第六章微分方程第一節(jié)常微分方程的基本概念

1、第一節(jié)第一節(jié) 常微分方程的基本概念常微分方程的基本概念1兩個實例兩個實例2常微分方程的基本概念常微分方程的基本概念一一 兩個實例兩個實例引例引例1 一曲線通過點(diǎn)一曲線通過點(diǎn)(1,2) ,在該曲線上任意點(diǎn)處的在該曲線上任意點(diǎn)處的解解: 設(shè)所求曲線方程為設(shè)所求曲線方程為 y = y(x) , 則有如下關(guān)系式則有如下關(guān)系式:xxy2dd xxyd2cx 2(c為任意常數(shù)為任意常數(shù))由由 得得 c = 1,.12 xy因此所求曲線方程為因此所求曲線方程為21 xy由由 得得切線斜率為切線斜率為 2x , 求該曲線的方程求該曲線的方程 . 引例引例2. 列車在平直路上以列車在平直路上以sm20的速度行駛

2、的速度行駛, 制動時制動時獲得加速度獲得加速度,sm4 . 02 a求制動后列車的運(yùn)動規(guī)律求制動后列車的運(yùn)動規(guī)律.解解: 設(shè)列車在制動后設(shè)列車在制動后 t 秒行駛了秒行駛了s 米米 ,已知已知4 . 0dd22 ts,00 ts200dd tts由前一式兩次積分由前一式兩次積分, 可得可得2122 . 0ctcts 利用后兩式可得利用后兩式可得0,2021 cc因此所求運(yùn)動規(guī)律為因此所求運(yùn)動規(guī)律為tts202 . 02 說明說明: 利用這一規(guī)律可求出制動后多少時間列車才利用這一規(guī)律可求出制動后多少時間列車才能停住能停住 , 以及制動后行駛了多少路程以及制動后行駛了多少路程 . 即求即求 s =

3、 s (t) .二二 常微分方程的基本概念常微分方程的基本概念含未知函數(shù)及其含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)或或微分微分的方程叫做的方程叫做微分方程微分方程 .例例,xyy , 0)(2 xdxdtxt,32xeyyy 實質(zhì)實質(zhì): : 聯(lián)系自變量聯(lián)系自變量, ,未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)( (或微分或微分) )之間的關(guān)系式之間的關(guān)系式. .方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程0),()( nyyyxf),()1()( nnyyyxfy( n 階階顯式顯式微分方程微分方程)一般地一般地 , n 階常微分方程的形式是階常微

4、分方程的形式是的的階階.或或,)(階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)上有上有在區(qū)間在區(qū)間設(shè)設(shè)nixy ( )( , ( ),( ),( )0.nf xxxx 且代入微分方程且代入微分方程0),()( nyyyxf使方程成為恒等式，使方程成為恒等式， 即即則稱函數(shù)則稱函數(shù))(xy 為方程為方程0),()( nyyyxf的的解解。例如例如,2xey 2xcey 為方程為方程xyy2 的解。的解。,xey ,xcey xxececy 21為方程為方程0 yy的解。的解。 微分方程的解中含有任意常數(shù)微分方程的解中含有任意常數(shù), ,且獨(dú)立的任意且獨(dú)立的任意通解通解:常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同

5、., yy 如如例例;xcey 通解通解, 0 yy;cossin21xcxcy 通解通解特解特解: : 確定了通解中任意常數(shù)以后的解確定了通解中任意常數(shù)以后的解. .微分方程的微分方程的積分曲線積分曲線: :解的圖象解的圖象積分曲線族積分曲線族: :通解的圖象通解的圖象. .)1(00)1(0000)(,)(,)( nnyxyyxyyxy 確定通解中任意常數(shù)的條件確定通解中任意常數(shù)的條件. .n 階方程的階方程的初始條件初始條件( (或或初值條件初值條件) ):定解條件：定解條件： 過定點(diǎn)的積分曲線過定點(diǎn)的積分曲線; ; 00),(yyyxfyxx一階一階: :二階二階: : 0000,),(yyyyyyxfyxxxx過定點(diǎn)且在定點(diǎn)的切線的斜率為定值的積分曲線過定點(diǎn)且在定點(diǎn)的切線的斜率為定值的積分曲線. .初值問題初值問題: : 求微分方程滿足初始條件的解的問題求微分方程滿足初始條件的解的問題. .解解,cossin21ktkcktkcdtdx ,sincos221222ktckktckdtxd ,22的表達(dá)式代入原方程的表達(dá)式代入原方程和和將將xdtxd例例 驗證驗證:函數(shù)函數(shù)的解的解. 并求滿足初始條件并求滿足初始條件是微分方程是微分方程的特解的特解.ktcktcxsincos21 0222 xkdtxd,0axt 00 tdtdx. 0)sincos()sincos(2