單自由系統(tǒng)的振動

1、第第2 2章章 單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動返回總目錄振動理論與應用振動理論與應用theory of vibration with applications 返回首頁目錄theory of vibration with applications 返回首頁theory of vibration with applications單自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)的的典型的單自由度系統(tǒng)典型的單自由度系統(tǒng): :彈簧彈簧- -質(zhì)量系統(tǒng)質(zhì)量系統(tǒng) 梁上固定一臺電動機，當電機沿鉛直梁上固定一臺電動機，當電機沿鉛直方向振動時，可視為集中質(zhì)量。如不方向振動時，可視為集中質(zhì)量。如不計梁的質(zhì)量，則相當于一根無重彈簧，

2、計梁的質(zhì)量，則相當于一根無重彈簧，系統(tǒng)簡化成彈簧系統(tǒng)簡化成彈簧- -質(zhì)量系統(tǒng)質(zhì)量系統(tǒng) 返回首頁theory of vibration with applications2.1.1 自由振動方程自由振動方程 2.1.2 振幅、初相位和頻率振幅、初相位和頻率 2.1.3 等效剛度系數(shù)等效剛度系數(shù) 2.1.4 扭轉(zhuǎn)振動扭轉(zhuǎn)振動 返回首頁theory of vibration with applications2.1.1 自由振動方程自由振動方程)(stxkmgxm 當物塊偏離平衡位置為當物塊偏離平衡位置為x x距離時，物塊的距離時，物塊的運動微分方程為運動微分方程為 kxxm 02 xpxn 其中m

3、kpn 取物塊的靜平衡位置為坐標原點取物塊的靜平衡位置為坐標原點o，x軸軸順彈簧變形方向鉛直向下為正。當物塊順彈簧變形方向鉛直向下為正。當物塊在靜平衡位置時，由平衡條件，得到在靜平衡位置時，由平衡條件，得到stkmg 無阻尼自由振動微分方程無阻尼自由振動微分方程 彈簧的靜變形彈簧的靜變形固有圓頻率固有圓頻率 返回首頁theory of vibration with applications其通解其通解為：為：tpctpcxnnsincos2101xc txtxx00000sincos002xc其中其中c1和和c2為積分常數(shù)，由物塊運動的起始條件確定。設為積分常數(shù)，由物塊運動的起始條件確定。設t

4、=0時，時， 可解可解00 xxxx ， 返回首頁2.1.1 自由振動方程自由振動方程theory of vibration with applications)sin( tpaxn )(arctg)(002020 xxppxxann兩種形式描述的物兩種形式描述的物塊振動，稱為無阻塊振動，稱為無阻尼自由振動，簡稱尼自由振動，簡稱自由振動。自由振動。 無阻尼的自由振動是以其靜平衡位置為振動中心的無阻尼的自由振動是以其靜平衡位置為振動中心的簡諧振動簡諧振動 初相位角 振 幅 返回首頁2.1.1 自由振動方程自由振動方程theory of vibration with applications2.1

5、.2 振幅、初相位和頻率振幅、初相位和頻率系統(tǒng)振動的周期kmptn22 系統(tǒng)振動的頻率mkptfn221 系統(tǒng)振動的圓頻率為fpn2 圓頻率 是物塊在自由振動中每2 秒內(nèi)振動的次數(shù)。f、 只與振動系統(tǒng)的彈簧常量k和物塊的質(zhì)量 m 有關，而與運動的初始條件無關。因此，通常將頻率f 稱為固有頻率，圓頻率 稱為固有圓頻率。 npnpnp 返回首頁theory of vibration with applications用彈簧靜變形量用彈簧靜變形量 st表示固有圓頻率的計算公式表示固有圓頻率的計算公式 物塊靜平衡位置時物塊靜平衡位置時stkmg mkpn 固有圓頻率固有圓頻率stgpn stmgk 返

6、回首頁2.1.2 振幅、初相位和頻率振幅、初相位和頻率theory of vibration with applications2.1.3 等效剛度系數(shù)等效剛度系數(shù)0eqeqqkqm 0kxxm 加加的的力力或或力力矩矩。需需要要在在這這一一坐坐標標方方向向施施位位移移，廣廣義義坐坐標標方方向向產(chǎn)產(chǎn)生生單單位位等等效效剛剛度度：使使系系統(tǒng)統(tǒng)在在eqk向向施施加加的的力力或或力力矩矩。度度，需需要要在在這這一一坐坐標標方方加加速速廣廣義義坐坐標標方方向向產(chǎn)產(chǎn)生生單單位位等等效效質(zhì)質(zhì)量量：使使系系統(tǒng)統(tǒng)在在eqm 返回首頁theory of vibration with applications0e

7、qeqqkqm 0qpqn tpctpcqnncoscos21 tpaqnsin初始速度。初始廣義坐標；振動的位相；振動的振幅；系統(tǒng)的固有頻率；0000n2020eqeqarctanqqqqppqqamkpnn 返回首頁2.1.3 等效剛度系數(shù)等效剛度系數(shù)theory of vibration with applications例例 在圖中，已知物塊的質(zhì)量為在圖中，已知物塊的質(zhì)量為m，彈簧的彈簧剛度系數(shù)分別為，彈簧的彈簧剛度系數(shù)分別為k1、k2，分別求并聯(lián)彈簧與串聯(lián)彈簧直線振動系統(tǒng)的固有頻率。，分別求并聯(lián)彈簧與串聯(lián)彈簧直線振動系統(tǒng)的固有頻率。 解解：（：（1）并聯(lián)情況。彈簧并聯(lián)的特征是：）并聯(lián)

8、情況。彈簧并聯(lián)的特征是：二二彈簧變形相等彈簧變形相等。 振動過程中，物塊始終作平行移動。處振動過程中，物塊始終作平行移動。處于平衡位置時，兩根彈簧的靜變形都是于平衡位置時，兩根彈簧的靜變形都是 st，而彈性力分別是，而彈性力分別是 st11kf st22kf 系統(tǒng)平衡方程是系統(tǒng)平衡方程是0 xfst2121)(kkffmg 返回首頁2.1.3 等效剛度系數(shù)等效剛度系數(shù)theory of vibration with applications如果用一根彈簧剛度系數(shù)為如果用一根彈簧剛度系數(shù)為k的彈簧來代替原來的兩根彈簧，的彈簧來代替原來的兩根彈簧，使該彈簧的靜變形與原來兩根彈簧所產(chǎn)生的靜變形相等，

