2023年高考數(shù)學(xué)大招9蒙日?qǐng)A及其證明

大招9蒙日?qǐng)A及其證明

大招總結(jié)

定理1曲線「：，+方=1的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)P的軌跡是圓x2+y2=a2+b2.

定理1的結(jié)論中的圓就是蒙日?qǐng)A.

證明當(dāng)題設(shè)中的兩條互相垂直的切線中有斜率不存在或斜率為0時(shí),可得點(diǎn)P的坐標(biāo)是（士。,份，或

（±a,-b）.

當(dāng)題設(shè)中的兩條互相垂直的切線中的斜率均存在且均不為。時(shí)，可設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)是（%，%）（七/±。，且

%?！纀），所以可設(shè)曲線「的過(guò)點(diǎn)P的切線方程是y—%=左（X—%）伏牛0）.

“22

-------1-------=1

由/H，得

2222222

{cTk+b^x-2ka（Ax0-yo）jt+a（^x0-y0）'-ab=0

由其判別式的值為。得

（￥-a~）H-Q.xoyok++b~=0（x；-a~w0）

因?yàn)樗鸄，即B是這個(gè)關(guān)于左的一元二次方程的兩個(gè)根，所以

k.k一三

（PA2B~~22

xQ-a

由此得

22

kPA-kPB=-1<=>XQ+yj=a+/?進(jìn)而可得欲證成立?

定理2（1）雙曲線=的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是圓Y+'2="一”；

（2）拋物線/=2px的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)是該拋物線的準(zhǔn)線.

22

定理3過(guò)圓/+y2=/+b2上的動(dòng)點(diǎn)P作橢圓*+3=1（?！?。>0）的兩條切線PA,PB,pllJPA±PB.

證明:設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)（天為）

22

土+匕=1

222222

由，ab~得(a*2+〃卜2_2/2z(-y0)x+?(-y0)-ab=0

y-y0=k{x-x0）

由其判別式的值為0,

得（x；-cr）k~_2XQy^k+yj—h~=0（不_cr*0）

因?yàn)椋?，%”是這個(gè)關(guān)于左的一元二次方程的兩個(gè)根，所以

_巾一萬(wàn)

k.k

^PAEB22

xo~a

一

*0+X)="+"，kpA?kpB2=-l,PAl.PB

22

定理4設(shè)P為蒙日?qǐng)AO:/+V=/+〃上任一點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P作橢圓力+/=1的兩條切線，交橢圓于點(diǎn)

A.B.O為原點(diǎn)，則OP,AB的斜率乘積為定值上op?心B

a2

22

定理5設(shè)尸為蒙日?qǐng)AO：V+J?=/+〃上任一點(diǎn)過(guò)點(diǎn)p作橢圓鼻=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為

ab

b2b2

A,B,0為原點(diǎn)，則OA,PA的斜率乘積為定值府八%=一-T,且OB.PB的斜率乘積為定值勺屋岸8二--7（

a6r

垂徑定理）

x2y2

定理6過(guò)圓/+y?=/+〃上的動(dòng)點(diǎn)p作橢圓滔■+R=l（a>6〉0）的兩條切線,O為原點(diǎn)，則PO平分

橢圓的切點(diǎn)弦AB.

證明:P點(diǎn)坐標(biāo)優(yōu),為），直線OP斜率kop=%

xo

b%)

由切點(diǎn)弦公式得到AB方程誓+誓=1,kAB=

ab。2yo

%22

定理7設(shè)尸為蒙日?qǐng)AO:/+V="+〃上任一點(diǎn)過(guò)點(diǎn)p作橢圓_+2_=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為

a~b

AB延長(zhǎng)PA.PB交伴圓。于兩點(diǎn)C,D,則CD//AB.

證明:由性質(zhì)2可知,M為AB中點(diǎn).

由蒙日?qǐng)A性質(zhì)可知，乙4PB=90°,

所以仞4=Affi=MP.

同理OP=OC=OD.

