高中數學人教A版選修11課時作業(yè)：第3章 導數及其應用3.4

1、高中數學選修精品教學資料§3.4生活中的優(yōu)化問題舉例課時目標通過用料最省、利潤最大、效率最高等優(yōu)化問題,使學生體會導數在解決實際問題中的作用,會利用導數解決簡單的實際生活中的優(yōu)化問題1生活中經常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題,這些問題通常稱為_,通過前面的學習,我們知道_是求函數最大(小)值的有力工具,運用_,可以解決一些生活中的_2解決實際應用問題時,要把問題中所涉及的幾個變量轉化成函數關系,這需通過分析、聯(lián)想、抽象和轉化完成函數的最值要由極值和端點的函數值確定,當定義域是開區(qū)間,而且其上有惟一的極值,則它就是函數的最值3解決優(yōu)化問題的基本思路是：上述解決優(yōu)化問題的過程是

2、一個典型的_過程一、選擇題1某箱子的容積與底面邊長x的關系為v(x)x2 (0<x<60),則當箱子的容積最大時,箱子底面邊長為()a30b40c50d其他2已知某生產廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產量x(單位：萬件)的函數關系式為yx381x234,則使該生產廠家獲取最大年利潤的年產量為()a13萬件b11萬件c9萬件d7萬件3某工廠要圍建一個面積為512平方米的矩形堆料場,一邊可以利用原有的墻壁,其他三邊需要砌新的墻壁,當砌壁所用的材料最省時堆料場的長和寬分別為()a32米,16米b30米,15米c40米,20米d36米,18米4若底面為等邊三角形的直棱柱的體積為v,則其表面

3、積最小時,底面邊長為()abcd25要做一個圓錐形的漏斗,其母線長為20cm,要使其體積最大,則高為()a cm b cmccm dcm6某公司生產某種產品,固定成本為20000元,每生產一單位產品,成本增加100元,已知總收益r與年產量x的關系是r,則總利潤最大時,年產量是()a100b150c200d300題號123456答案二、填空題7某公司租地建倉庫,每月土地占用費y1與倉庫到車站的距離成反比,而每月庫存貨物的運費y2與到車站的距離成正比,如果在距離車站10千米處建倉庫,這兩項費用y1和y2分別為2萬元和8萬元那么,要使這兩項費用之和最小,倉庫應建在離車站_千米處8如圖所示,一窗戶的上

4、部是半圓,下部是矩形,如果窗戶面積一定,窗戶周長最小時,x與h的比為_9做一個無蓋的圓柱形水桶,若需使其體積是27,且用料最省,則圓柱的底面半徑為_三、解答題10某地建一座橋,兩端的橋墩已建好,這兩墩相距m米,余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩經測算,一個橋墩的工程費用為256萬元,距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為(2)x萬元假設橋墩等距離分布,所有橋墩都視為點,且不考慮其它因素記余下工程的費用為y萬元(1)試寫出y關于x的函數關系式；(2)當m640米時,需新建多少個橋墩才能使y最小？11某商品每件成本9元,售價30元,每星期賣出432件如果降低價格,銷售量可以增加,且每星期多賣

5、出的商品件數與商品單價的降低值x(單位：元,0x30)的平方成正比,已知商品單價降低2元時,一星期多賣出24件(1)將一個星期的商品銷售利潤表示成x的函數；(2)如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？能力提升12某單位用2160萬元購得一塊空地,計劃在該塊地上建造一棟至少10層、每層2000平方米的樓房經測算,如果將樓房建為x(x10)層,則每平方米的平均建筑費用為56048x(單位：元)為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少,該樓房應建為多少層？(注：平均綜合費用平均建筑費用平均購地費用,平均購地費用)13已知某商品生產成本c與產量q的函數關系式為c1004q,價格p與產量q的函數關系式為