9、則使該彈簧的靜變形與原來兩根彈簧所產(chǎn)生的靜變形相等，則 stkmg 21kkkst2121)(kkffmgk稱為稱為并聯(lián)彈簧的等效并聯(lián)彈簧的等效剛度系數(shù)。剛度系數(shù)。并聯(lián)后的等效彈簧剛并聯(lián)后的等效彈簧剛度系數(shù)是各并聯(lián)彈簧度系數(shù)是各并聯(lián)彈簧剛度系數(shù)的算術和。剛度系數(shù)的算術和。系統(tǒng)的固有頻率系統(tǒng)的固有頻率mkkmkf212121 返回首頁2.1.3 等效剛度系數(shù)等效剛度系數(shù)theory of vibration with applications（2）串聯(lián)情況。串聯(lián)彈簧的特征是：）串聯(lián)情況。串聯(lián)彈簧的特征是：二二彈簧受力相等彈簧受力相等。 當物塊在靜平衡位置時，它的靜位移st等于每根彈簧的靜變形之和

10、，即 st = 1st + 2st 由于每根彈簧所受的拉力都等于由于每根彈簧所受的拉力都等于重力重力mg，故它們的靜變形分別為，故它們的靜變形分別為1st1kmg2st2kmg如果用一根彈簧剛度系數(shù)為如果用一根彈簧剛度系數(shù)為 k 的彈的彈簧來代替原來的兩根彈簧，此彈簧簧來代替原來的兩根彈簧，此彈簧的靜變形等于的靜變形等于kmgst 返回首頁2.1.3 等效剛度系數(shù)等效剛度系數(shù)theory of vibration with applications如果用一根彈簧剛度系數(shù)為如果用一根彈簧剛度系數(shù)為k 的彈簧來代替原來的的彈簧來代替原來的兩根彈簧，此彈簧的靜變形等于兩根彈簧，此彈簧的靜變形等于km

11、gst21111kkkkk kkk1212k稱為串聯(lián)彈簧的等效剛度系數(shù)1st1kmg2st2kmg串聯(lián)后的彈簧剛度系數(shù)的倒數(shù)等于串聯(lián)后的彈簧剛度系數(shù)的倒數(shù)等于各串聯(lián)彈簧剛度系數(shù)倒數(shù)的算術和各串聯(lián)彈簧剛度系數(shù)倒數(shù)的算術和)(21212121kkmkkmkf 返回首頁2.1.3 等效剛度系數(shù)等效剛度系數(shù)theory of vibration with applications例例 質(zhì)量為質(zhì)量為m的物塊懸掛如圖所示。設桿的物塊懸掛如圖所示。設桿ab的質(zhì)量不計，兩彈的質(zhì)量不計，兩彈簧的彈簧剛度系數(shù)分別為簧的彈簧剛度系數(shù)分別為k1和和k2,又又ac=a，ab=b，求物塊的自，求物塊的自由振動頻率。由振動

12、頻率。 解解：將各彈簧的剛度系數(shù)按：將各彈簧的剛度系數(shù)按靜力等效的原則，折算到質(zhì)靜力等效的原則，折算到質(zhì)量所在處。量所在處。 先將剛度系數(shù)先將剛度系數(shù)k2換算至質(zhì)換算至質(zhì)量量m所在處所在處c的等效剛度系的等效剛度系數(shù)數(shù)k 。 返回首頁theory of vibration with applicationsc2.1.3 等效剛度系數(shù)等效剛度系數(shù)先將剛度系數(shù)先將剛度系數(shù)k2換算至質(zhì)量換算至質(zhì)量m所在處所在處c的等效剛度系數(shù)的等效剛度系數(shù)k 。 返回首頁theory of vibration with applicationsc設在設在c處作用一力處作用一力f，按靜力平衡的，按靜力平衡的關系，作用

13、在關系，作用在b處的力為處的力為bfa此力使此力使b b 彈簧彈簧 k2 產(chǎn)生產(chǎn)生 變形，變形，222bkfabac而此變形使而此變形使c點發(fā)生的變形為點發(fā)生的變形為 得到作用在得到作用在c處而與處而與k2彈簧等效的剛度系數(shù)彈簧等效的剛度系數(shù) 222abkfkc2.1.3 等效剛度系數(shù)等效剛度系數(shù)c222abkfkc物塊的自由振動頻率為物塊的自由振動頻率為)(221221kbkamkkbmkpn 與彈簧k1串聯(lián)221222122212221kbkabkkabkkabkkk 返回首頁theory of vibration with applications得系統(tǒng)的等效剛度系數(shù)得系統(tǒng)的等效剛度系數(shù)

14、2.1.3 等效剛度系數(shù)等效剛度系數(shù)例例 一個質(zhì)量為一個質(zhì)量為m的物塊從的物塊從 h 的高的高處自由落下，與一根抗彎剛度為處自由落下，與一根抗彎剛度為ei、長為的簡支梁作塑性碰撞，不計梁長為的簡支梁作塑性碰撞，不計梁的質(zhì)量，求該系統(tǒng)自由振動的頻率、的質(zhì)量，求該系統(tǒng)自由振動的頻率、振幅和最大撓度。振幅和最大撓度。 st21gf 返回首頁2.1.3 等效剛度系數(shù)等效剛度系數(shù)theory of vibration with applications解解：當梁的質(zhì)量可以略去不計時，梁可以用一根彈簧：當梁的質(zhì)量可以略去不計時，梁可以用一根彈簧來代替，于是這個系統(tǒng)簡化成彈簧來代替，于是這個系統(tǒng)簡化成彈簧質(zhì)

15、量系統(tǒng)。如果質(zhì)量系統(tǒng)。如果知道系統(tǒng)的靜變形知道系統(tǒng)的靜變形 則求出系統(tǒng)的固有頻率則求出系統(tǒng)的固有頻率 st由材料力學可知，簡支梁受集由材料力學可知，簡支梁受集中載荷作用，其中點靜撓度為中載荷作用，其中點靜撓度為eimgl483st求出系統(tǒng)的固有頻率為求出系統(tǒng)的固有頻率為34821mleif 中央受集中載荷的簡支梁的等效彈簧剛度系數(shù)為中央受集中載荷的簡支梁的等效彈簧剛度系數(shù)為348leik 返回首頁2.1.3 等效剛度系數(shù)等效剛度系數(shù)theory of vibration with applications以梁承受重物時的靜平衡位置為坐標以梁承受重物時的靜平衡位置為坐標原點原點o，建立坐標系，并

