與自變量混合存在:xuffxzux yuffyzuy xyuzxy（3）全微分形式的不變性）全微分形式的不變性: z=f (u，v)， u，v 不管是自變量還是中間變不管是自變量還是中間變量，有量，有dvvzduuzdz ),(),(yxuuuyxfz （4）復合函數(shù)的高階偏導數(shù)的計算）復合函數(shù)的高階偏導數(shù)的計算(難點難點),(),(),(yxvyxuvufz 求求zxx , zxy ,zyy 時應該注意到時應該注意到fu , , fv仍是復合函數(shù)仍是復合函數(shù).56 熟練掌握隱函數(shù)的偏導數(shù)的計算熟練掌握隱函數(shù)的偏導數(shù)的計

4、算（2）方程組的情形）方程組的情形(i)(i)公式法；公式法； (ii)復合函數(shù)的求導法則；復合函數(shù)的求導法則；(iii) 一階全微分形式的不變性一階全微分形式的不變性 。 求導方法求導方法：確定自變量及因變量，各方程對某確定自變量及因變量，各方程對某一個自變量求偏導，解方程組求得各因變量對這個一個自變量求偏導，解方程組求得各因變量對這個自變量的偏導數(shù)自變量的偏導數(shù)(或?qū)?shù)或?qū)?shù)) . 一般：變量個數(shù)方程個數(shù)一般：變量個數(shù)方程個數(shù)=自變量個數(shù)自變量個數(shù) （1）單個方程的情形）單個方程的情形 理論基礎(chǔ)是復合函數(shù)的求導法則，具體計算有理論基礎(chǔ)是復合函數(shù)的求導法則，具體計算有三種方法三種方法: 6二

5、、典型例題分析二、典型例題分析 1 、填充、填充 001(1)lim()cosxyxyxy(2) lim(1)yxkyxy0ke7(5)arctan,xyyzzx(6),yzxdz 013201),3sin()7(yxxuxzyzzzyu求求確定，確定，由由22222)(yxxy xdyxdxyxyyln1 3cos8）偏導連續(xù)？）偏導連續(xù)？（）可微？）可微？（）偏導是否存在？）偏導是否存在？處（處（在在討論討論321)0 , 0()0 , 0(),(0)0 , 0(),(1sin)(),(2222 yxyxyxyxyxfxfxffxx )0 , 0()0 ,0(lim)0 , 0(0 01s

6、inlim220 xxxx 0)0 , 0( yf同理同理220)0 , 0()0 , 0(limyxyfxfzyxx 例例解解92222221cos21sin2),(yxyxxyxxyxfx 2222221cos21sin2),(yxyxyyxyyxfy 不存在不存在)21cos121sin2(lim),(lim2200 xxxxyxfxxyxxxy 處偏導不連續(xù)處偏導不連續(xù)在在)0 , 0(),(yxfx01sin)(lim2222220 yxyxyxx 處可微處可微在在)0 , 0(),(yxf10例例3 3解解.,)(),(2223yxzyzyzfxyxyfxz 求求，具有二階連續(xù)偏導

7、數(shù)具有二階連續(xù)偏導數(shù)設(shè)設(shè))1(213xfxfxyz ,2214fxfx )1()1(222121211422xfxfxxfxfxyz ,222123115fxfxfx 11xyzyxz 22)(2214fxfxx 3411112224()2yx fxf yfxfx)(222212xyfyfx .2422114213f yf yxfxfx ),(3xyxyfxz 具有二階連續(xù)偏導數(shù)具有二階連續(xù)偏導數(shù)因為因為f12)(312fefyyxzy )(333231312yuffefeyuffyy )(333231312yyyyxeffefexeff 3323231312fxefefefxefyyyy 例

8、例4 設(shè)設(shè)z=f (x，y，u)，u=xey，f 具有二階連續(xù)偏具有二階連續(xù)偏導數(shù)，求導數(shù)，求 yxz 2xuffxz 31解解zxyuxy,31fefy yfefeyfyy 331132222(),zzf xyfx 設(shè)設(shè)其其中中 具具有有二二階階導導數(shù)數(shù)，求求xfxz2 22222zfxfxx fxf 242例例5解解1423,23),(tsytsxyxfu 而而的所有二階偏導連續(xù)，的所有二階偏導連續(xù)，設(shè)設(shè)21,23,23,21 tytxsysxsyyusxxusu yuxu 2321222222222222)uuuuxystuuuuxyst證證明明（及及例例6證明證明15yyyxxxuuu

