第六節(jié)多元函數(shù)的極值與最值

1、第六節(jié)第六節(jié) 多元函數(shù)的極值與最值多元函數(shù)的極值與最值一一.二元函數(shù)的極值二元函數(shù)的極值定義定義如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx的某個(gè)鄰域的某個(gè)鄰域內(nèi)恒有內(nèi)恒有),(),(00yxfyxf 則稱則稱),(yxf),(),(00yxfyxf 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx取得極大取得極大(小小)值值),(00yxf點(diǎn)點(diǎn)),(00yx稱為函數(shù)稱為函數(shù)),(yxf的的極大極大(小小)值點(diǎn)值點(diǎn).(1) 極大值、極小值統(tǒng)稱為極值；極大值、極小值統(tǒng)稱為極值；極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)；極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)；(2) 極值是函數(shù)值極值是函數(shù)值,極值點(diǎn)是自變量的值極值點(diǎn)是自變量的值.(3

2、) 極值是一個(gè)局部性概念極值是一個(gè)局部性概念.(4) 只有區(qū)域內(nèi)部的點(diǎn)才有可能成為只有區(qū)域內(nèi)部的點(diǎn)才有可能成為極值點(diǎn)極值點(diǎn).定理定理8.5 (極值存在的必要條件極值存在的必要條件)如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx取得極值取得極值,且在點(diǎn)且在點(diǎn)),(00yx偏導(dǎo)都存在偏導(dǎo)都存在,則則0),(00 yxfx0),(00 yxfy證證 因?yàn)槎瘮?shù)因?yàn)槎瘮?shù)),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx取得極值取得極值所以所以),(),(00yxfyxf 從而從而),(),(000yxfyxf 即一元函數(shù)即一元函數(shù)),(0yxf在在0 xx 處取得極大值處取得極大值故故. 0),(00 yx

3、fx0yxoy 注注 此定理反之不真此定理反之不真.例如例如22),(xyyxf xyxfx2),( yyxfy2),( 駐點(diǎn)駐點(diǎn))0 , 0(0)0 , 0( f而而0)0 ,(2 xxf0), 0(2 yyf)0( x)0( y故故)0 , 0(不是極值點(diǎn)不是極值點(diǎn).另外偏導(dǎo)不存在另外偏導(dǎo)不存在的點(diǎn)也可能是極的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)值點(diǎn).例如例如22),(yxyxf 在在)0 , 0(偏導(dǎo)不存在偏導(dǎo)不存在但但000)0 , 0(22 f是極小值是極小值.0),( yxfx不存在不存在駐點(diǎn)駐點(diǎn)注注 一般來說圈中的一般來說圈中的點(diǎn)為有限多個(gè)點(diǎn)為有限多個(gè).0),( yxfy),(yxfx ),(yxf

4、y 或或定理定理8.6(極值存在的充分條件極值存在的充分條件)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxf在駐點(diǎn)在駐點(diǎn)),(00yx),(00yx),(00yxfaxx 的某鄰域的某鄰域內(nèi)有一階和二階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)有一階和二階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),并記并記),(00yxfbxy ),(00yxfcyy acbd 2(1)若若, 0 d且且, 0 a則則是極大值點(diǎn)是極大值點(diǎn)),(00yx(2)若若, 0 d且且, 0 a則則是極小值點(diǎn)是極小值點(diǎn)),(00yx(3)若若, 0 d則則不是極值點(diǎn)不是極值點(diǎn)(4)若若, 0 d則則),(00yx不確定不確定.例例1 求求xyyxz333 的極值的極值.解解yxzx332 xyzy

5、332 令令 yxzx332 xyzy332 解得解得)0 , 0()1 , 1(xzaxx6 3 xyzbyzcyy6 xyacbd3692 )0 , 0(對(duì)對(duì)09 d不是極值點(diǎn)不是極值點(diǎn)對(duì)對(duì))1 , 1(027 d且且06 a是極小值點(diǎn)是極小值點(diǎn)此時(shí)極小值為此時(shí)極小值為. 1)1 , 1( f0 0 補(bǔ)充補(bǔ)充 求求yyyxyxfln)2(),(22 的極值的極值.解解)2(22yxzx 1ln22 yyxzy令令 解得解得)1, 0(e024)2(222 eyzaxx04 xyzbxyeyxzcyy 1220)24(2 eeacbd是極小值點(diǎn)，是極小值點(diǎn)， 此時(shí)極小值為此時(shí)極小值為.1)1