16、以撞擊時刻，建立坐標系，并以撞擊時刻為零瞬時，則為零瞬時，則t=0時，有時，有st0 xghx20自由振動的振幅為自由振動的振幅為st2st20202)(hpxxan )9611 (48233stst2ststmaxmgleiheimglha梁的最大撓度梁的最大撓度 返回首頁2.1.3 等效剛度系數(shù)等效剛度系數(shù)theory of vibration with applications2.1.4 扭轉(zhuǎn)振動扭轉(zhuǎn)振動內(nèi)燃機的曲軸、輪船的傳動軸等，在運內(nèi)燃機的曲軸、輪船的傳動軸等，在運轉(zhuǎn)中常常產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)振動，簡稱扭振。轉(zhuǎn)中常常產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)振動，簡稱扭振。 扭振系統(tǒng)稱為扭振系統(tǒng)稱為扭擺扭擺。oa 為一鉛直圓軸

17、，圓盤對其轉(zhuǎn)動慣量為為一鉛直圓軸，圓盤對其轉(zhuǎn)動慣量為io。在研究扭擺的運動規(guī)律時，假定在研究扭擺的運動規(guī)律時，假定oa的質(zhì)量略的質(zhì)量略去不計，圓盤的位置可由圓盤上任一根半徑去不計，圓盤的位置可由圓盤上任一根半徑線和該線的靜止位置之間的夾角線和該線的靜止位置之間的夾角 來決定，來決定，稱稱扭角扭角。圓軸的抗扭剛度系數(shù)為圓軸的抗扭剛度系數(shù)為kn，表示使，表示使圓盤產(chǎn)生單位扭角所需的力矩。圓盤產(chǎn)生單位扭角所需的力矩。 返回首頁theory of vibration with applications根據(jù)剛體轉(zhuǎn)動微分方程建立該系統(tǒng)的運動微分方程根據(jù)剛體轉(zhuǎn)動微分方程建立該系統(tǒng)的運動微分方程noki 扭振

18、的運動規(guī)律扭振的運動規(guī)律tpptpnnnsincos00 對于單自由度振動系統(tǒng)來說，盡管前述直線振動和對于單自由度振動系統(tǒng)來說，盡管前述直線振動和當前扭振的結構形式和振動形式均不一樣，但其振當前扭振的結構形式和振動形式均不一樣，但其振動規(guī)律、特征是完全相同的。動規(guī)律、特征是完全相同的。 02 np onnikp 固有圓頻率固有圓頻率 返回首頁2.1.4 扭轉(zhuǎn)振動扭轉(zhuǎn)振動theory of vibration with applications圖圖 (a)所示為扭振系統(tǒng)兩個軸并聯(lián)的情況；圖所示為扭振系統(tǒng)兩個軸并聯(lián)的情況；圖(b)為兩為兩軸串聯(lián)的情況；圖軸串聯(lián)的情況；圖(c)則為進一步簡化的等效系

19、統(tǒng)。則為進一步簡化的等效系統(tǒng)。2121nnnnnkkkkk并聯(lián)軸系的等效剛度系數(shù)并聯(lián)軸系的等效剛度系數(shù)21nnnkkk串聯(lián)軸系的等效剛度系數(shù)串聯(lián)軸系的等效剛度系數(shù) 返回首頁2.1.4 扭轉(zhuǎn)振動扭轉(zhuǎn)振動theory of vibration with applications 返回首頁theory of vibration with applications計算固有頻率的能量法的理論基礎是機械能守恒定律。計算固有頻率的能量法的理論基礎是機械能守恒定律。 無阻尼單自由振動系統(tǒng)中，勢能與動能之和保持不變。無阻尼單自由振動系統(tǒng)中，勢能與動能之和保持不變。vt常量式中式中t是動能，是動能，v是勢能。如果

20、取平衡是勢能。如果取平衡位置位置o為勢能的零點，系統(tǒng)在任一位置為勢能的零點，系統(tǒng)在任一位置222121kxvxmt 返回首頁theory of vibration with applications當系統(tǒng)在平衡位置時，當系統(tǒng)在平衡位置時，x=0,速度為最大，勢能為零，速度為最大，勢能為零，動能具有最大值動能具有最大值tmax；當系統(tǒng)在最大偏離位置時，速度為零，動能為零，而當系統(tǒng)在最大偏離位置時，速度為零，動能為零，而勢能具有最大值勢能具有最大值vmax。由于系統(tǒng)的機械能守恒由于系統(tǒng)的機械能守恒 maxmaxvt用能量法計算固有頻率的公式用能量法計算固有頻率的公式 返回首頁theory of v

21、ibration with applications例例 船舶振動記錄儀的原理圖如圖所示。重物船舶振動記錄儀的原理圖如圖所示。重物p連同桿連同桿bd對于對于支點支點b的轉(zhuǎn)動慣量為的轉(zhuǎn)動慣量為ie ,求重物求重物p在鉛直方向的振動頻率。已知在鉛直方向的振動頻率。已知彈簧彈簧ac的彈簧剛度系數(shù)是的彈簧剛度系數(shù)是k。 解解： 這是單自由度的振動系統(tǒng)。這是單自由度的振動系統(tǒng)。系統(tǒng)的位置可由桿系統(tǒng)的位置可由桿bd自水平的自水平的平衡位置量起的平衡位置量起的 角來決定。角來決定。221bi系統(tǒng)的動能系統(tǒng)的動能設系統(tǒng)作簡諧振動，則其運動方程設系統(tǒng)作簡諧振動，則其運動方程)sin( tpn角速度為角速度為)c