因此有ZPAM=ZAPM=ZCPO=ZPCO,

所以A5//CZX

典型例題

v.2

（例1.）（2020春-安徽月考）已知點(diǎn)P為直線④+y-4=0上一點(diǎn)PAPB是橢圓C:-y+丁=1（?！?）的兩

a

條切線，若恰好存在一點(diǎn)P使得PALPB，則橢圓C的離心率為

解方法1：設(shè)P5M2），過(guò)點(diǎn)P的切線方程為y-〃=Z（x-優(yōu)）,

y-n=k（x-m）

2

聯(lián)立《x、彳導(dǎo)（左）2+1卜2+2加（n―kni）x+/[（〃一Am）?-1J=0,

、/+）

直線與橢圓相切,A=4公/（〃—初?）2—4/92a2+1）[（〃一切?）2-1]=0,整理得

（“2一〉*2+2加成+1-〃2=0,若切線PA,PB的斜率均存在，分別設(shè)為與，女2，

1—1

PA_LPB,k1?k2=—-----二-1,即加“+〃“=1+a,

-a~-m

???點(diǎn)P在以（0,0）為圓心，、/17/為半徑的圓上，

即（0,0）到直線ox+y-4=0的距離為Jl+a?,

d-]4=J1+J，解得a=±5/3,

V?2+i

a>\,:.a=5/3,

若切線PA,PB分別與兩坐標(biāo)軸垂直，則P（a,1）或（—〃/）或（?,-1）或（―。，―1）,

存在點(diǎn)尸（。,1），將其代入直線以+y—4=0中，解得。=目.

綜上所述,。=若.又〃=1,，c=JT斤=0,

上、Fc叵底

???離心率6=—=-=:-.

a63

故答案為:2；.

方法2：在方法1中，實(shí)際上證明了一遍蒙日?qǐng)A，如果知道結(jié)論，可得P的軌跡光2+/=/+],且此圓與

ax+y-4=0相仞.

4

其中（0,0）到直線以+>-4=0的距離”

V?2+i

-1"d=/、=J1+/，解得a=±V3,

77+1

a=#＞，又b=1,.,.c=，3-1=\[2,

一、FcV2V6

離心率6=—=7=二-.

a63

Xo

（例2.）（2020春-安徽月考）已知兩動(dòng)點(diǎn)A.B在橢圓C:_+V=1（。〉1）上，動(dòng)點(diǎn)P在直線3x+4y-10=0

a

上，若NA必恒為銳角，則橢圓C的離心率的取值范圍為

解由結(jié)論可知:橢圓=+V=1的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是家日?qǐng)A/+丁=/+],

a

若Z4P8恒為銳角,則直線3x+4y-10=0與圓/+>2=/+]相離故>J/+1，又

例3.已知。：/+y2=1若直線y=履+2上總存在點(diǎn)P，使得過(guò)點(diǎn)P的。的兩條切線互相垂直，則實(shí)

數(shù)%的取值范圍是

解（HO,-在下圖中,若小圓（其圓心為點(diǎn)。，半徑為r）的過(guò)點(diǎn)A的兩條切線AB,AD互相垂直（切

點(diǎn)分別為E,F）得正方形AEOF,所以|QA\=42\OE|=后，即點(diǎn)4的軌跡是以點(diǎn)。為圓心,出為半徑的

圓.

由此結(jié)論可得:在本題中，點(diǎn)P在圓/+V=2上.所認(rèn)本題的題意即直線y=履+2與圓V+/=2有公

共點(diǎn)，進(jìn)而可得答案.

例4.已知橢圓C:《+與=1（。>b〉0）的一個(gè)焦點(diǎn)為（6,0），離心率為至.

a2b-3

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

A

(2)若動(dòng)點(diǎn)P(x0,%)為橢圓C外一點(diǎn)，且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)P的軌跡方程.

解⑴依題意有，=技"31=2故所求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為

(2)當(dāng)兩條切線的斜率存在時(shí)，設(shè)過(guò)尸(小,為)點(diǎn)的切線為曠一%=左(%一事)?

=心一/)

聯(lián)立公2

—+—=1

194

消去y得

(4+9公+18左(%—5)2—36=0

判別式

△=r+]824%_辰0)2-36(4+9公)[(%—而。)2-4]=0,

化簡(jiǎn)得(%—也)2—9F—4=0,即($一9*一2x°y°k+必-4.

y2—4

依題意得k1k,=4—=一1,即x：+y；=13(可由片+y；=/+〃直接可得答案)

'廝一9

(例5.已知橢圓C:[+/=1(。＞人＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)為(75,0)，離心率為半點(diǎn)P為圓M:F+V=13

上任意一點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn).

