橢圓與雙曲線的重要性質(zhì)

1、橢圓與雙曲線的對偶性質(zhì) - 必背的經(jīng)典結(jié)論1.點(diǎn) P 處的切線 PT 平分 PF1F2在點(diǎn) P 處的內(nèi)角 .2.橢圓PT 平分 PF1F2在點(diǎn) P 處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線 軸的兩個(gè)端點(diǎn) .PT上的射影 H 點(diǎn)的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長點(diǎn) P處的切線 PT 平分 PF1F2在點(diǎn) P 處的外角 .PT 平分 PF1F2在點(diǎn) P 處的外角，則焦點(diǎn)在啊直線 PT 上的射影 H 點(diǎn)的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸 的兩個(gè)端點(diǎn) .以焦點(diǎn)弦 PQ 為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線 相離 .以焦點(diǎn)半徑 PF1 為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓2x2a2x2a3.4.5.6.內(nèi)切.以焦點(diǎn)弦 PQ 為直徑的圓必與對應(yīng)

2、準(zhǔn)線 相交 .以焦點(diǎn)半徑 PF1 為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓x2若 P0 （x0, y0） 在雙曲線 2a2x若 P0 （x0, y0） 在雙曲線 2a相切 .（內(nèi)切： P在右支；外切： P 在左支）P0(x0,y0) 在橢圓P0(x0,y0) 在橢圓x0x是2a2x橢圓 2ay0yb22yb21.2y2 1上，則過 P0 的橢圓的切線方程是 b2y2 1 外 ，則過 Po 作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為 bx0x2ay0 y 1.b21.7.P1、P2，則切點(diǎn)弦 P1P2 的直線方程1 （a> b> 0）的左右焦點(diǎn)分別為 F1，F(xiàn) 2，點(diǎn) P 為橢圓上任意一點(diǎn)角形的面積為 S F1P

3、F2 b2 tan .22橢圓 x2 y2 1（ a> b> 0）的焦半徑公式： a2 b2|MF1 | a ex0,|MF2| a ex0( F1( c,0) , F2(c,0) M (x0, y0) ).設(shè)過橢圓焦點(diǎn) F 作直線與橢圓相交 P、Q 兩點(diǎn)， A 為橢圓長軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)點(diǎn) F的橢圓準(zhǔn)線于 M、N 兩點(diǎn)，則 MF NF.過橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F 的直線與橢圓交于兩點(diǎn) P、Q, A1、A2 為橢圓長軸上的頂點(diǎn)，和 A1Q 交于點(diǎn)2x2 a b2 x0AB 是橢圓即 K AB8.F1PF2，則橢圓的焦點(diǎn)AP 和 AQ 分別交相應(yīng)于焦A1P 和 A2Q 交于點(diǎn) M， A2P9.

4、N，則 MF NF.2yb22。a2 y0若 P0(x0,y0) 在橢圓若 P0(x0,y0) 在橢圓1的不平行于對稱軸的弦， M （x0,y0）為 AB 的中點(diǎn)，則 kOMb22a2x2a2 y2 1內(nèi)，則被 Po 所平分的中點(diǎn)弦的方程是 bx0x y0y2 ab2x022ay02 b22x2a22 y2 1內(nèi)，則過 Po 的弦中點(diǎn)的軌跡方程是 x2 bay2b2x0x2ay0yb2雙曲線2 y b22 y b2 x0x1（a>0,b>0）1（a>0,b>0）上，則過 P0 的雙曲線的切線方程是x0x2ay0 y 1.b21.，則過 Po 作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為P1

5、、P2，則切點(diǎn)弦 P1P2 的直線方程是 2a2y0 y 1.b21.22雙曲線 x2 y2 1（a>0,b> o）的左右焦點(diǎn)分別為 a2 b2F1，F(xiàn) 2，點(diǎn) P 為雙曲線上任意一點(diǎn)F1PF2，則雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為 SF1PF2b2cot2.22雙曲線 x2 y2 1(a> 0,b>o)的焦半徑公式： ( F1( c,0) , F2(c,0) ab當(dāng) M (x0,y0) 在右支上時(shí)， |MF1 | ex0 a ,|MF2 | ex0 a.當(dāng) M (x0,y0) 在左支上時(shí)， |MF1 | ex0 a,|MF2 | ex0 a設(shè)過雙曲線焦點(diǎn) F作直線與雙曲線相交