22、os(dd tpptnn22maxmax2121nbbpiit 返回首頁theory of vibration with applications系統(tǒng)的最大動能為系統(tǒng)的最大動能為如取平衡位置為系統(tǒng)的勢能零點。設在平衡位置時，彈簧的伸如取平衡位置為系統(tǒng)的勢能零點。設在平衡位置時，彈簧的伸長量為長量為 。此時，彈性力。此時，彈性力fst=k ,方向向上。方向向上。 0)(fbm0s plbft0s plbkt該系統(tǒng)的勢能該系統(tǒng)的勢能)(21)(21st222st2stplkbkbplbkv2221kbv 222max2max2121kbkbv22222121kbpinb bikbp2n 返回首頁t

23、heory of vibration with applicationst st s 返回首頁theory of vibration with applications 返回首頁theory of vibration with applications利用能量法，將彈簧的分布質(zhì)量的動能計入系統(tǒng)的總動能，仍利用能量法，將彈簧的分布質(zhì)量的動能計入系統(tǒng)的總動能，仍按單自由度系統(tǒng)求固有頻率的近似方法，稱為按單自由度系統(tǒng)求固有頻率的近似方法，稱為瑞利法瑞利法。應用瑞利法，首先應假定系統(tǒng)的振動位形。應用瑞利法，首先應假定系統(tǒng)的振動位形。2eqs21xmt等效質(zhì)量等效質(zhì)量 l對于圖示系統(tǒng)，假設彈簧上各點在振

24、動過程中任一瞬時的位對于圖示系統(tǒng)，假設彈簧上各點在振動過程中任一瞬時的位移與一根等直彈性桿在一端固定另一端受軸向力作用下各截移與一根等直彈性桿在一端固定另一端受軸向力作用下各截面的靜變形一樣。面的靜變形一樣。根據(jù)胡克定律，各截面的靜變形與離固定端的距離成正比。根據(jù)胡克定律，各截面的靜變形與離固定端的距離成正比。依據(jù)此假設計算彈簧的動能，并表示為集中質(zhì)量的動能為依據(jù)此假設計算彈簧的動能，并表示為集中質(zhì)量的動能為 返回首頁theory of vibration with applications例例 在圖示系統(tǒng)中，彈簧長在圖示系統(tǒng)中，彈簧長l，其質(zhì)量，其質(zhì)量ms。求彈簧的等效質(zhì)量。求彈簧的等效質(zhì)量

25、及系統(tǒng)的固有頻率。及系統(tǒng)的固有頻率。左端距離為左端距離為 的截面的位移為的截面的位移為 ，則則d 彈簧的動能為彈簧的動能為xl2sd21dxllmtsl d 假設彈簧各點在振動中任一瞬時的位移和一根直桿在一端固定假設彈簧各點在振動中任一瞬時的位移和一根直桿在一端固定另一端受軸向載荷作用時各截面的靜變形一樣，另一端受軸向載荷作用時各截面的靜變形一樣，解解：令：令x表示彈簧右端的位移，也是質(zhì)表示彈簧右端的位移，也是質(zhì)量量m的位移。的位移。 返回首頁theory of vibration with applications彈簧的總動能彈簧的總動能xmttl321dss0s2s2s232132121x

26、mmxmxmt系統(tǒng)的總動能為系統(tǒng)的總動能為seq31mm系統(tǒng)的勢能為系統(tǒng)的勢能為221kxv 固有頻率為固有頻率為3snmmkp)cos(ntpax設設maxmaxvtl d 返回首頁theory of vibration with applicationsxcfc它與物體的形狀、尺寸及介質(zhì)的性質(zhì)有關，單位是牛頓米/秒(ns/m)。 返回首頁theory of vibration with applications運動微分方程運動微分方程 圖示為一有阻尼的彈簧圖示為一有阻尼的彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)的簡化模質(zhì)量系統(tǒng)的簡化模型。以靜平衡位置型。以靜平衡位置o為坐標原點，選為坐標原點，選x軸鉛直軸鉛直向下為

27、正，有阻尼的自由振動微分方程向下為正，有阻尼的自由振動微分方程 kxxcxm 022 xpxnxn 0222 npnrr 222221nnpnnrpnnr 返回首頁theory of vibration with applicationsmkpn 22ncmn衰減系數(shù)，單位1/秒(1/s) solution of the form rtex 2.4 單自由度系統(tǒng)的衰減振動單自由度系統(tǒng)的衰減振動 22npnnr )ee(e222221tpntpnntnnccx nrr21)(e21tccxnt022 xpxnxn 運動微分方程運動微分方程 222221nnpnnrpnnr 返回首頁theory

28、of vibration with applications2.4 單自由度系統(tǒng)的衰減振動單自由度系統(tǒng)的衰減振動 臨界情形是從衰減振動過渡到非周期運動的臨界狀臨界情形是從衰減振動過渡到非周期運動的臨界狀態(tài)。這時系統(tǒng)的阻尼系數(shù)是表征運動規(guī)律在性質(zhì)上態(tài)。這時系統(tǒng)的阻尼系數(shù)是表征運動規(guī)律在性質(zhì)上發(fā)生變化的重要臨界值。發(fā)生變化的重要臨界值。設設cc為為臨界阻尼系數(shù)臨界阻尼系數(shù)，由于，由于z z =n/pn =1，即，即kmmpnmcnc222 z z 阻尼系數(shù)與臨界阻尼系數(shù)的比值，是阻尼系數(shù)與臨界阻尼系數(shù)的比值，是z z 稱為阻尼比的原因。稱為阻尼比的原因。 z nncpnmpnmcc22cc只取決于

29、系統(tǒng)本身的質(zhì)量與彈性常量。由只取決于系統(tǒng)本身的質(zhì)量與彈性常量。由 返回首頁theory of vibration with applications2.4 單自由度系統(tǒng)的衰減振動單自由度系統(tǒng)的衰減振動 返回首頁theory of vibration with applications具有具有臨界阻尼的系統(tǒng)與過阻尼系統(tǒng)比較，它為最小阻尼系臨界阻尼的系統(tǒng)與過阻尼系統(tǒng)比較，它為最小阻尼系統(tǒng)。因此質(zhì)量統(tǒng)。因此質(zhì)量m將以最短的時間回到靜平衡位置，并不作將以最短的時間回到靜平衡位置，并不作振動運動，振動運動，臨界阻尼的這種性質(zhì)有實際意義，例如大炮發(fā)臨界阻尼的這種性質(zhì)有實際意義，例如大炮發(fā)射炮彈時要出現(xiàn)反彈

