高一數(shù)學必修一函數(shù)知識點總結

1、名師總結優(yōu)秀知識點二、函數(shù)的有關概念1函數(shù)的概念：設A、 B 是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應關系f ，使對于集合A 中的任意一個數(shù)x，在集合 B 中都有唯一確定的數(shù)f(x) 和它對應，那么就稱f ：AB 為從集合A 到集合B 的一個函數(shù)記作：y=f(x)，x A其中， x 叫做自變量， x 的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與 x 的值相對應的y 值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)| x A 叫做函數(shù)的值域注意：1定義域：能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x 的集合稱為函數(shù)的定義域。求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是：(1) 分式的分母不等于零；(2) 偶次方根的被開方數(shù)不小于零；(3) 對數(shù)式的真

2、數(shù)必須大于零；(4) 指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1.(5) 如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結合而成的 . 那么，它的定義域是使各部分都有意義的 x 的值組成的集合 .(6) 指數(shù)為零底不可以等于零，(7) 實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義.相同函數(shù)的判斷方法：表達式相同（與表示自變量和函數(shù)值的字母無關）；定義域一致 ( 兩點必須同時具備)( 見課本 21 頁相關例2)2值域 :先考慮其定義域(1) 觀察法(2) 配方法(3) 代換法3. 函數(shù)圖象知識歸納(1) 定義：在平面直角坐標系中，以函數(shù)y=f(x) , (x A) 中的 x 為橫坐標，函數(shù)值y 為縱坐標的點

3、P，y)的集合 C，叫做函數(shù)y=f(x),(x A) 的圖象 C 上每一點的坐標(x，y)均滿足函數(shù)(x關系 y=f(x) ，反過來，以滿足y=f(x) 的每一組有序實數(shù)對x、y 為坐標的點 (x ， y) ，均在 C 上 .(2) 畫法A、描點法：B、圖象變換法常用變換方法有三種1)平移變換2)伸縮變換3)對稱變換4區(qū)間的概念（ 1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間（ 2）無窮區(qū)間（ 3）區(qū)間的數(shù)軸表示5映射一般地，設A、B 是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則個元素 x，在集合 B 中都有唯一確定的元素y 與之對應，那么就稱對應合 B 的一個映射。記作“f （對應關系） ：

4、 A（原象）B（象）”對于映射 f ： AB 來說，則應滿足：f ，使對于集合A 中的任意一f ：AB 為從集合A 到集(1) 集合 A 中的每一個元素，在集合 B 中都有象，并且象是唯一的；(2) 集合 A 中不同的元素，在集合 B 中對應的象可以是同一個；名師總結優(yōu)秀知識點(3) 不要求集合 B 中的每一個元素在集合 A 中都有原象。 6. 分段函數(shù)(1) 在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數(shù)。(2) 各部分的自變量的取值情況(3) 分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集補充：復合函數(shù)如果 y=f(u)(uM),u=g(x)(x A), 則 y=fg(x)=F(x

5、)(x A)稱為 f 、g 的復合函數(shù)。二函數(shù)的性質1. 函數(shù)的單調性 ( 局部性質 ) （ 1）增函數(shù)設函數(shù) y=f(x)的定義域為I ，如果對于定義域I內的某個區(qū)間D 內的任意兩個自變量x1， x2，當x <x時，都有f(x1)<f(x2) ，那么就說 f(x)在區(qū)間 D 上是增函數(shù) . 區(qū)間 D 稱為 y=f(x)的單調增區(qū)12間 .) f(x ) ，那么就說 f(x)如果對于區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x ，x ，當 x <x時，都有 f(x112122在這個區(qū)間上是減函數(shù) . 區(qū)間 D 稱為 y=f(x)的單調減區(qū)間 .注意：函數(shù)的單調性是函數(shù)的局部性質；（ 2）

6、圖象的特點如果函數(shù) y=f(x) 在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)y=f(x) 在這一區(qū)間上具有 ( 嚴格的 )單調性，在單調區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.(3).函數(shù)單調區(qū)間與單調性的判定方法(A)定義法：1 任取 x1， x2 D，且 x1<x2；2作差 f(x1) f(x 2) ；3變形（通常是因式分解和配方） ；4 定號（即判斷差f(x 1) f(x 2) 的正負）；5 下結論（指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D 上的單調性） (B) 圖象法 ( 從圖象上看升降 )(C) 復合函數(shù)的單調性復合函數(shù)f g(x) 的單調性與構成它的函數(shù)異減”注意