6、P、Q 兩點(diǎn)， A 為雙曲線長軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)交相應(yīng)于焦點(diǎn) F的雙曲線準(zhǔn)線于 M、N 兩點(diǎn)，則 MF NF.10. 過雙曲線一個(gè)焦點(diǎn) F 的直線與雙曲線交于兩點(diǎn) P、Q, A1、A2 為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn)，點(diǎn) M，A2P 和 A1Q 交于點(diǎn) N，則 MF NF.22xya2 b2b22 x0 ，即a2 y011. AB 是雙曲線KOM K AB12. 若 P0(x0,y0)在雙曲線AP 和 AQ 分別A 1P 和 A2Q 交于1（a> 0,b > 0 ）的不平行于對稱軸的弦，M (x0,y0) 為AB 的中點(diǎn)，則K AB2x2ax0x y0 ya2b222x02 y0222ab2

7、 x 13. 若 P0(x0,y0) 在 雙 曲 線 2 a2x2a2y x0x y0y222 b2 a2 b2b2x0。y02 a y2 b2y2b21 （ a> 0,b > 0 ） 內(nèi) ， 則 被 Po 所 平 分 的 中 點(diǎn) 弦 的 方 程 是1 （ a> 0,b > 0） 內(nèi) ， 則 過 Po 的 弦 中 點(diǎn) 的 軌 跡 方 程 是橢圓與雙曲線的對偶性質(zhì)會推導(dǎo)的經(jīng)典結(jié)論）1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.1.2.3.4.5.6.7.8.9.橢圓22xy橢圓 2 2 1（a>b>o）的兩個(gè)頂點(diǎn)為 A1（ a,0） , A2（

8、a,0） ，與 y 軸平行的直線交橢圓于 P1、 P2時(shí) ab22 xy A1P1與 A 2P2交點(diǎn)的軌跡方程是2 2 1.ab22過橢圓 ax2 by2 1則直線 BC 有定向且2 x 若 P 為橢 圓 x2 aPF2F1設(shè)橢圓中，記若橢圓10.軸于 P，則 |PF | |MN | 2x已知橢圓 2aP(x0,0) , 則2 y b22 a（a>0, b>0）上任一點(diǎn) A（ x0 , y0）任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于B,C 兩點(diǎn)，11.設(shè) P 點(diǎn)是橢圓kBC2 y b2ac，則acb2x0 常數(shù)） .2a2 y01（a>b>0）上異于長軸端點(diǎn)的任一 點(diǎn),F1,

9、 F 2 是焦點(diǎn),tan cot .22PF1F212.1（b222 xy22ab2b2(1)|PF1|PF2| 1 2cbos設(shè) A 、B2x 是 橢 圓 2aPBABPAa>b>0） ,A 、B、是橢圓上的兩點(diǎn)，線段a2 b2x0.(2)2 y b2a> b> 0）上異于長軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)，c、PF1F2b2 tan .2a>b>0）的長軸兩端點(diǎn)，AB 的垂直平分線與 x 軸相交于點(diǎn),F1、F2 為其焦點(diǎn)記F1PF2，則P 是橢圓 上的一 點(diǎn)， PABe 分 別 是 橢 圓 的 半 焦 距 離 心 率 ， 則 有 （1） |PA|2x2a2 y b2a&g

10、t;b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為 F1、 F2,P（異于長軸端點(diǎn)）為橢圓上任意一點(diǎn)，在PF1F2tan tan21 e2.(3)S PAB222a2b22 2 cot baF1PF2PF1F2, F1F2P，則有 sinsin sine.13.2x 已知橢圓 2a2by22 1(a>b>0）的右準(zhǔn)線 l 與 x 軸相交于點(diǎn) E ，過橢圓右焦點(diǎn) F22xy22aba>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為 F1、F2，左準(zhǔn)線為L，則當(dāng) 0< e 2 1 時(shí)，可在于 A、B 兩點(diǎn),點(diǎn)C在右準(zhǔn)線 l上，且 BC x軸，則直線 AC 經(jīng)過線段 EF 的中點(diǎn) .橢圓上求一點(diǎn) P，2xP

11、為 橢 圓 2a使得 PF1是 P到對應(yīng)準(zhǔn)線距離 d與 PF2的比例中項(xiàng) .2y2 1（ a> b> 0） 上 任 一 點(diǎn),F1,F2 為二 焦 點(diǎn) b2A 為 橢 圓 內(nèi) 一 定點(diǎn)，則14.15.2a | AF2 | |PA| |PF1 | 2a | AF1 |,當(dāng)且僅當(dāng) A, F2, P三點(diǎn)共線時(shí)，等號成立 .橢圓22(x x0)(y y0)2 a2 2 2 2 A2a2 B2b22x 已知橢圓 2a 1122 |OP|2 |OQ|2 x2 y2 過橢圓 x2 y2 a2 b2(Ax02y22 1b2 112ab22 By0 C)2 .1 與 直 線 Ax By C 0 有 公