(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(II)記線段OP與橢圓交點(diǎn)為。，求|PQ|的取值范圍；

(III)設(shè)直線I經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且與橢圓C相切,/與圓M相交于另一點(diǎn)A,點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)為6,試判

斷直線PB與橢圓C的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

解⑴由題意可知:c=逐,6=￡=且，則0=3,〃="2一。'2=4,

a3

JCv

?,?橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:工+工-二1；

94

22

(III)由題意可知：12。1=1?！?一|0。1=舊一|0。1,設(shè)。(%,%)，2+?=1，

94

??IOQ\=&+上=Jx；+(4_?=,4+署,

由王G[-3,3],當(dāng)內(nèi)=0時(shí)』OQ|n“n=2,當(dāng)玉=±3時(shí),IOQImax=3,P。|的取值范圍[加一3,屈一2]；

(III)證明:由題意點(diǎn)8在圓例上,且線段AB為圓M的直徑，所以PAA.PB

分3種情況討論，

(1)當(dāng)直線PAJ_x軸時(shí)，易得直線PA的方程為》=±3,

由題意得直線PB的方程為），=±2,

顯然直線PB與橢圓C相切.

（2）同理當(dāng)直線PA//X軸時(shí)直線PB也與橢圓C相切.

（3）當(dāng)直線PA與x軸既不平行也不垂直時(shí)，

設(shè)點(diǎn)P（%,%）直線PA的斜率為k，則％H0,直線PB的斜率-

所以直線24：尸為=左（％一七），直線28：丁一%=-1（%-玉）），

K

y-y0^k{x-xQ）

由,Jy2，消去y得（9公+4卜2+18（%一5）依+9（%-5）2-36=0.

［94

因?yàn)橹本€PA與橢圓C相切，

所以△產(chǎn)［18（%_也,）寸—4（%2+4）［9（%-5）2-36卜0,

整理，得A=-144［（$—9*-+二-4］=0

同理,由直線PB與橢圓C的方程聯(lián)立，

得A2=T44（片-9）/+2入0%；+），；-4.（2）

因?yàn)辄c(diǎn)P為圓加：/+丁=13上任意一點(diǎn)，

所以*+*=13,即巾=13-4.

代入⑴式，得（片一9*一2與族+（9-片）=0,

代入（2）式得4=一矍［（只一9）+2/%%+（此一4）燈=一詈［（*一9）+2%%女+（9—學(xué)快2］,

=0"［（片-9）左~-2%0%k+（9-x；）］=0.

K

所以此時(shí)直線PB與橢圓C相切.

綜上，直線PB與橢圓C相切.

*22

例6.（2021-安徽模擬）已知圓。：/+/=5,橢圓r：方+萬(wàn)=1（。〉b>0）的左，右焦點(diǎn)為6,弱，過(guò)G且

垂直于X軸的直線被橢圓和圓所截得弦長(zhǎng)分別為1和2拉.

（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（II）如圖P為圓上任意一點(diǎn)，過(guò)P分別作橢圓兩條切線切橢圓于A.B兩點(diǎn).

（i）若直線PA的斜率為2,求直線PB的斜率；

（ii）作PQLAB于點(diǎn)。，求證：|。制+|。閭是定值.

2,5-2=2及

解⑴由題意可得<九2，解得。=21=1,。=百，

—=1

、a

2

所以橢圓的方程為3+y2=i.

(II)(I)設(shè)P(M，%)，切線丁-%=左(%—X。)，則考+=5,

2

X?2_]

T+>一，化簡(jiǎn)得(1+4-)/+8左(%—5)x+4(%—5)2-4=0,由4=0得

由＜

=心一面)

(4-片居+2依0%+1一%=0,

設(shè)切線PA.PB的斜率分別為k\,k'

則他=等=咔與…

又直線PA的斜率為2,則直線PB的斜率為-

(II)當(dāng)切線PAPB的斜率都存在時(shí)，設(shè)4(%,%),3(%,％)，

切線PA,PB的方程為y-yi=ki(x-xi),i=l,2,

由⑴得(4-x；R+2和成+1_才=0「=1,2,(*)

v-2

又A.B點(diǎn)在橢圓上得,才+片=1,i=1,2,(*)

得(2'￡+三〕=0,即匕=一興』=1,2,

I2)4%

汾線PA.PB的方程為十—+yj=l,z=l,2,

又過(guò)，點(diǎn)P，則?+yiy0=l,i=\,2.

