證明圓的切線(xiàn)方法

1、證明圓的切線(xiàn)方法我們學(xué)習(xí)了直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系，就出現(xiàn)了新的一類(lèi)習(xí)題，就是證明一直線(xiàn)是圓的切線(xiàn).在我們所學(xué)的知識(shí)范圍內(nèi)，證明圓的切線(xiàn)常用的方法有：一、若直線(xiàn)l過(guò)O上某一點(diǎn)A，證明l是O的切線(xiàn)，只需連OA，證明OAl就行了，簡(jiǎn)稱(chēng)“連半徑，證垂直”，難點(diǎn)在于如何證明兩線(xiàn)垂直.例1 如圖，在ABC中，AB=AC，以AB為直徑的O交BC于D，交AC于E，B為切點(diǎn)的切線(xiàn)交OD延長(zhǎng)線(xiàn)于F.求證：EF與O相切.證明：連結(jié)OE，AD. AB是O的直徑， ADBC. 又AB=BC， 3=4. BD=DE，1=2. 又OB=OE，OF=OF， BOFEOF（SAS）. OBF=OEF. BF與O相切， OBBF.

2、OEF=900. EF與O相切.說(shuō)明：此題是通過(guò)證明三角形全等證明垂直的 例2 如圖，AD是BAC的平分線(xiàn)，P為BC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且PA=PD.求證：PA與O相切.證明一：作直徑AE，連結(jié)EC. AD是BAC的平分線(xiàn)， DAB=DAC. PA=PD， 2=1+DAC. 2=B+DAB， 1=B. 又B=E， 1=E AE是O的直徑， ACEC，E+EAC=900. 1+EAC=900. 即OAPA.PA與O相切.證明二：延長(zhǎng)AD交O于E，連結(jié)OA，OE. AD是BAC的平分線(xiàn)， BE=CE， OEBC. E+BDE=900. OA=OE， E=1. PA=PD， PAD=PDA. 又PDA=B

3、DE, 1+PAD=900 即OAPA. PA與O相切說(shuō)明：此題是通過(guò)證明兩角互余，證明垂直的，解題中要注意知識(shí)的綜合運(yùn)用.例3 如圖，AB=AC，AB是O的直徑，O交BC于D，DMAC于M求證：DM與O相切.證明一：連結(jié)OD. AB=AC， B=C.OB=OD，1=B. 1=C. ODAC.D DMAC，DMOD.DM與O相切證明二：連結(jié)OD，AD.AB是O的直徑，ADBC.又AB=AC,C 1=2. DMAC，2+4=900OA=OD，1=3.3+4=900.即ODDM.DM是O的切線(xiàn)說(shuō)明：證明一是通過(guò)證平行來(lái)證明垂直的.證明二是通過(guò)證兩角互余證明垂直的，解題中注意充分利用已知及圖上已知.

4、例4 如圖，已知：AB是O的直徑，點(diǎn)C在O上，且CAB=300，BD=OB，D在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上.求證：DC是O的切線(xiàn)證明：連結(jié)OC、BC. OA=OC， A=1=300. BOC=A+1=600. 又OC=OB， OBC是等邊三角形.D OB=BC. OB=BD， OB=BC=BD. OCCD. DC是O的切線(xiàn).說(shuō)明：此題是根據(jù)圓周角定理的推論3證明垂直的，此題解法頗多，但這種方法較好.例5 如圖，AB是O的直徑，CDAB，且OA2=OD·OP.求證：PC是O的切線(xiàn).證明：連結(jié)OC OA2=OD·OP，OA=OC， OC2=OD·OP， . 又1=1， OCPOD

5、C. OCP=ODC. CDAB， OCP=900. PC是O的切線(xiàn).說(shuō)明：此題是通過(guò)證三角形相似證明垂直的例6 如圖，ABCD是正方形，G是BC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，AG交BD于E，交CD于F.求證：CE與CFG的外接圓相切.分析：此題圖上沒(méi)有畫(huà)出CFG的外接圓，但CFG是直角三角形，圓心在斜邊FG的中點(diǎn)，為此我們?nèi)G的中點(diǎn)O，連結(jié)OC，證明CEOC即可得解.證明：取FG中點(diǎn)O，連結(jié)OC. ABCD是正方形， BCCD，CFG是Rt O是FG的中點(diǎn)， O是RtCFG的外心. OC=OG， 3=G， ADBC， G=4. AD=CD，DE=DE， ADE=CDE=450， ADECDE（SAS） 4

6、=1，1=3. 2+3=900, 1+2=900. 即CEOC. CE與CFG的外接圓相切二、若直線(xiàn)l與O沒(méi)有已知的公共點(diǎn)，又要證明l是O的切線(xiàn)，只需作OAl，A為垂足，證明OA是O的半徑就行了，簡(jiǎn)稱(chēng)：“作垂直；證半徑”例7 如圖，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，D與AB切于E點(diǎn).求證：AC與D相切.證明一：連結(jié)DE，作DFAC，F(xiàn)是垂足. AB是D的切線(xiàn)， DEAB. DFAC， DEB=DFC=900. AB=AC， B=C. 又BD=CD， BDECDF（AAS） DF=DE. F在D上. AC是D的切線(xiàn)證明二：連結(jié)DE，AD，作DFAC，F(xiàn)是垂足.AB與D相切，DEAB.AB=AC，BD=C

7、D，1=2.DEAB，DFAC，DE=DF.F在D上.AC與D相切.說(shuō)明：證明一是通過(guò)證明三角形全等證明DF=DE的，證明二是利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)證明DF=DE的，這類(lèi)習(xí)題多數(shù)與角平分線(xiàn)有關(guān).例8 已知：如圖，AC，BD與O切于A、B，且ACBD，若COD=900.求證：CD是O的切線(xiàn).證明一：連結(jié)OA，OB，作OECD，E為垂足. AC，BD與O相切， ACOA，BDOB. ACBD， 1+2+3+4=1800.O COD=900， 2+3=900，1+4=900. 4+5=900. 1=5. RtAOCRtBDO. . OA=OB， . 又CAO=COD=900， AOCODC， 1=2.

8、又OAAC，OECD, OE=OA. E點(diǎn)在O上. CD是O的切線(xiàn).證明二：連結(jié)OA，OB，作OECD于E，延長(zhǎng)DO交CA延長(zhǎng)線(xiàn)于F.AC，BD與O相切，ACOA，BDOB.ACBD，F(xiàn)=BDO.又OA=OB，AOFBOD（AAS）OF=OD.COD=900，CF=CD，1=2.又OAAC，OECD，OE=OA.E點(diǎn)在O上.CD是O的切線(xiàn).證明三：連結(jié)AO并延長(zhǎng)，作OECD于E，取CD中點(diǎn)F，連結(jié)OF.AC與O相切，ACAO.ACBD，AOBD.BD與O相切于B，AO的延長(zhǎng)線(xiàn)必經(jīng)過(guò)點(diǎn)B.AB是O的直徑.ACBD，OA=OB，CF=DF，OFAC，1=COF.COD=900，CF=DF，.2=COF.1=2.OAAC，OECD，OE=OA.E點(diǎn)在O上.CD是O的切