橢圓和雙曲線的類似的基本題型prt

1、橢圓和雙曲線的類似的基本題型X2222解法二： 由題知橢圓1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ( 5,0) ，而欲求橢圓和它有相解法二： 由題知雙曲線 x y 1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ( 2 5,0) ，而欲求雙曲線與9416 42222同的焦點(diǎn)， 故可設(shè)欲求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： x y 1( 0) ，則有：它有相同的焦點(diǎn)， 故可設(shè)欲求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為： xy 1(m 0) ，5 m m20 mm229 4 1 m 10 ，所以所求方程為： x y 118 4則有： 18 4 1 m 8 ，所以欲求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：22x2 y2 15 m m15 1020 m m12 8注：以上兩題屬于共焦點(diǎn)的同類曲線問題，雖然用了

2、兩種解法，但是原理都是一樣的，即利用有相同的焦點(diǎn)坐標(biāo)。但是值得體會(huì)的是橢圓和雙曲線對(duì)這類題目的解法也有很多相似之處。3、(橢圓)求過點(diǎn) A(5, 3 3),B(8,18)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程5(雙曲線)求過點(diǎn) A(2 7,3),B( 7,6 2)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程解：設(shè)欲求橢圓的方程為 Ax2 By21(A 0,B 0)，則依題意有解：設(shè)欲求雙曲線的方程為 Ax2 By2 1(AB 0) ，則依題意有25 A 27 B 1A1128 A 9 B 1 A 25 49 A 72 B 1 可解得： B 1 64 A 324 B 1 可解得： 100B1，2536752從而所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： x2y2

3、 122從而所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為： x y 11003625 75注：以上兩題雖然是求兩個(gè)不同的標(biāo)準(zhǔn)方程，但是我們可以發(fā)現(xiàn)，在用待定系數(shù)法對(duì)方程的假設(shè)上，兩個(gè)是一樣的，只是條件有所不同，并且這兩個(gè)方程這樣寫出并沒有規(guī)定所求曲線的焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上，如果用常規(guī)解法，則要討論焦點(diǎn)在X 軸上和焦點(diǎn)在 Y 軸上兩種情形，而用這種設(shè)法就可以避免這類討論。這是解這類有曲線上兩點(diǎn)確定，不能判斷焦點(diǎn)所在的位置的標(biāo)準(zhǔn)方程的很簡(jiǎn)潔的方法。而且針對(duì)橢圓和雙曲線，兩者又有很多相似的地方，值得回味。22 xy 4、(橢圓)已知橢圓2 2 1(a b 0) ， F1,F2為焦點(diǎn)， P 為橢圓上22(雙曲線)已知雙曲線 x2

4、 y2 1(a 0,b 0) ， F1,F2為焦點(diǎn)， P 為雙a2 b2a2 b2 1 2一點(diǎn)，曲線上一點(diǎn)，試證： S F1PF22b tanF1PF2試證：S F1PF2F1PF22b cot2證明：F1F2F1PF2PF1PF2P2F1P ?F22c 2 2aF1P ?F2P而SF1PF2b2 sin2F1P? F2P ?cos F1PF2F1P ?F2P ? 1 cos F1PF2F2P ?1 cos F1PF2證明：F1F2XF 1P224a2 4c22b221 cos F1PF2cos F1PF2F1P2F2P2c 2 2aF1P? F2P2F2P2 2F1P ?F2P ?cos F

5、1PF2F1P ? F2P ?1cos F1PF2YO2F1P ? F2P ? 1 cos F1PF2F24c2 4a22b212 F1P ? F2P ?sin F1PF22b221 cos F1PF21 cos F1PF21 cos F1PF2F1PF2b2 tanF1PF21?2 1 cos F1PF2?sin F1PF2而 S F1PF22b sin1 12b2F1P ?F2P ?sin F1PF2 ?2 1 cos F1PF2?sin F1PF21 cos F1PF2F1PF2b2 cotF1PF2注：以上兩題的結(jié)論在今后的選擇和填空中可以直接應(yīng)用，而且在歷年的高考中都有直接應(yīng)用的題目