9、432341 yxuutu2123 同理：同理：yyxyxxuuutu41234322 代入得證。代入得證。221322xxxyyxyyuxyxyuuuusssss232123232121yyyxxyxxuuuu 16例例7 可可微微，證證明明，設(shè)設(shè)fxyfxz)11(11 .222zyzyxzx 證明：證明：2221)( 11xufxxzz 兩端求對兩端求對x的偏導數(shù)，得的偏導數(shù)，得 兩端同乘以兩端同乘以x2z2：)1()( 222ufzxzxz 兩端求對兩端求對y的偏導數(shù)：的偏導數(shù)： )1()( 122yufyzz 兩端同乘以兩端同乘以y2z2：)2()( 22ufzyzy ( (1) )

10、式式+( (2) )式式 222zyzyxzx 即即得得17例例8 可微，求可微，求設(shè)設(shè)fxzyyzxf, 0),( ,xz .,dzyz 解：解：方程兩端求對方程兩端求對x的偏導數(shù)，有的偏導數(shù)，有0)1()11(221 xzxxzfxzyf解得解得 2112211fxfyfxzfxz 1222111)(fyfxfyzfyz dyfyfxfyzf1222111)( dxfxfyfxzfdz2112211 方程兩端求對方程兩端求對y的偏導數(shù)，有的偏導數(shù)，有18或利用全微分形式的不變性求偏導或利用全微分形式的不變性求偏導 0)()(21 xzydfyzxdf0)()(2221 xzdxxdzdyf

11、yzdyydzdxf整理可得整理可得dyyzffdxxzffdzfxfy)()()11(21222121 由此可求得由此可求得 19)(221xzffx 221)(fyzfy 也可利用公式，令：也可利用公式，令：)()(xzyzyxfzyx ， xfyfz1121 于是于是2122111fxfyfxzfxzzx 2112211fxfyfyzfyzzy 20例例9 9 . 設(shè)設(shè) ，其中，其中f、g具有一階連續(xù)偏數(shù)，具有一階連續(xù)偏數(shù)， ),(),(2yvxugvyvuxfu.xvxu ，求求解解所給方程兩端對所給方程兩端對x求偏導，得求偏導，得 xvvygxugxvxvfxuxufxu21,212

12、1整理可得整理可得 )12()1(121121gxvvygxugufxvfxuxf2112212121)12)(1(121gfgvyfxgvygffxj 122112212121)12)(1()12(121gfgvyfxgfgvyfugvygffujxu 12211111111)12)(1()1(11gfgvyfxfufxgggfufxjxv 22例例10. 設(shè)設(shè)y=f (x，t)，而，而t是由方程是由方程f(x，y，t)=0所確所確定的定的x、y的函數(shù)，其中的函數(shù)，其中f，f都具有一階連續(xù)偏導都具有一階連續(xù)偏導數(shù)，試證明數(shù)，試證明tfyftfxftftfxfdxdy 證法一證法一：首先分析一

13、下變量間的關(guān)系。：首先分析一下變量間的關(guān)系。由式（由式（1）可確定一元函數(shù)）可確定一元函數(shù)y=y(x)。（1）式兩端對）式兩端對x求導得求導得 t是由方程是由方程f(x，y，t)所確定的所確定的x、y的函數(shù)，的函數(shù)，t=t(x，y)，于是有于是有 y=f x，t(x，y) (1)23t是是f(x，y，t)=0確定的確定的x、y 的函數(shù)，由隱函數(shù)的函數(shù)，由隱函數(shù)求導法知求導法知 ,tfxfxt )3(.tfyfyt 將（將（3）式代入（）式代入（2）式，并從中解出）式，并從中解出dxdy即得所欲證之等式。即得所欲證之等式。 )2( dxdyytxttfxfdxdy24證法二：證法二： 將所給兩方

14、程聯(lián)立：將所給兩方程聯(lián)立： , 0),(, 0),(tyxftxfy方程組中含兩個方程、三個變量，可確定兩個一元方程組中含兩個方程、三個變量，可確定兩個一元函數(shù)函數(shù)y=y(x)，t=t(x)。方程組中的兩個方程兩端分別對。方程組中的兩個方程兩端分別對自變量自變量x求導，有求導，有 . 0, 0dxdttfdxdyyfxfdxdttfxfdxdy解上面的方程組解上面的方程組tfyftfxftftfxfdxdy 25證法三證法三：利用全微分形式不變性：利用全微分形式不變性 0dtfdyfdxfdtfdxfdytyxtx dy解出解出dxtfyftfxftftfxf tfyftfxftftfxfdxdy 26).1(),1(),(,(),)1 , 1(,)1 , 1(, 1)1 , 1(),( 求求（又記又記可微，可微，設(shè)函