6、, 0(eef 0 0 )2(22yxzx 1ln22 yyxzy(2009年考研真題年考研真題9分分)二二.二元函數(shù)的最值二元函數(shù)的最值1.閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的最值閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的最值求法求法: 求出求出d內(nèi)部的所有可能取極值的點(diǎn)內(nèi)部的所有可能取極值的點(diǎn)(駐點(diǎn)和偏導(dǎo)不存在的點(diǎn)駐點(diǎn)和偏導(dǎo)不存在的點(diǎn))及邊界點(diǎn)及邊界點(diǎn),再將上述點(diǎn)的值求出相比較再將上述點(diǎn)的值求出相比較,取其取其最大的與最小的即為所求最大的與最小的即為所求.例例2 求函數(shù)求函數(shù))4(2yxyxz 在直線在直線6 yx及及x軸和軸和y軸所圍成的閉區(qū)域軸所圍成的閉區(qū)域d上的上的最大值和最小值最大值和最小值.解解(95年考研真題年考研真題

7、9分分)內(nèi)部內(nèi)部:yxyxxyzx2)4(2 yxyxxzy22)4( 令令 得得)1 ,2(4)1 ,2( f而而xoy6 yx660 0 邊界邊界:0 x上上0 y上上0),( yxf6 yx上上)4(2yxyxz 23122xx )60( x02462 xxz由由得得4 x64)2,4( f經(jīng)比較得經(jīng)比較得: 最大值最大值4)1 ,2( f最小值最小值.64)2,4( f0),( yxfxoy6 yx66)4(2yxyxz 2.應(yīng)用題應(yīng)用題 (內(nèi)部唯一極值點(diǎn)即為最值點(diǎn)內(nèi)部唯一極值點(diǎn)即為最值點(diǎn).)設(shè)商品設(shè)商品的需求量為的需求量為a, x價(jià)格為價(jià)格為, p需求需求函數(shù)函數(shù);26xp 商品商品

8、b的需求量為的需求量為, y為為, q需求函數(shù)需求函數(shù).440yq 生產(chǎn)兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)兩種產(chǎn)品的總成本函數(shù)總成本函數(shù).222yxyxc 問兩種商品問兩種商品各生產(chǎn)多少時(shí)才能獲得最大利潤各生產(chǎn)多少時(shí)才能獲得最大利潤?價(jià)格價(jià)格例例3總收入總收入2244026yyxxyqxpr 總利潤總利潤xyyyxxcrl254022622 解解令令yxlx2426 總利潤總利潤xyyyxxcrl254022622 xyly21040 得得)3 , 5(4 xxla又又2 xylb10 yylc0362 acbd且且04 a故故)3 , 5(為內(nèi)部唯一極值點(diǎn)為內(nèi)部唯一極值點(diǎn),且為極大值點(diǎn)且為極大值點(diǎn),從而為最大值

9、點(diǎn)從而為最大值點(diǎn),即生產(chǎn)商品即生產(chǎn)商品a5件件,商品商品b3件件時(shí)可獲得最大利潤時(shí)可獲得最大利潤.0 0 令令02426 yxlx總利潤總利潤xyyyxxcrl254022622 021040 xyly 得得)3 , 5(因?qū)嶋H問題必存在最大值因?qū)嶋H問題必存在最大值,從而從而l在在)3 , 5(處處取最大值取最大值,即生產(chǎn)商品即生產(chǎn)商品a5件件,商品商品b3件時(shí)可件時(shí)可獲得最大利潤獲得最大利潤.例例4 設(shè)長方體三邊長度之和為設(shè)長方體三邊長度之和為a,試問三邊試問三邊各取什么值時(shí)所得長方體的體積最大各取什么值時(shí)所得長方體的體積最大?設(shè)三邊長度各為設(shè)三邊長度各為)( ,yxayx 體積為體積為v則

