高一數(shù)學(xué)圓與方程

1、優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載好方法教育第二講圓與方程圓與方程了解確定圓的幾何要素（圓心和半徑、不在同一直線上的三個點等）.掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程，能根據(jù)問題的條件選擇恰當(dāng)?shù)男问角髨A的方程；理解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程之間的關(guān)系，會進(jìn)行互化.能根據(jù)直線與圓的方程判斷其位置關(guān)系（相交、相切、相離）；能根據(jù)圓的方程判斷圓與圓的位置關(guān)系（外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含）.能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題.用代數(shù)方法處理幾何問題的思想體會用代數(shù)方法處理幾何問題的思想，感受“形”與“數(shù)”的對立和統(tǒng)一；初步掌握數(shù)形結(jié)合的思想方法在研究數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用.二、重難點：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程三、高考內(nèi)容及要求：內(nèi)要求

2、容BCA平面解析幾何初步圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系四、知識點：1、圓的方程：標(biāo)準(zhǔn)方程： xa 2yb 2r 2一般方程： x2y 2DxEyF 0 .2、兩圓位置關(guān)系：dO1O2外離：外切：相交：內(nèi)切：內(nèi)含：d R r ；d R r ；RrdRr ；dRr ；dRr .五、問題導(dǎo)學(xué)：問題導(dǎo)學(xué)一：我們在解決直線和圓相切時應(yīng)注意哪些要點？例 1、基礎(chǔ)訓(xùn)練：求以 N (1,3) 為圓心，并且與直線3x4y70 相切的圓的方程.優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載探究 1：過坐標(biāo)原點且與圓 x2y 24x2 y50 相切的直線的方程為2( y 1) 2 5解：設(shè)直線方程為 y kx ，即 kxy

3、0. 圓方程可化為 (x 2) 2，圓心為 （2，2-1 ），半徑為10 . 依題意有2k110 ，解得 k3 或 k1，直線方程為y3x 或k 21223y1 x .3探究 2：已知直線 5x12 ya0 與圓 x22xy 20 相切，則 a 的值為.解： 圓(x1)2y21的圓心為（1 015a1，解得a 8或a18.， ），半徑為，52122練習(xí)鞏固： 求經(jīng)過點A(0,5)，且與直線 x2y 0和 2xy0 都相切的圓的方程 .a 2(5b) 2r 2解： 設(shè)所求圓的方程為( xa) 2( yb) 2r 2 ，則a2b2ab，55ra1a51) 2( y 3) 2解得 b3或 b15 ，

4、圓的方程為( x5或 ( x5) 2( y 15)2125 .r 5r 5 5問題導(dǎo)學(xué)二：直線被圓所截弦長的處理策略是什么?關(guān)鍵是借助圓的什么性質(zhì)？例 2、基礎(chǔ)訓(xùn)練：求直線 l : 3xy60 被圓 C : x 2y 22x4 y0 截得的弦 AB 的長 .探究 1：直線 3xy2 30 截圓 x2y24 得的劣弧所對的圓心角為解： 依題意得，弦心距d3，故弦長 AB2r 2d 22 ，從而 OAB 是等邊三角形，故截得的劣弧所對的圓心角為AOB.3探究 2：設(shè)直線 axy 30與圓 ( x1)2( y2) 24 相交于 A 、 B 兩點，且弦AB 的長為2 3 ，則 a.a12( 3)222

5、 ，解得 a0 .解： 由弦心距、半弦長、半徑構(gòu)成直角三角形，得()a21優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載練習(xí)鞏固： 已知圓 C : (x1) 2( y2) 26 ，直線 l : mxy1m 0.（ 1）求證：不論 m 取什么實數(shù)，直線l 與圓 C 恒交于兩點；（ 2）求直線 l 被圓 C 截得的弦長最小時 l 的方程 .解：（ 1）直線 l : y 1m(x1) 恒過定點 P(1,1)，且 PC5r6 ，點 P 在圓內(nèi)，直線 l 與圓 C 恒交于兩點 .（ 2）由平面幾何性質(zhì)可知，當(dāng)過圓內(nèi)的定點P 的直線 l 垂直于 PC 時，直線 l 被圓 C 截得的弦長12 ，所求直線 l 的方程為y12( x 1

6、) 即 2 xy 1 0 .最小，此時 klkPC問題導(dǎo)學(xué)三：如何判斷直線與圓的位置關(guān)系？例 3、基礎(chǔ)訓(xùn)練： 已知直線 3xy23 0和圓 x 2y24 ，判斷此直線與已知圓的位置關(guān)系 .探究 1：直線 xy1 與圓 x2y 22ay0 ( a0) 沒有公共點，則a 的取值范圍是解： 依題意有 a1a ，解得21a21. a 0 ， 0 a2 1 .2探究2： 若直線 ykx2 與圓 ( x2) 2( y3) 21有兩個不同的交點，則k 的取值范圍是.2k1，解得 0k4， k 的取值范圍是 (0, 4 ) .解： 依題意有k 21133練習(xí)鞏固： 若直線 yxm 與曲線 y4x 2有且只有一