30、，應要求發(fā)射后以最短的時間回到原射炮彈時要出現(xiàn)反彈，應要求發(fā)射后以最短的時間回到原來的靜平衡位置，而且不產(chǎn)生振動，這樣才能既快又準確來的靜平衡位置，而且不產(chǎn)生振動，這樣才能既快又準確地發(fā)射第二發(fā)炮彈。顯然，只有臨界阻尼器才能滿足這種地發(fā)射第二發(fā)炮彈。顯然，只有臨界阻尼器才能滿足這種要求。要求。2.4 單自由度系統(tǒng)的衰減振動單自由度系統(tǒng)的衰減振動 tntnccx21-2-1ee1zznnppr npn zz1z1otxnrr21)(e21tccxnt 返回首頁theory of vibration with applications2.4 單自由度系統(tǒng)的衰減振動單自由度系統(tǒng)的衰減振動 dnppr

31、j z（npn） dndnpnnpnrpnnpnrjjjj222221。，221jnppnd )sincos(e21tpctpcxddnt 其中c1和c2為積分常數(shù)，由物塊運動的起始條件確定。設t = 0時， 可解00 xxxx ，dpxnxc002 c1=x0 返回首頁theory of vibration with applications2.4 單自由度系統(tǒng)的衰減振動單自由度系統(tǒng)的衰減振動 000220020tan)(nxxpxpnxxxadd )sin(e tpaxdnt初相位角 振 幅阻尼振動振幅；ntae 這種情形下，自由振動不是等幅簡諧振動，是按負指數(shù)衰減的這種情形下，自由振動不

32、是等幅簡諧振動，是按負指數(shù)衰減的衰減運動。衰減運動的頻率為衰減運動。衰減運動的頻率為 p d，衰減速度取決于衰減速度取決于 zp n，二者分二者分別為本征值的虛部和實部。別為本征值的虛部和實部。 返回首頁theory of vibration with applications2.4 單自由度系統(tǒng)的衰減振動單自由度系統(tǒng)的衰減振動 衰減振動:物塊在平衡位置附近作具有振動性質(zhì)的往復運動，但它的振幅不是常數(shù)，隨時間的推延而衰減。有阻尼的自由振動視為準周期振動。 )sin(e tpaxdnt 返回首頁theory of vibration with applications2.4 單自由度系統(tǒng)的衰減振

33、動單自由度系統(tǒng)的衰減振動 221)(1122z tpnpptndddt=2p/pn為無阻尼自由振動的周期。阻尼對周期的影響欠阻尼自由振動的周期欠阻尼自由振動的周期td ：物體由最大偏離位置起經(jīng)過物體由最大偏離位置起經(jīng)過一次振動循環(huán)又到達另一最大偏離位置所經(jīng)過的時間。一次振動循環(huán)又到達另一最大偏離位置所經(jīng)過的時間。由于阻尼的存在，使衰減振動的周期加大。通常z 很小，阻尼對周期的影響不大。例如，當z=0.05時，td=1.00125t，周期 td 僅增加了 0.125%。當材料的阻尼比 z1時，可近似認為有阻尼自由振動的周期與無阻尼自由振動的周期相等。 返回首頁theory of vibratio

34、n with applications設衰減振動經(jīng)過一周期td，在同方向的相鄰兩個振幅分別為ai和ai+1，即)(sine)sin(e)(1 didttniidntittpaatpaadii兩振幅之比為dntiiaae1稱為振幅減縮率或減幅系數(shù)。如仍以z =0.05為例，算得 ,物體每振動一次，振幅就減少27%。由此可見 ，在欠阻尼情況下，周期的變化雖然微小，但振幅的衰減卻非常顯著 ，它是按幾何級數(shù)衰減的。 37. 1ednt 返回首頁2.4 單自由度系統(tǒng)的衰減振動單自由度系統(tǒng)的衰減振動 阻尼對周期的影響theory of vibration with applications振幅減縮率的自然

35、對數(shù)稱為對數(shù)減縮率對數(shù)減縮率或?qū)?shù)減幅系數(shù)，以 表示lnz2例例 在欠阻尼（在欠阻尼（z z 1）的系統(tǒng)中，）的系統(tǒng)中，在振幅衰減曲線的包絡線上，已測在振幅衰減曲線的包絡線上，已測得相隔得相隔n個周期的兩點個周期的兩點p、r的幅值的幅值之比之比xp/xr=r r，如圖所示，試確定此，如圖所示，試確定此振動系統(tǒng)的阻尼比振動系統(tǒng)的阻尼比z z。 返回首頁theory of vibration with applicationsdnttdndnneeezzzzlnln)(11212zzdnt212znd2.4 單自由度系統(tǒng)的衰減振動單自由度系統(tǒng)的衰減振動 2.4 單自由度系統(tǒng)的衰減振動單自由度系統(tǒng)的

36、衰減振動 解：振動衰減曲線的包絡線方程為ntaxe設p、r兩點在包絡線上的幅值為xp、xr ，則有rdnntrpxxe當z 21時 此式對估算小阻尼系統(tǒng)的z值是很方便的。例如，經(jīng)過10個周期測得p、r兩點的幅值比r=2，將n=10、r=2代入上式，得到該系統(tǒng)的阻尼比011. 0202lnznn2lnln2rzrzrzzln122n 返回首頁theory of vibration with applications2.4 單自由度系統(tǒng)的衰減振動單自由度系統(tǒng)的衰減振動 返回首頁theory of vibration with applications2.4.2 庫倫阻尼系統(tǒng)的自由振動庫倫阻尼系統(tǒng)的

37、自由振動物體在干燥表面上相對滑動時所受到的摩擦阻力稱為庫倫阻庫倫阻尼或干摩擦阻尼尼或干摩擦阻尼。它與正壓力成比例，而與相對運動速度的方向相反。即庫倫阻尼力的大小為fd = ffn。式中f為摩擦系數(shù)，fn為法向約束力的大小。由于這種阻尼力的大小不依賴于質(zhì)點的位移和速度，所以庫倫阻尼是一種常數(shù)阻尼。 2.4 單自由度系統(tǒng)的衰減振動單自由度系統(tǒng)的衰減振動 返回首頁theory of vibration with applications2.4.2 庫倫阻尼系統(tǒng)的自由振動庫倫阻尼系統(tǒng)的自由振動根據(jù)牛頓第二定律得質(zhì)量m的運動微分方程為dfkxxm 0dxfkxxm 0dxfkxxm )cos()(1n1