所直線AB的方程為午+為y=1，(可直接代協(xié)點(diǎn)弦方程)

由PQ_LA8的直線PQ的方程為y-%="氣》一/),

聯(lián)立直線AB方程為瞥+為y=1,

4X0(1+3^)_4%0+3婿」

解傳加一片+16.一二%,為一片+16.一5%'

由片+y：=5得點(diǎn)。軌跡方程為3f+5/=1,且焦點(diǎn)恰為F、,F,,

16

故+耳|=2x4=^^,

o尺

當(dāng)切線PA,PB的斜率有一個(gè)不存在時(shí)，易得|。制+|QK|=囁?

綜上.|。耳|+|。眉=苧.

自我檢測(cè)

XV

1.(2021-全國(guó)二模)已知雙曲線二一一=1(。>1)上存在一點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)河向圓VO+V0=1做兩條切線

a4

MA,MB,若M4?MB=0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是0

A.(1,0)

B.(1,V2|

C.|V2,+oo)

D.(四,+8)

答案：

22

方法1：雙曲線=一=1(。>1)上存在一點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M向圓V+V=1做兩條切線MA、MB,若MA

a-4

MB=0,可知MA0B是正方形,MO=y[2，所以雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)的最大值為J5，所以ae故選B.

方法2:過(guò)點(diǎn)M向圓f+V=1做兩條切線MA、MB,若MAMB=0,M點(diǎn)軌跡即為蒙日?qǐng)AV+尸=2,

22

且此圓與雙曲線q—J=l(a〉l)有公共點(diǎn)所以ae(l,0].故選B

a4

22________

2.給定橢圓C：*?+本?=1(。〉b>0),稱圓心在原點(diǎn)。，半徑是的圓為橢圓c的“準(zhǔn)圓”.已知

橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F(V2,0)，其短軸的一個(gè)端點(diǎn)到點(diǎn)F的距離為由.

⑴求橢圓。及其“準(zhǔn)圓”的方程

(II)若點(diǎn)4是橢圓C的“準(zhǔn)圓”與x軸正半軸的交點(diǎn)BD是橢圓C上的相異兩點(diǎn)，且BOLx軸，求

A8-A。的取值范圍；

(III)在橢圓C的“準(zhǔn)圓”上任取一點(diǎn)P(sj)，過(guò)點(diǎn)P作兩條直線4，匕使得4,12與橢圓。都只有一個(gè)公共

點(diǎn)，且44分別與橢圓的“準(zhǔn)圓”交于M,N兩點(diǎn).證明:直線MN過(guò)原點(diǎn)。.

答案：

(I)解由題意知。=0,。=必品=6,解得人=1,

2

???橢圓。的方程為方+〉2=1，其“準(zhǔn)圓”為/+：/=4.

2

(II)解:由題意，設(shè)8(九(一G<〃2〈石，則有為-+〃2=1,

又A點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，故AB=(m-2,〃),AD=(m-2,-n),

(2\

???A月A)=(〃一2)2—“2=加2—4加+4一1_&

、3，

42“.4(3Y

——m+3=—m——,

3—4/M312)

又—"Js</??<5/3,—Im—Ie[0,7+.

312)

：.AB-AD的取值范圍是[0,7+4百).

(Ill)設(shè)P(s,f),則1+-=4,

當(dāng)s=土石時(shí),r=±1,則4,4其中之一斜率不存在,另一條斜率為0,

4_L4.

當(dāng)fH±6時(shí)，設(shè)過(guò)尸(SJ)且與有一個(gè)公共點(diǎn)的直線/的斜率為k,

則I的方程為>—，=k(x-s)，代人橢圓C的方程得：

x2+3k(x-s)+〃2=3，即(3左2+1)%2—6k(t—ks)x+3(/—kt)2—3=0,

由A=36k2(t—抬了—4(3左2+1)[3(/—8了—3]=0,

得(3—產(chǎn)伙2+2$飲+*—3=()其中3—r。0,

設(shè)的斜率分別為加七，則"分別是上述方程的兩個(gè)根，

-

r.k}k,2=-I,../1-L/2.

綜上所述,4^/2，

MN是準(zhǔn)圓的直徑,.??直線MN過(guò)原點(diǎn)O

3.已知A是圓丁+丁=4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作兩條直線4,12，它們與橢圓y+/=l都只有一個(gè)公共

點(diǎn)，且分別交圓于點(diǎn)M.N

⑴若A(-2,0),求直線4,4的方程；

(2)(1)求證:對(duì)于圓上的任意點(diǎn)A,都有乙_L4成立；

(2)求AW面積的取值范圍.

