第二十一講齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)

1、1 1 1第四講第四講 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)一、齊次線性方程組解的性質(zhì)一、齊次線性方程組解的性質(zhì)二、齊次線性方程組基礎(chǔ)解系及其求法二、齊次線性方程組基礎(chǔ)解系及其求法第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性2 2 2一、齊次線性方程組解的性質(zhì)一、齊次線性方程組解的性質(zhì)1.回憶：線性方程組解的理論 )(有解元非齊次線性方程組bxannm1若若nbarar ),()(, 則方程組有無窮解.),()(barar若若nbarar ),()(,則方程組有唯一解,其中，充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩r(a)n. 元齊次線性方程組 amn x=0 有非零解的 (2)n充分必要條件

2、是系數(shù)矩陣的秩r(a)=n.元齊次線性方程組 amn x=0 只有零解的n3 3 32.解向量的概念設(shè)有齊次線性方程組組 000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa若記,aaaaaaaaaamnmmnn 212222111211 nxxxx21（1）4 4 4則上述方程組可寫成向量方程.ax0 1212111nnxxx ,若若為方程為方程 的的解，解，0 ax則則 121111nx 稱為方程組（1）的解向量解向量，它也就是向量方程（2）的解(2)5 5 53齊次線性方程組解的性質(zhì)（1 1）若）若 為為 的解，則的解，則 21 x,x0 ax

3、21 x0 ax也是 的解.證明 02121 aaa0021 a,a.axx的解的解也是也是故故021 6 6 6證明： .kkaka0011 證畢. .分析：方程組(2)(2)的全體解向量所組成的集合記為s s，如果能求得解集s s的一個(gè)最大無關(guān)組:0s, ,21r 則方程（2 2）的任意解都可由, 2211rrkkkx 都是方程（2 2）的解。因此上式就是方程（2 2）的通解。最大無關(guān)組 線性表示；0s的性質(zhì)，最大無關(guān)組 的任何線性組合0s（2 2）若 為 的解， 為實(shí)數(shù)，則，則1 x0 axk1 kx 0 ax 也是 的解反過來，由解向量7 7 7基礎(chǔ)解系的定義二、基礎(chǔ)解系及其求法二、基

4、礎(chǔ)解系及其求法如果解系 ，的解；線性表出。的基礎(chǔ)稱為齊次線性方程組（2 2） ,21r 的一組線性無關(guān)是方程（2 2） ,21r （1 1）的任一解都可由 ,21r （2 2）方程（2 2）也即： ,21r 是方程（2 2）解集的最大無關(guān)組8 8 8rrkkkx 2211結(jié)論：結(jié)論：0ax為齊次線性方程組如果 ,21r 的通解可表示為那么的一組基礎(chǔ)解系0,ax.,21是任意常數(shù)其中rkkk9 9 9 2.基礎(chǔ)解系的求法 求解 n元齊次線性方程組 amn x=0的基礎(chǔ)解系 及通解的步驟（設(shè)r(a)= rn）：1. 用初等行變換把 a 化成行最簡形矩陣b；3. 令 n - r 個(gè)自由未知量分別取如

5、下n-r組值：2. 寫出 a的行最簡形矩陣b所對應(yīng)的方程組 bx=0；1，0，0； 0，1，0； 0，0，1.101010的基礎(chǔ)解系.1 122,n rn rxccc所得到的n r個(gè)向量記為12,.n r 就是方程組 12,n r .,21 是任意常數(shù)其中n-rccc0ax 4. 寫出通解:111111例例1 1 0377, 02352, 0432143214321xxxxxxxxxxxx的基礎(chǔ)解系與通解.解解111125327731a對系數(shù)矩陣 作初等行變換，變?yōu)樾凶詈喰尉仃嚕衋求齊次線性方程組11112210754701410831rrrr 1212121111075401410811110754014108322111107540000rr 13423423,77 54.77xxxxxx便得111172015 74 70000r 102 73 712015 74 70000rr 131313,100143 及及令令xx,7473757221 及及對應(yīng)有對應(yīng)有xx,107473,01757221 即得基礎(chǔ)解系即得基礎(chǔ)解系141414).,( ,107473017572 21214321rccccxxxx 并由此得到