38、dtpakftx0 x 0)cos()(2n2dxtpakftx2.4 單自由度系統(tǒng)的衰減振動單自由度系統(tǒng)的衰減振動 返回首頁theory of vibration with applications2.4.2 庫倫阻尼系統(tǒng)的自由振動庫倫阻尼系統(tǒng)的自由振動根據(jù)牛頓第二定律得質(zhì)量m的運動微分方程為dfkxxm 0dxfkxxm 0dxfkxxm )cos()(1n1dtpakftx0 x 0)cos()(2n2dxtpakftx 返回首頁theory of vibration with applications 返回首頁theory of vibration with applications2

39、.5.1 振動微分方程振動微分方程2.5.2 受迫振動的振幅受迫振動的振幅b、相位差的討論、相位差的討論2.5.3受迫振動系統(tǒng)力矢量的關系受迫振動系統(tǒng)力矢量的關系 2.5.4受迫振動系統(tǒng)的能量關系受迫振動系統(tǒng)的能量關系 2.5.5等效粘性阻尼等效粘性阻尼 2.5.6簡諧激勵作用下受迫振動的過渡階段簡諧激勵作用下受迫振動的過渡階段 返回首頁theory of vibration with applications2.5.1 振動微分方程振動微分方程 簡諧激振力簡諧激振力tffsin0sf0為激振力的幅值，為激振力的幅值， 為激振力的圓頻為激振力的圓頻率。以平衡位置率。以平衡位置o為坐標原點，為坐

40、標原點，x軸鉛軸鉛直向下為正，物塊運動微分方程為直向下為正，物塊運動微分方程為 tfkxxcxmsin0 tfxkxcxmsin0eqeqeq thxpxnxnsin22 ，mhhmcnmkpn 22具有粘性阻尼的單自由度受迫振動微分方程，是二階常系數(shù)線性非齊次常微分方程。 返回首頁theory of vibration with applications簡諧激勵的響應全解簡諧激勵的響應全解tfxkxcxmsin0eqeqeq 00(0)(0)xxxx和和0eqeqeqxkxcxm 00(0)(0)xxxx和和tfxkxcxmsin0eqeqeq 00(0)(0)xxxx和和)()(21txt

41、xx 返回首頁theory of vibration with applications2.5.1 振動微分方程振動微分方程 )()(21txtxx微微分分方方程程的的解解：有有阻阻尼尼自自由由振振動動運運動動)(1tx z tpaxtpd1sinen)(2txtbsin 返回首頁theory of vibration with applications2.5.1 振動微分方程振動微分方程 tbtxsin)(p滯滯后后相相位位差差穩(wěn)穩(wěn)態(tài)態(tài)受受迫迫振振動動的的振振幅幅2222012arctan211zz,eqkfb 返回首頁theory of vibration with application

42、s2.5.1 振動微分方程振動微分方程 2.5.2 受迫振動的振幅受迫振動的振幅b、相位差、相位差 的討論的討論 2222)2()(nphbn 222tanpnn 振幅放大因子0bb222211z22220222224)1 ()()(4)(1 /z bppnpphbnnnneqnkfphb020 返回首頁theory of vibration with applications222211z212arctanznnpmcpeqeq2, z曲曲線線族族相相頻頻特特性性曲曲線線曲曲線線族族幅幅頻頻特特性性曲曲線線 返回首頁theory of vibration with applications2

43、.5.2 受迫振動的振幅受迫振動的振幅b、相位差、相位差 的討論的討論 在低頻區(qū)和高頻區(qū)，當在低頻區(qū)和高頻區(qū)，當 z z 1的區(qū)域的區(qū)域(高頻區(qū)或慣性控制區(qū)高頻區(qū)或慣性控制區(qū))， ， ，響應與，響應與激勵反相；阻尼影響也不大。激勵反相；阻尼影響也不大。03、 1的附近區(qū)域的附近區(qū)域(共振區(qū)共振區(qū))， 急劇增大并在急劇增大并在 1略為略為偏左偏左處有峰值。通常將處有峰值。通常將 1，即，即 pn 稱為共振頻率。稱為共振頻率。阻尼影響阻尼影響顯著且阻尼愈小，幅頻響應曲線愈陡峭。在相頻特性曲線圖上，顯著且阻尼愈小，幅頻響應曲線愈陡峭。在相頻特性曲線圖上，無論阻尼大小，無論阻尼大小， 1時，總有，時，

44、總有， /2 ,這也是共振的重要這也是共振的重要現(xiàn)象?，F(xiàn)象。theory of vibration with applications2.5.2 受迫振動的振幅受迫振動的振幅b、相位差、相位差 的討論的討論 例例 題題 例例 質(zhì)量為質(zhì)量為m的電機安裝在彈性基礎上。的電機安裝在彈性基礎上。由于轉(zhuǎn)子不均衡，產(chǎn)生偏心，偏心距為由于轉(zhuǎn)子不均衡，產(chǎn)生偏心，偏心距為 e，偏心質(zhì)量為偏心質(zhì)量為m。轉(zhuǎn)子以勻角速。轉(zhuǎn)子以勻角速 轉(zhuǎn)動如圖轉(zhuǎn)動如圖示，試求電機的運動。彈性基礎的作用相示，試求電機的運動。彈性基礎的作用相當于彈簧常量為當于彈簧常量為k的彈簧。設電機運動時的彈簧。設電機運動時受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系

45、數(shù)為受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系數(shù)為c。 解：取電機的平衡位置為坐標原點o，x軸鉛直向下為正。作用在電機上的力有重力mg、彈性力f、阻尼力fr、虛加的慣性力fie、fir，受力圖如圖所示。 返回首頁theory of vibration with applications根據(jù)達朗貝爾原理，有0sin)(2sttmexmxkmgxc tmekxxcxmsin2 )sin(222 temmxpxnxn ,22mcnmkpn ，= h2emm 返回首頁例例 題題 theory of vibration with applications電機作受迫振動的運動方程為)sin(tbx22222222224