答案：

2

⑴解:設(shè)直線的方程為y=k(x+2)代人橢圓、+V=1，消去y，可得(1+3公卜2+12公X+12二-3=0

由△=(),可得左2一1=()

設(shè)h,4的斜率分別為人,&???勺=一1/2=1

???直線《4的方程分別為y=—x-2,y=x+2；

⑵⑴證明:當(dāng)直線12的斜率有一條不存在時(shí),不妨設(shè)4無(wú)斜率

4與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn),所以其方程為％=土百

當(dāng)/,的方程為x=6時(shí)，此時(shí)/,與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為（百.±1）,所以4的方程為y=1（或y=T），4-Li2成立,

同理可證，當(dāng)'的方程為“=一6時(shí)，結(jié)論成立；

當(dāng)直線/）,12的斜率都存在時(shí)，設(shè)點(diǎn)A（m,n），且裙+〃2=4

設(shè)方程為丁=攵*一加）+〃代人橢圓方程，可得（1+3/卜2+6左（“—k”）x+3（〃—初?）2-3=0

由△=（）化簡(jiǎn)整理得（32）爐+27“〃攵+1-〃2-Q

nr+n2=4

nr^k2+2mnk+m2—3=0

設(shè)44的斜率分別為占#2,空2=T，-L4成立

綜上，對(duì)于圓上的任意點(diǎn)A,都有414成立；

⑵記原點(diǎn)到直線4,/2的距離分別為4,4，

4+d；=4」,AMN面積§2=4d；&=4d;（4-J,2）=-4（J,2-2）2+16

J；e[1,3],.-.S2e[12,16]

.-.Se[2^,4].

4.過(guò)P點(diǎn)作橢圓兩條切線,若橢圓的兩條切線互相垂直，設(shè)圓心到切點(diǎn)弦的距離為4,P到切點(diǎn)弦的距離為

&證明44之積為常數(shù).

答案：

X2V2

證明:如圖所示，設(shè)橢圓方程為一■+*=1（?！等恕?），那么

a~b-

在橢圓上A,B兩處切線的交點(diǎn)P在圓V+丁="2+〃（x\neqa）,

現(xiàn)設(shè)P（y/a2+b2cos0,y/a2+b~sin夕），

那么AB的直線方程為

xb2y/a2+b2cos0+ya2\Ja2+b2sin0-crb1=0.

原點(diǎn)到切點(diǎn)弦AB的距離

d=______小______

^a2+b2^b4cos20+a4sin26^

切線交點(diǎn)P到切點(diǎn)弦AB的距離是

d_產(chǎn)（/+/"6+/（/+吁皿26-4詞_74cos26+/sin-6

所以

+尸）（/?4cos」6+a，sin26）+6）僅4cos2A+a，sin26）

44=若^（常數(shù)）.

5.（2021貴州模擬）已知橢圓C:5+V=1,M是圓元2+>2=3上的任意一點(diǎn),MA,MB分別與橢圓切于A.B.

求.AOB面積的取值范圍.

答案：

設(shè)M(%,%),4(%,y),,必)設(shè)

M4節(jié)+yy=i，M8：號(hào)+y2y=L且片+y：=3

由M(%，%)，4a，X)，g，%)得等+=L竽+%%=1，從而AB:當(dāng)+%>=1

將直線AB的方程與橢圓C的方程聯(lián)立得

2

(^+3)X-4XOX-4^+4=O.

所以,X|+X2=——--,XyX2=--~千,

%+3%+3

26國(guó)+1

因此,AB

+3

1Dn

又原點(diǎn)O到直線AB的距離d——.-=—/,

考.23收+1

1

所以

2北+3

令/=辰=6[1,2]得到

ccfc1272

5A=2-=2e

OB35V

/+_

JQ,"y~

6.（2021河北模擬）設(shè)橢圓7+一=1的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)軌跡為C,曲線C的兩條切線PA.PB

54

交于點(diǎn)P,且與C分別切于A,B兩點(diǎn)，求PA-PB的最小值.