6、。2x5、求橢圓92y 1被點(diǎn)Q(2,1) 平分的弦 AB所在的直線方程4解：設(shè) A(x1,y1),B(x2,y2)，則有：2x192y14；22求雙曲線 x y 1被點(diǎn)Q(3,1) 平分的弦 AB所在的直線方程442x1解：設(shè) A(x1, y1),B(x2,y2) ，則有：42y11 1 ；42x292y242x242 y22124得：2x12x222y1y24(x1 x2)(x1 x2)9(y1 y2 )(y1 y2)4得：22x1 x2422y12 y22 0 4(x1 x2 )( x1 x2) (y1 y2)(y1 y2)4而x1 x 22y1 y 2221 代入式，得：x1 x 22

7、y1 y 22入式，得4(x1 x2 )92(y1 y2 )y1 y24x1 x2而 恰好是 弦 AB 所在 直線 得斜 率值， 所以 直線 AB 得 方程 為： y 1 8(x 2)9即： 8x 9y 25 0 ，而由點(diǎn) Q(2,1) 在橢圓內(nèi)部可知即為所求。44而恰好是弦ABy1 3(x3)即：3xy802 x(3x8)248x248x6414442176(x1x2)2(y1 y2)4所以，所求直線 3xy2 x1 x2y1所在直 線得 斜率值 ，所 以直線 AB 得方程 為： 再 將與雙 曲線方程聯(lián)立消 去 y 得：22x2 12x 17 0 ， 可 知 判 別 式8 0 與雙曲線有兩個(gè)

8、不同的交點(diǎn)，滿足題意，即式為所求。注：以上兩題也可以用常規(guī)解法來做，橢圓和雙曲線的解法也類似，但是計(jì)算過程相對(duì)麻煩許多，而且道理也簡(jiǎn)單易懂，在此略去不寫了。這種解法由于是將 點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)而不求，代入方程作差，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式巧妙的求出直線斜率，從而簡(jiǎn)捷的解決問題。這種方法稱為“點(diǎn)差法” 。但是這種方法對(duì)于橢圓只需要驗(yàn) 證題目中給出的中點(diǎn)在橢圓內(nèi)部就可以保證所求直線為所求。而對(duì)于雙曲線，則要在求出直線方程后與雙曲線方程聯(lián)立，用判別式來判斷所求直線是否與雙曲 線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。如果有則是所求直線，若沒有，則所求方程不滿足。這些驗(yàn)證是必要的，尤其是對(duì)雙曲線，因?yàn)橛袝r(shí)用這種方法得到的直線和雙曲線根 本

9、就沒有交點(diǎn)。這里就不舉例了。226、(橢圓)已知橢圓 x y 1內(nèi)有一點(diǎn) P(1, 1) ，F(xiàn)2 為右焦點(diǎn)，橢圓上4 3 2一點(diǎn) M ，使得MP1 解：由題可知橢圓的離心率為 ，如右圖 1：2NP F2O圖12MF2 的值最小，求 M 的坐標(biāo)所以：2(雙曲線)已知雙曲線 x2 y31 MP MF2解X： 由題可知雙曲線的離心率為上一點(diǎn) M ，使得2，1，有一點(diǎn) Q(3,2)， F2為右焦點(diǎn)，雙曲線的值最小，求 M 的坐標(biāo)有： MMFN2MP 2MF2有：MF2MN 2MF2MP MN，故最小值是當(dāng) M,P,N 三點(diǎn)共線(見圖 2)，并且當(dāng)點(diǎn) M 在P,N 之O間時(shí)取得。此時(shí)點(diǎn) M 的縱坐標(biāo)和點(diǎn) P 的縱坐標(biāo)相同為 1，將 y 1 代入橢圓方程可得：2 6 ，舍去負(fù)值，3MN2 MN112 MF2所以： MPMF 2MPMN ，故最小值如右圖 1：得點(diǎn) M 坐標(biāo)為 (2 6 , 1)即為所求。3注：這兩道題采取都是用了F是2 當(dāng) M,PX, N 三點(diǎn)共(見圖 2)，并且當(dāng)點(diǎn) M 在P,N 之 間M 時(shí)N取 得。此時(shí)點(diǎn) M 的縱坐標(biāo)和點(diǎn) P 的縱坐標(biāo)相同2 212 為 2 ，將 y 2 代入雙曲線方程可得： x21 ，321 舍去負(fù)值，得