46、)1 (4)1 (zzbmmeb212arctgzbb222224)1 (zmmeb 當激振力的頻率即電機轉(zhuǎn)子的角速度等于系統(tǒng)的固有頻率pn時，該振動系統(tǒng)產(chǎn)生共振，此時電機的轉(zhuǎn)速稱為臨界轉(zhuǎn)速。 返回首頁例例 題題 theory of vibration with applications阻尼比z 較小時，在=1附近，值急劇增大，發(fā)生共振。由于激振力的幅值me2與2成正比。當0時，0，b0；當1時，1，bb，即電機的角速度遠遠大于振動系統(tǒng)的固有頻率時，該系統(tǒng)受迫振動的振幅趨近于 。 mme 返回首頁例例 題題 theory of vibration with applications 返回首頁t

47、heory of vibration with applications2.5.3受迫振動系統(tǒng)力矢量的關系受迫振動系統(tǒng)力矢量的關系 thfsinsxbtsin()cos()sin()xbtxbt 2已知簡諧激振力穩(wěn)態(tài)受迫振動的響應為mxcxkxhtsin0現(xiàn)將各力分別用 b、 的旋轉(zhuǎn)矢量表示。kbc bhmb、 、2應用達朗貝爾原理，將彈簧質(zhì)量系統(tǒng)寫成式不僅反映了各項力之間的相位關系，而且表示著一個力多邊形。慣性力阻尼力彈性力激振力 返回首頁theory of vibration with applications（a）力多邊形 (b) z 1 (c) z = 1 (d) z 12.5.3受迫

48、振動系統(tǒng)力矢量的關系受迫振動系統(tǒng)力矢量的關系 返回首頁theory of vibration with applications2.5.4受迫振動系統(tǒng)的能量關系受迫振動系統(tǒng)的能量關系 從能量的觀點分析，振動系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)受迫振動的實現(xiàn)，是從能量的觀點分析，振動系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)受迫振動的實現(xiàn)，是輸入系統(tǒng)的能量和消耗的能量平衡的結果?，F(xiàn)將討論簡諧輸入系統(tǒng)的能量和消耗的能量平衡的結果?，F(xiàn)將討論簡諧激振力作用下的系統(tǒng)，在穩(wěn)態(tài)受迫振動中的能量關系。激振力作用下的系統(tǒng)，在穩(wěn)態(tài)受迫振動中的能量關系。受迫振動系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應為受迫振動系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應為xbtsin()周期 2t1. 激振力thfssinsindsin)2sin

49、(2d)cos(sind)(000bhtthbttbthttxfwtttsh在系統(tǒng)發(fā)生共振的情況下，相位差在系統(tǒng)發(fā)生共振的情況下，相位差 ，激振力在，激振力在一周期內(nèi)做功為一周期內(nèi)做功為 ，做功最多。，做功最多。 2bhwh 返回首頁theory of vibration with applications對于無阻尼系統(tǒng)對于無阻尼系統(tǒng)(除共振情況外除共振情況外)相位差相位差 。因此，。因此，每一周期內(nèi)激振力做功之和為零，形成穩(wěn)態(tài)振動。每一周期內(nèi)激振力做功之和為零，形成穩(wěn)態(tài)振動。 0或2. 粘性阻尼力粘性阻尼力 做的功做的功 xcfrttrrttbcttxfw0220d)cos(d)(上式表明，

50、在一個周期內(nèi)，阻尼做負功。它消耗系統(tǒng)的能量。上式表明，在一個周期內(nèi)，阻尼做負功。它消耗系統(tǒng)的能量。而且做的負功和振幅而且做的負功和振幅b的平方成正比。由于受迫振動在共振的平方成正比。由于受迫振動在共振區(qū)內(nèi)振幅較大，所以，粘性阻尼能明顯地減小振幅、有效地區(qū)內(nèi)振幅較大，所以，粘性阻尼能明顯地減小振幅、有效地控制振幅的大小。這種減小振動的方法是用消耗系統(tǒng)的能量控制振幅的大小。這種減小振動的方法是用消耗系統(tǒng)的能量而實現(xiàn)的。而實現(xiàn)的。2022d)(2cos1 21bcttbct2.5.4受迫振動系統(tǒng)的能量關系受迫振動系統(tǒng)的能量關系 返回首頁theory of vibration with applica

51、tions3. 彈性力彈性力 做的功做的功fkxe 能量曲線表明彈性力在一個振動周期內(nèi)做功之和為零。表明彈性力在一個振動周期內(nèi)做功之和為零。 teetxtfw0d)(wwhr在一個振動周期內(nèi)激振力做功之和等于阻尼力消耗的能量在一個振動周期內(nèi)激振力做功之和等于阻尼力消耗的能量tttbtbk0d)cos()sin(0d)(2sin202tttkb2.5.4受迫振動系統(tǒng)的能量關系受迫振動系統(tǒng)的能量關系 返回首頁theory of vibration with applications2.5.5 等效粘性阻尼等效粘性阻尼 在工程實際中，振動系統(tǒng)存在的阻尼大多是非粘性阻尼。在工程實際中，振動系統(tǒng)存在的阻

52、尼大多是非粘性阻尼。非粘性阻尼的數(shù)學描述比較復雜。為了便于振動分析，經(jīng)非粘性阻尼的數(shù)學描述比較復雜。為了便于振動分析，經(jīng)常應用能量方法將非粘性阻尼簡化成等效粘性阻尼。常應用能量方法將非粘性阻尼簡化成等效粘性阻尼。等效的原則是：粘性阻尼在一周期內(nèi)消耗的能量等于非粘等效的原則是：粘性阻尼在一周期內(nèi)消耗的能量等于非粘性阻尼在一周期內(nèi)消耗的能量。性阻尼在一周期內(nèi)消耗的能量。假設在簡諧激振力作用下，非粘性阻尼系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應仍假設在簡諧激振力作用下，非粘性阻尼系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應仍然是簡諧振動，即然是簡諧振動，即xbtsin()非粘性阻尼在一個周期內(nèi)做的功非粘性阻尼在一個周期內(nèi)做的功txtfwnnd)(粘性阻尼