答案：

設(shè)兩切線為44

⑴當(dāng)4_Lx軸或4//無(wú)軸時(shí)，對(duì)應(yīng)l2//x軸或Z2±x軸，可知P（土底±2）；

⑵當(dāng)/,與x軸不垂直且不平行時(shí),x豐土非，設(shè)（的斜率為k廁k豐0,/2的斜率為-的方程為y—

K

,%2V2

%=攵（尤一/）,聯(lián)立y+]=l,

得（5左2+4）/+10（為一線）履+5（%—左O）2-2O=O,

因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以△=0得

5（%—5）晨2-（5/+4）（%-5）2-4=0,

.?.一20女2+4[出一5）2_4]=0,

，（片—5^k~—2xoyok+—4=0,

所以k是方程（片—5快2―2x°y°k+尤—4=0的一個(gè)根，

同理一:是方程（片一5產(chǎn)—2升小+y：—4=0的另一個(gè)根，

一!]=得片+＞：=9,其中彳彳士百,

Ik）拓-5

所以點(diǎn)P的軌跡方程為V+丁=9（》工±75）,

因?yàn)镻（±3,±2）滿足上式，

綜上知:點(diǎn)P的軌跡方程為Y+丁=9.

設(shè)PM=PB=x,ZAPB=氏則在AAOB與.APB中應(yīng)用余弦定理知，

AB2=0A1+OB2-2OAOB-cosZAOB

=PA1+PB2-2PA-PB-cosZAPS,即

33+33-2-3-3cos（180-=x2+x2-2x\cdotx-cos。，即

2_9（1+cos6）

l-cos。

PAPB=\PA\-\PB\cos/APB=x-xcos0

_9（1+cos。）cos。

1-cos0

令，=1一cos0G（0,2],則cos0=\—t.

PA.P5=9（2；）（lT）=9（「3，+2）=91含）

..9-2^7|-3=9（2夜—3）

且僅當(dāng)，=2,即f=血時(shí),PA?PB取得最小9（272-3）.

t

Y~y-

7.（衡水中學(xué)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy,設(shè)點(diǎn)M（天,為）是橢圓。：五+吉=1上一點(diǎn)，從原點(diǎn)0向

圓M（x-xo『+（y-yo）2=8

作兩條切線分別與橢圓C交于點(diǎn)P.Q.

（1）若M點(diǎn)在第一象限，且直線OP.OQ互相垂直，求圓M的方程；

（2）若直線OPQQ的斜率存在,分別記為的斜2.求匕的值;

（3）試問(wèn)IOPF+|。?！菏欠駷槎ㄖ?若是求出該定值若不是，說(shuō)明理由.

y

oX

答案：

（1）由圓M的方程知圓M的半徑r=2C,因?yàn)橹本€OPQQ互相垂直,且和圓M相切，所以

|OM|=V2r=4，即

+=16

22

又點(diǎn)R在橢圓。上,所以x二+My=1

2412

x0=25/2

聯(lián)立⑴⑵，解得《

Jo=2y/2

所以所求圓M的方程為（X-2血產(chǎn)+（y-=8.

⑵因?yàn)橹本€。P：y=和。Q：y=&x都與圓R相切.

⑶所以佝=20,以：。一對(duì)=272

J1+F戊+行

化簡(jiǎn)得占?%=*二1,

工0—8

因?yàn)辄c(diǎn)RCWO）在橢圓0上,所以或+會(huì)=1，即y；=i2—g*,

4二片.

O01

所以仁?“2=_2-f=一3

XQ-oZ

⑶⑴當(dāng)直線OPQQ不落在坐標(biāo)軸上時(shí)，設(shè)尸（西,乂）,。（々,丫2），

由（2）知2k、k,+1=0,所以幺邑=1,

X/2

故犬只

2222

因?yàn)?&,%）,。（孫必），在橢圓c上，所以含+毛=1，篇+卷=1

JL4^"1JL乙

即y：=12—所以

i?

24

整理得片+名=24,所以

弁+￡=(12一沁+02一澗=12.

2

所以"+OQ2=x：+y；+x；+y；=24+12=36.

（2）當(dāng)直線OPQQ落在坐標(biāo)軸上時(shí),顯然有。尸+。。之=36.

綜上:0尸2+0。2=36

22

結(jié)論：設(shè)點(diǎn)M（小,%）是橢圓C：5■+方=13>8>0）上任意一點(diǎn),從原點(diǎn)。向圓M:（x-E丫+⑶―

="?^T作兩條切線分別與橢圓C交于點(diǎn)p、Q,直線OPQQ的斜率分別記為k\,kr

8.（2021年甘肅省張掖市肅南一中高考數(shù)學(xué)模擬）已知橢圓0：與+占=1（。>匕〉0）的離心率e=中,且