12、 共 點(diǎn) 的a>b>0），O 為坐標(biāo)原點(diǎn)， P、 Q 為橢圓上兩動點(diǎn)，且16.充要條件是OP OQ .( 1)2212 ;( 2)|OP|2+|OQ|2的最大值為 42a b2 ;(3)S OPQ的最小值是 b a b22ab2 2 .ab1（a>b>0）的右焦點(diǎn) F 作直線交該橢圓右支于 M,N 兩點(diǎn)，弦 MN 的垂直平分線交 x17.18.22ab2 |cos |2 2 2 .(2) a c cos的直線與橢圓相交過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直 .過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與

13、焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直橢圓焦三角形中 , 內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)注: 在橢圓焦三角形中 , 非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn)橢圓焦三角形中 , 內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.橢圓焦三角形中 , 半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的比例中項(xiàng)e（ 離心率 ）.）橢圓與雙曲線的對偶性質(zhì) - （會推導(dǎo)的經(jīng)典結(jié)論）1.2x雙曲線 2a2.3.4.5.6.7.8.雙曲線2y2 1（a>0,b>0）的兩個(gè)頂點(diǎn)為 A1（ a,0） , A2（a,0） ，與 y軸平行的直線交雙曲線于 bP1、P2時(shí) A1P1與 A 2P2交點(diǎn)的軌跡方程是22過

14、雙曲線 2 2a2 b2B,C 兩點(diǎn)，則直線若 P 為雙曲線PF2F12x 設(shè)雙曲線 2a210.1 ( a> 0,b> o )BC 有定向且 kBC直平分線交 x 軸于 P，則 |PF | e|MN | 222xy已知雙曲線 2 2 1 （ a> 0,b> 0） ,A 、abB 是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段 AB 的垂直平分線與 x 軸相2x2a，則2 y b2在 PF1F2 中，記22若雙曲線 ax2 by222x22y22 1.2 2 . ab上任一點(diǎn) A（x0,y0） 任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交雙曲線于b x0 常數(shù)） .2a2y02by2 1（a>0,b&g

15、t;0）右（或左）支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn) ,F1, F 2是焦點(diǎn) ,c a tan cot (或 c a tan cot ) . c a 2 2 c a 211.22ab或 x0a22設(shè) P 點(diǎn)是雙曲線 x2 y2 1( a>0,b>0)上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn) ab2b2則(1) | PF1 | PF2 |2b .(2) S PF1F2交于點(diǎn) P(x0,0) , 則 x0a2 b2,F1、F2 為其焦點(diǎn)記F1PF2，PF1F212.設(shè) A 、BPBA(2) tan1（a> 0,b> 0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為 F1、F2,P異于長軸端點(diǎn)）為雙曲線上任意一點(diǎn)，13.F1PF2PF1F

16、2, F1F2Psin，則有(sin sin )ce. a1 （a> 0,b> 0）的左、右焦點(diǎn)分別為 F1、F2，左準(zhǔn)線為 L ，則當(dāng)時(shí)，可在雙曲線上求一點(diǎn) P，使得 PF1是 P 到對應(yīng)準(zhǔn)線距離 d 與 PF2 的比例中項(xiàng) .1< e 2 114.22xyP 為雙曲線 2 2 1（a>0,b> 0）上任一點(diǎn) ,F1,F2 為二焦點(diǎn)， A 為雙曲線內(nèi)一定點(diǎn)，則 ab|AF2| 2a |PA| | PF1 | ,當(dāng)且僅當(dāng) A, F2, P三點(diǎn)共線且 P和 A,F2在 y軸同側(cè)時(shí)，等號成立 .22 雙 曲 線 x2 y a2 2 2 2 A2a2 B 2b22x已知

17、雙曲線 2a1|OQ|22x2a1)|O1P|29. 過雙曲線1 cos2x是雙曲線 2aBPAtan2e.b2 cot .22x已知雙曲線 2a2 y b22 y b21（ a>0,b>0）的長軸兩端點(diǎn)， Pe 分別是雙曲線的半焦距離心率，則有2a2b2(3) S PAB 2 2 cot ba1（ a> 0,b> 0）的右準(zhǔn)線 l與 x 軸相交于點(diǎn)是雙曲線上的一點(diǎn)，(1)|PA| |a22ab2 2PAB|cos |cos2 |E ，過雙曲線右焦點(diǎn)F 的直線與雙曲線相交于 A 、B兩點(diǎn),點(diǎn)C在右準(zhǔn)線 l上，且 BC x軸，則直線 AC 經(jīng)過線段 EF的中點(diǎn) .過雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直 .b2 1 (C2.2y22 1b2 1a>0,b> 0） 與直 線 Ax By C 0 有 公 共 點(diǎn) 的 充 要 條 件是b>a >0）， O為坐標(biāo)原點(diǎn)， P、Q 為雙曲線上兩動點(diǎn)，且 OP2212 ;(2)|OP|2+|OQ|2的最小值為 42a b 2 ;(3) S b b aOPQ 的最小值是OQ .22ab