53、在一周期內(nèi)消耗的能量粘性阻尼在一周期內(nèi)消耗的能量2bcwr相等相等2bcwen2 bwcne等效粘性阻尼系數(shù)等效粘性阻尼系數(shù) 返回首頁theory of vibration with applications2222n)()(mcphbe2ncme2222222n)()()()(eecmkhmcphb利用式得到在該阻尼作用下受迫振動的振幅得到在該阻尼作用下受迫振動的振幅2.5.5 等效粘性阻尼等效粘性阻尼 返回首頁theory of vibration with applications庫侖阻尼庫侖阻尼阻尼力表示為阻尼力表示為nffc一周期內(nèi)庫侖阻尼消耗的能量為一周期內(nèi)庫侖阻尼消耗的能量為 w

54、f bcc 42bcwrbfcce4等效粘性等效粘性阻尼系數(shù)阻尼系數(shù) 得到穩(wěn)態(tài)振動的振幅表達式得到穩(wěn)態(tài)振動的振幅表達式2n221)4(1phfkhbcfbxq2求速度平方阻尼求速度平方阻尼等效粘性阻尼系數(shù)等效粘性阻尼系數(shù) 相等相等2bcwec 2.5.5 等效粘性阻尼等效粘性阻尼 返回首頁theory of vibration with applications2.5.6簡諧激勵作用下受迫振動的過渡階段簡諧激勵作用下受迫振動的過渡階段 系統(tǒng)在過渡階段對簡諧激勵響應是瞬態(tài)響應與穩(wěn)態(tài)響應疊加。系統(tǒng)在過渡階段對簡諧激勵響應是瞬態(tài)響應與穩(wěn)態(tài)響應疊加。先考慮在給定初始條件下無阻尼系統(tǒng)對簡諧激勵的響應先考

55、慮在給定初始條件下無阻尼系統(tǒng)對簡諧激勵的響應, ,系統(tǒng)系統(tǒng)的運動微分方程和初始條件寫在一起為的運動微分方程和初始條件寫在一起為 000)0( 0sinxxxxtfkxxm 通解是相應的齊次方程的通解與特解的和通解是相應的齊次方程的通解與特解的和, ,即即tkftpctpctxsin11sincos)(20n2n1 返回首頁theory of vibration with applications根據(jù)初始條件確定根據(jù)初始條件確定c1、c2 。于是得到全解為。于是得到全解為tkftpkftppxtpxtxtxtxsin11sin1 sincos)()()(20n20nn0n021其特點是振動頻率為

56、系統(tǒng)的固有頻率其特點是振動頻率為系統(tǒng)的固有頻率, ,但振幅與系統(tǒng)本身的但振幅與系統(tǒng)本身的性質(zhì)及激勵因素都有關。性質(zhì)及激勵因素都有關。無激勵時的自由振動無激勵時的自由振動系統(tǒng)對初始系統(tǒng)對初始條件的響應條件的響應對于存在阻尼的實際系統(tǒng)對于存在阻尼的實際系統(tǒng), ,自由振動和自由伴隨振動的振幅都自由振動和自由伴隨振動的振幅都將隨時間逐漸衰減將隨時間逐漸衰減, ,因此它們都是瞬態(tài)響應。因此它們都是瞬態(tài)響應。穩(wěn)態(tài)強迫振動穩(wěn)態(tài)強迫振動伴隨激勵伴隨激勵而產(chǎn)生自而產(chǎn)生自由振動由振動, , 稱為稱為自由自由伴隨振動伴隨振動2.5.6簡諧激勵作用下受迫振動的過渡階段簡諧激勵作用下受迫振動的過渡階段 返回首頁theo

57、ry of vibration with applications, 0)0(, 0)0(xx2nn01sinsin)(tptpkftx共振時的情況共振時的情況假設初始條件為假設初始條件為由共振的定義由共振的定義, , 時上式是時上式是 型型, ,利用洛必達法則算出共振時的利用洛必達法則算出共振時的響應為響應為 100tptpkftptptpkftptptpkftxn2n0nnn0nnn10cos1)(2 )cos(sin22cossinlim)(tpn1arctan2.5.6簡諧激勵作用下受迫振動的過渡階段簡諧激勵作用下受迫振動的過渡階段 sinsincoscos)cos( 返回首頁theo

58、ry of vibration with applications可見可見, ,當時當時 , ,無阻尼系統(tǒng)的振幅隨時間無限增大無阻尼系統(tǒng)的振幅隨時間無限增大. .經(jīng)過短暫時間經(jīng)過短暫時間后后, ,共振響應可以表示為共振響應可以表示為np)2sin(2cos2)(nn0nn0tptkpftptpkftx此即共振時的受迫振動此即共振時的受迫振動. .反映出共反映出共振時的位移在相位上比激振力滯振時的位移在相位上比激振力滯后后 , ,且振幅與時間成正比地增大且振幅與時間成正比地增大 22.5.6簡諧激勵作用下受迫振動的過渡階段簡諧激勵作用下受迫振動的過渡階段 圖 共振時的受迫振動 返回首頁theor

59、y of vibration with applications有阻尼系統(tǒng)在過渡階段對簡諧激勵的響應有阻尼系統(tǒng)在過渡階段對簡諧激勵的響應. .在給定初始條件下在給定初始條件下的運動微分方程為的運動微分方程為000)0(,)0(sinxxxxtfkxxcxm )sin(sin)cossin(cossine )sincos(e)(n0n00zzzztbtppptpbtppxpxtpxtxdddtpdddtpnn全解為全解為mkp nmpcn2z2n1z ppdnp2220)2()1 (/zkfb212arctanz式中2.5.6簡諧激勵作用下受迫振動的過渡階段簡諧激勵作用下受迫振動的過渡階段 返回

60、首頁theory of vibration with applications如果初始位移與初始速度都為零，則成為如果初始位移與初始速度都為零，則成為)sin(sin)cossin(cossine )(nzztbtppptpbtxdddtpn可見過渡可見過渡階段的響階段的響應仍含有應仍含有自由伴隨自由伴隨振動。振動。 2.5.6簡諧激勵作用下受迫振動的過渡階段簡諧激勵作用下受迫振動的過渡階段 過渡階段的響應過渡階段的響應 返回首頁theory of vibration with applications2.5.6簡諧激勵作用下受迫振動的過渡階段簡諧激勵作用下受迫振動的過渡階段 返回首頁theo