7、：函數(shù)的單調區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間集 .8函數(shù)的奇偶性（整體性質）（ 1）偶函數(shù)一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內的任意一個（ 2）奇函數(shù)一般地， 對于函數(shù)f(x)的定義域內的任意一個u=g(x) ， y=f(u) 的單調性密切相關，其規(guī)律：“同增, 不能把單調性相同的區(qū)間和在一起寫成其并x，都有 f( x)=f(x)，那么 f(x)就叫做偶函數(shù)x，都有 f( x)= f(x)，那么 f(x)就叫做奇函數(shù)（ 3）具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征偶函數(shù)的圖象關于y 軸對稱；奇函數(shù)的圖象關于原點對稱利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：1 首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其是否關于原點對稱；名師總結優(yōu)秀知識點

8、確定 f( x) 與 f(x)的關系；2作出相應結論：若f( x) = f(x)或 f( x) f(x) = 0 ，則 f(x) 是偶函數(shù)；若f( x) = 3f(x)或 f( x) f(x) = 0，則 f(x)是奇函數(shù)注意：函數(shù)定義域關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件首先看函數(shù)的定義域是否關于原點對稱，若不對稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù). 若對稱， (1) 再根據(jù)定義判定 ; (2) 由 f(-x)± f(x)= 0或 f(x) f(-x)= ± 1 來判定 ; (3) 利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定.9、函數(shù)的解析表達式（ 1）. 函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求

9、兩個變量之間的函數(shù)關系時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函數(shù)的定義域.（ 2）求函數(shù)的解析式的主要方法有：1)湊配法2)待定系數(shù)法3)換元法4)消參法10函數(shù)最大（小）值（定義見課本p36 頁）1 利用二次函數(shù)的性質（配方法）求函數(shù)的最大（?。┲? 利用圖象求函數(shù)的最大（小）值3 利用函數(shù)單調性的判斷函數(shù)的最大（小）值：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間 a ， b 上單調遞增，在區(qū)間最大值 f(b)；如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間 a ， b 上單調遞減，在區(qū)間最小值 f(b)；例題：b ， c 上單調遞減則函數(shù) b ， c 上單調遞增則函數(shù)y=f(x)y=f(x)在在x=b x=b處有處有1

10、. 求下列函數(shù)的定義域： yx 22 x15 y1x12x33()x12.設函數(shù) f (x) 的定義域為 0，1 ，則函數(shù) f ( x 2) 的定義域為 _ _3.若函數(shù) f (x1) 的定義域為 2， 3 ，則函數(shù) f (2 x1) 的定義域是4.函數(shù)x2( x1)，若 f ( x)3，則 x =f (x)x2x 2)( 12x(x2)5. 求下列函數(shù)的值域： yx22x3 ( xR) yx22 x3x1,2(3) yx12x(4)yx24 x56.已知函數(shù)f (x1)x24x，求函數(shù)f (x)，f (2x1)的解析式7.已知函數(shù) f (x) 滿足 2f (x)f ( x)3x4，則 f (

11、x) =。8.設 f (x)是 R 上的奇函數(shù)，且當 x0,) 時 , f (x)x(13x ) , 則當 x (,0) 時 f (x) =名師總結優(yōu)秀知識點f (x)在 R 上的解析式為9. 求下列函數(shù)的單調區(qū)間： y x22 x 3 yx22x 3 y x26 x 110. 判斷函數(shù) yx 31 的單調性并證明你的結論211. 設函數(shù) f ( x)1x2判斷它的奇偶性并且求證：f ( 1 )f (x) 1xx第三章 基本初等函數(shù)一、指數(shù)函數(shù)（一）指數(shù)與指數(shù)冪的運算1根式的概念：一般地，如果x na ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n >1，且 n N * 負數(shù)沒有偶次方根

12、；0 的任何次方根都是0，記作 n00 。當 n 是奇數(shù)時， n ana ，當 n 是偶數(shù)時， n a na(a0)| a |(a0)a2分數(shù)指數(shù)冪正數(shù)的分數(shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定：mm11nnm*，n(0, ,*,1)aa (a0,m, nN , n1)amna mam nNna n0 的正分數(shù)指數(shù)冪等于0， 0 的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義3實數(shù)指數(shù)冪的運算性質（ 1） a r · a rars(a0,r , sR) ；（ 2） (ar )sa rs(a 0, r , s R) ；（ 3） (ab)ra r as(a0,r , sR) （二）指數(shù)函數(shù)及其性質1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)