7、個公共點，求實數(shù)m 的取值范圍 .解： 曲線 y4x2 表示半圓 x 2y 24( y0) ，利用數(shù)形結(jié)合法，可得實數(shù)m 的取值范圍是2 m2 或 m2 2 .問題導(dǎo)學(xué)四：圓與圓位置關(guān)系如何確定？例 4 、基礎(chǔ)訓(xùn)練： 判斷圓 C1 : x 2y 22x 6y 26 0 與圓 C 2 : x2y 24 x 2 y 4 0 的位置關(guān)系，并畫出圖形 .探究 1：圓 x 2y 22x0 和圓 x2y 24 y0 的位置關(guān)系是優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載解 ： 圓 ( x 1) 2y 21 的圓心為 O1(1,0)， 半 徑 r11 ， 圓 x 2( y 2) 24的圓心為O2 (0,2) ，半徑 r22， O

8、1O25, r1r 23, r2r11. r2r1O1 O2r1r2 ，兩圓相交 .探究 2：若圓 x2y22mxm 240 與圓 x 2y22x4my4m 280 相切，則實數(shù) m的取值集合是.解：圓 (x) 2y24的圓心為O1 (m,0) ，半徑 r12，圓 ( x1)2( y2m)29 的圓心m為 O2(1,2m) ， 半 徑r 23，且兩圓相切， O1O2r1r2或 O1O2r2r1， (m1)2(2m) 25或(m1) 2(2m) 21 ， 解 得 m12或 m2 ， 或 m0 或512 ,5,0,2.5m，實數(shù) m 的取值集合是 252練習(xí)鞏固： 求與圓 x2y 25 外切于點

9、P(1,2) ，且半徑為25 的圓的方程 .解：設(shè)所求圓的圓心為O1 ( a, b) ，則所求圓的方程為 ( x a) 2( y b) 220 . 兩圓外切于點P ， OP1 OO1， ( 1,2)1 (a,b) ， a3, b6，所求圓的方程為33(x 3)2( y6) 220 .問題導(dǎo)學(xué)五：和圓相關(guān)的最值有哪些解決途徑，體現(xiàn)那些思想方法？例5、基礎(chǔ)訓(xùn)練：已知點 A( 2, 2), B( 2,6),C(4, 2) ， 點 P 在 圓 x 2y 24上運(yùn)動，求PA2PB2PC2 的最大值和最小值 .探究 1：圓 x 2y24x4 y10 0 上的點到直線 xy 140 的最大距離與最小距離的差

10、是解： 圓 (x2)2( y2) 218 的圓心為（2， 2），半徑 r3 2 ，圓心到直線的距離d102r ，直線與圓相離，圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是52(d r ) (d r )2r6 2 .探究 2：已知 A( 2,0) ， B(2,0) ，點 P 在圓 (x3)2( y 4) 2224上運(yùn)動，則 PAPB 的最優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載小值是.解： 設(shè) P( x, y) ，則 PA22( x 2) 2y 2 ( x2) 2y22( x 228. 設(shè)圓PBy2 ) 8 2 OP心為 C (3,4) ，則 OP min2232OCr523， PAPB的最小值為 28 26.練習(xí)鞏固

11、： 已知點 P(x, y) 在圓 x2( y1)21上運(yùn)動 .（ 1）求 y1 的最大值與最小值； （ 2）求 2xy 的最大值與最小值 .x2解：（ 1）設(shè) y1k ，則 k 表示點 P( x, y) 與點（ 2， 1）連線的斜率 . 當(dāng)該直線與圓相切時，k 取x2得最大值與最小值. 由2k1，解得 k3， y1 的最大值為3 ，最小值為3.k 213x233（ 2）設(shè) 2xym ，則 m 表示直線2xym 在 y 軸上的截距 . 當(dāng)該直線與圓相切時，m 取得1m1，解得 m15 ，2x y 的最大值為1515.最大值與最小值 . 由，最小值為5問題導(dǎo)學(xué)六：如何利用已知條件挖掘求圓的方程的重

12、要信息？例 6、基礎(chǔ)訓(xùn)練：已知點 M 與兩個定點O (0,0) ， A(3,0) 的距離的比為1 ，求點 M 的軌跡方程 .2探究 1：已知兩定點 A(2,0) ， B(1,0) ，如果動點 P 滿足 PA2 PB ，則點 P 的軌跡所包圍的面積等于解 ： 設(shè) 點 P 的 坐 標(biāo) 是 ( x, y) . 由 PA2PB ，得( x 2) 2y 22 ( x 1) 2y2 ， 化簡 得( x 2) 2y 24，點P的軌跡是以（202為半徑的圓，所求面積為4 .， ）為圓心，探究 2：由動點 P 向圓 x 2y 21 引兩條切線 PA 、 PB ，切點分別為A、 B，APB0=60，則動點 P 的軌跡方程是.解：設(shè) P(x, y) . APB =600，OPA=300. OAAP ， OP2OA2 ，x2y 22 ，化簡得 x 2y 24 ，動點 P 的軌跡方程是 x2y 24.練習(xí)鞏固： 設(shè) A(c,0), B(c,0)(c0) 為兩定點， 動點 P 到 A 點的距離與到B 點的距離的比為定值a(a0) ，求 P 點的軌跡 .優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載PAa(a0)，得( xc) 2y 2a ，解： 設(shè)動點 P 的坐標(biāo)為 P( x, y) .