6、p25q,求產量q為何值時,利潤l最大利用導數解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟(1)分析實際問題中各變量之間的關系,建立實際問題的數學模型,寫出實際問題中變量之間的函數關系yf(x)；(2)求函數的導數f(x),解方程f(x)0；(3)比較函數在區(qū)間端點和f(x)0的點的函數值的大小,最大(小)者為最大(小)值；(4)寫出答案§3.4生活中的優(yōu)化問題舉例答案知識梳理1優(yōu)化問題導數導數優(yōu)化問題作業(yè)設計1bv(x)60xx20,x0或x40.x(0,40)40(40,60)v(x)0v(x)極大值可見當x40時,v(x)達到最大值2cyx281,令y0,得x9或x9(舍去)當0<x&

7、lt;9時,y>0；當x>9時,y<0,故當x9時,函數有極大值,也是最大值3a要求材料最省就是要求新砌的墻壁總長度最短,如圖所示,設場地寬為x米,則長為米,因此新墻壁總長度l2x (x>0),則l2.令l0,得x±16.x>0,x16.當x16時,l極小值lmin64,此時堆料場的長為32(米)4c設底面邊長為a,直三棱柱高為h.體積va2h,所以h,表面積s2·a23a·a2,sa,由s0,得a.經驗證,當a時,表面積最小5d設高為xcm,則底面半徑為cm,體積vx·(202x2) (0<x<20),v(40

8、03x2),由v0,得x或x(舍去)當x時,v>0,當x時,v<0,所以當x時,v取最大值6d由題意,總成本為c20000100x,所以總利潤為prc,p,p0,當0x400時,得x300；當x>400時,p<0恒成立,易知當x300時,總利潤最大75解析依題意可設每月土地占用費y1,每月庫存貨物的運費y2k2x,其中x是倉庫到車站的距離于是由2,得k120；由810k2,得k2.因此兩項費用之和為y,y,令y0得x5(x5舍去),經驗證,此點即為最小值點故當倉庫建在離車站5千米處時,兩項費用之和最小811解析設窗戶面積為s,周長為l,則sx22hx,hx,所以窗戶周長

9、lx2x2hx2x,l2.由l0,得x,x時,l<0,x時,l>0,所以當x時,l取最小值,此時1.93解析設半徑為r,則高h.水桶的全面積s(r)r22r·r2.s(r)2r,令s(r)0,得r3.當r3時,s(r)最小10解(1)設需新建n個橋墩,則(n1)xm,即n1 (0<x<m),所以yf(x)256n(n1)(2)x256(2)xm2m256 (0<x<m)(2)由 (1)知,f(x)mx(x512)令f(x)0,得x512,所以x64.當0<x<64時,f(x)<0,f(x)在區(qū)間(0,64)內為減函數；當64<

10、;x<640時,f(x)>0,f(x)在區(qū)間(64,640)內為增函數,所以f(x)在x64處取得最小值,此時n119.故需新建9個橋墩才能使y最小11解(1)設商品降低x元時,多賣出的商品件數為kx2,若記商品在一個星期的銷售利潤為f(x),則依題意有f(x)(30x9)·(432kx2)(21x)·(432kx2),又由已知條件24k·22,于是有k6,所以f(x)6x3126x2432x9072,x0,30(2)根據(1),有f(x)18x2252x43218(x2)(x12)當x變化時,f(x)與f(x)的變化情況如下表：x0,2)2(2,12)12(12,30f(x)00f(x)極小值極大值故x12時,f(x)達到極大值因為f(0)9072,f(12)11664,所以定價為301218(元)能使一個星期的商品銷售利潤最大12解設樓房每平方米的平均綜合費用為f(x)元,則f(x)(56048x)56048x(x10,xn*),f(x)48,令f(x)0得x15.當x>15時,f(x)>0；當0<x<15時,f(x)<0.因此,當x15時,f(x)取最小值f(15)2000.所以為了使樓房每平方米的平均綜