13、ya x (a 0,且 a1) 叫做指數(shù)函數(shù)，其中x 是自變量，函數(shù)的定義域為 R注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負數(shù)、零和12、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質a>10<a<166554433221111-4-20246-4-20246-1-1定義域 R定義域 R值域 y0值域 y 0在 R 上單調遞增在 R 上單調遞減非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)名師總結優(yōu)秀知識點函數(shù)圖象都過定點（0， 1）函數(shù)圖象都過定點（0， 1）注意：利用函數(shù)的單調性，結合圖象還可以看出：（ 1）在 a ， b 上， f (x ) ax (a 0a 1)值域是 f (a), f (b) 或 f ( b),

14、f (a) ；且（ 2）若 x 0 ，則 f ( x )1 ； f (x ) 取遍所有正數(shù)當且僅當xR ；（ 3）對于指數(shù)函數(shù) f (x )ax (a0a1)，總有 f (1)a ；且二、對數(shù)函數(shù)（一）對數(shù)1對數(shù)的概念：一般地，如果 axN(a0, a 1)，那么數(shù)x 叫做以a 為底的對數(shù)，記作： Nx log a N （ a 底數(shù)， N 真數(shù)， log a N 對數(shù)式）說明： 1 注意底數(shù)的限制 a 0 ，且 a 1 ；2axNlog a Nx ；3注意對數(shù)的書寫格式log a N兩個重要對數(shù)：1常用對數(shù)：以10 為底的對數(shù) lg N ；2自然對數(shù)：以無理數(shù)e 2.71828 為底的對數(shù)的對

15、數(shù) ln N 指數(shù)式與對數(shù)式的互化冪值真數(shù)ab Nlog a N b底數(shù)指數(shù)對數(shù)（二）對數(shù)的運算性質如果 a0 ，且 a1 ， M0 ， N0 ，那么：1(M ·N)log a M log a N ； log a2Mlog a M log aN ； log aNn3Mn log a M( nR) log a注意：換底公式log a blogcb0 ，且 a1； c0 ，且 c1 ； b0 ）（ alogca利用換底公式推導下面的結論名師總結優(yōu)秀知識點（ 1） log am bnn loga b ；（ 2） log a b1mlog b a（二）對數(shù)函數(shù)1、對數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù)ylog

16、 ax(a0 ，且 a1) 叫做對數(shù)函數(shù)，其中x 是自變量，函數(shù)的定義域是（0， +）注意： 1對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意辨別。如：y 2 log 2x ，x都不是對數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對數(shù)型函數(shù)ylog 5 5對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制：(a0 ，且 a 1) 22、對數(shù)函數(shù)的性質：a>130<a<132.52.5221.51.51 11 10.50.50-011234567812345678.50-0 .51-1-1-1.5-1 .5-2-2-2.5-2 .5定義域 x0定義域 x 0值域為 R值域為 R在 R上遞增在 R上遞減函數(shù)圖象都過定點（1， 0）

17、函數(shù)圖象都過定點（1，0）（三）冪函數(shù)1、冪函數(shù)定義：一般地，形如yx (aR) 的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中為常數(shù)2、冪函數(shù)性質歸納（ 1）所有的冪函數(shù)在（0， +）都有定義并且圖象都過點（1， 1）；1（ 2）0時，冪函數(shù)的圖象通過原點，并且在區(qū)間0,) 上是增函數(shù)特別地，當時，冪函數(shù)的圖象下凸；當01時，冪函數(shù)的圖象上凸；（ 3）0時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0,) 上是減函數(shù)在第一象限內，當x 從右邊趨向原點時，圖象在 y 軸右方無限地逼近y 軸正半軸，當 x 趨于時，圖象在 x 軸上方無限地逼近x 軸正半軸例題：1. 已知 a>0，a0，函數(shù) y=ax 與 y=log a(-x) 的圖象

18、只能是()名師總結優(yōu)秀知識點 2412 =2.計算： log 32;log 2 3 =； 25 3 log 527 2 log 5;log 27640 .0641(7)0( 2)34160 .750.011=33283.函數(shù) y=log1 (2x2-3x+1) 的遞減區(qū)間為24.若函數(shù) f (x)loga x(0a1) 在區(qū)間 a,2a上的最大值是最小值的3 倍，則 a=5.已知 f (x)log1x (a0且a1) ，（1）求 f (x)的定義域（ 2）求使 f ( x)0的 x 的取值范圍a 1x一、方程的根與函數(shù)的零點1 、函數(shù)零點的概念：對于函數(shù)第三章函數(shù)的應用yf (x)( xD ) ，把使f (x)0 成立的實數(shù)x 叫做函數(shù)y f ( x)(xD) 的零點。2、函數(shù)零點的意義：函數(shù)yf (x) 的零點就是方程 f ( x) 0 實數(shù)根，亦即函數(shù)y f ( x) 的圖象與 x 軸交點的橫坐標。即：方程 f (x)0 有實數(shù)根函數(shù) yf