10、則)(yxaxyv 令令 22yxyayvx xyxaxvy22 得得)3,3(aa因?qū)嶋H問題必存在最大值因?qū)嶋H問題必存在最大值,從而從而v在在)3,3(aa處取最大值處取最大值,即當(dāng)各邊的長均為即當(dāng)各邊的長均為3a時(shí)體積時(shí)體積最大最大.解解0 0 例例5 (最小二乘法問題最小二乘法問題)設(shè)通過觀測或?qū)嶒?yàn)得到設(shè)通過觀測或?qū)嶒?yàn)得到n個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn)., 2 , 1),( iyxii它們大體上散布在一條直線附近它們大體上散布在一條直線附近,即大體上可用直即大體上可用直線方程來反映變量線方程來反映變量x之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.現(xiàn)要現(xiàn)要確定一條直線確定一條直線,使它與這使它與這n個(gè)點(diǎn)總的看來最接近個(gè)點(diǎn)總

11、的看來最接近,即即和和y一直線與這一直線與這n個(gè)點(diǎn)沿平行縱軸的距離平方和最小個(gè)點(diǎn)沿平行縱軸的距離平方和最小.所求直線方程為所求直線方程為baxy 平方和為平方和為),(baf則則 niiiybaxbaf12)(),(解解則則 niiiybaxbaf12)(),(令令 niiiiaybaxxbaf1)(2),( niiibybaxbaf1)(2),(得得2112111)()( niiniininiiniiiixxnyxyxna211211112)()()( )( niiniininiiniiiiniixxnxyxyxb故故),(baf在點(diǎn)在點(diǎn)),(ba處取得最小值處取得最小值.因?qū)嶋H問題必存在最

12、小值因?qū)嶋H問題必存在最小值,0 0 三三.條件極值與拉格朗日乘數(shù)法條件極值與拉格朗日乘數(shù)法1.定義定義條件極值條件極值. 否則稱為無條件極值否則稱為無條件極值.2.條件極值的一般形式條件極值的一般形式:),(yxfz 0),( yx 約束條件約束條件對(duì)自變量有對(duì)自變量有附加條件附加條件的極值稱為的極值稱為 目標(biāo)函目標(biāo)函數(shù)數(shù)3.拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法(1)作拉格朗日函數(shù)作拉格朗日函數(shù)(或輔助函數(shù)或輔助函數(shù)),(),(),(yxyxfyxf (2)求偏導(dǎo)求偏導(dǎo)令令xxfxf f 0 0 yyfyf 0 (3)判斷求出的點(diǎn)判斷求出的點(diǎn)解得解得),(yx及及 ),(yx是否為條件極值點(diǎn)是否為條件

13、極值點(diǎn),通常都是根據(jù)問題本身的實(shí)際意義確定通常都是根據(jù)問題本身的實(shí)際意義確定.),(yxfz 0),( yx 例例6 設(shè)長方體三邊長度之和為設(shè)長方體三邊長度之和為a,試問三邊試問三邊各取什么值時(shí)所得長方體的體積最大各取什么值時(shí)所得長方體的體積最大?設(shè)三邊長度各為設(shè)三邊長度各為zyx,體積為體積為v則則xyzv 解解azyx 作拉格朗日函數(shù)作拉格朗日函數(shù))(azyxxyzf 令令 yzfx xzfy xyfzazyxf 0 0 0 0 解得解得3azyx 故當(dāng)各邊的長均為故當(dāng)各邊的長均為3a時(shí)體積最大時(shí)體積最大.因因.例例7設(shè)有設(shè)有n個(gè)正數(shù)個(gè)正數(shù),21nxxx且且axxxn 21問當(dāng)問當(dāng)nxxx,21取何值時(shí)取何值時(shí),nnxxxu21 取最大值取最大值?作函數(shù)作函數(shù)令令)(2121axxxxxxfnnn )()(13211211nnnxxxxxxxnf )()(13111212nnnxxxxxxxnf )(