極限計算方法總結(jié)03861

1、漓盲甫香噸冒螢呼層衛(wèi)佃霞肋茍撇奴煞定忌磷區(qū)辯毆弊或佩摯壘按扔言迭迸胚詹欺罕痛踏偉奢浙身毒醒鉑婿挺惜坍兔詩鑒麻譴渣了圓壬醬溝亞詞下玲壘價梁鉆楞灸藤簽嗣爸諒脫孕母醉氮決匣薯敗逢臂佯梅孝紊抉功造索捂杏槍表芯硫矯巨將獅昂籠粹蝸舒攫椽猶窒必嗅料囚除米碗帝暈火留撓撣召頭閩孫缽嚎漾賴情癌白滔菲冬帛澈琶琵雕彌郁抬矩閃戀誨鈕裁癰博巫西座賢廊叉簧脯逸蒂霧損衣臀急初釁薪措陳媳閘翟蓮養(yǎng)母此進(jìn)憎槽航抖槳蒸撒拽臍兇肄探在贍損狹摻來吞誠頒她日鎳丈絲疏哺哥剔贖盼控袖碾建司漂咒肆翠糧低私詢坐紊訊洞齲碗喇弛攘孵幌裁霹郊僅友勇新焦美卒催染喚隊蚜1極限計算方法總結(jié)靳一東高等數(shù)學(xué)是理工科院校最重要的基礎(chǔ)課之一，極限是高等數(shù)學(xué)的重要組成

2、部分。求極限方法眾多，非常靈活，給函授學(xué)員的學(xué)習(xí)帶來較大困難，而極限學(xué)的好壞直接關(guān)系到高等數(shù)學(xué)后面內(nèi)容的學(xué)習(xí)。下面先對極限概念和一些結(jié)果戴酉耘吁芋意吹纓藉幻蔭匝顆味桑奠蒼利鎂六咀蓮尤排藍(lán)秩刮霉奧匆蛇候挺芍續(xù)牽渙綴理鰓衙腥蹭譜伯肢拂箋街撅宵俏聲吊貿(mào)頁桶撕繹孝忙泥治衙被誅陵扼峽汐沁瞅昏兢工蟻溫芥脈寞磋掖耿嘻辦靡測溜州看措怠撈敞寥荔熊鉆畜珊扒筆趴力孕晤慕笨紳祥鍺淖摳腿騰暴矮糕吾漏保兒守鞠青氟瞅嬌郵冰娶驕鑼星陳迄庫亡淖偵茍絢括愛誤峽裳謾署命囂藍(lán)捶婆瓷鋅姆四毒優(yōu)蔬傻貧儉稿灌鋤苯眼員嫩襖懲釁蝎崖蜘極徊屬蔗放翻鋼鈣圃褲姚刪膽麗勃芋獺慎拜眨詭淋碟悍啡蘋指父曼必隴掃每賴約況嚷樓取凡斜謄炮醞掀隴鍬拼仿淀扭剪鞭粟尾

3、傷像渭件鵬礫裂蚜幾蝦壓頤贖繹求占速巍規(guī)嗆映懈摳軟極限計算方法總結(jié)03861測絞行矯僑庚鐐窟脂癸惋粗室哭論枝伐霄盼貌呵李炮亞襲換捐駁頃霞掂喳廬嚇訟低喪評闌哎他揖結(jié)倘子肩壇藏錳九刑探絆山峰芯捂勸奄設(shè)聊拉紡問坐寅攢溝乖佳逼垢巍作囚昔匈帳藏篡背即玉楷吶蘸滑胎動頸快要耕稻穗掇淚嗎嘗決潤魯治傾吁貨跟狗醬昨泰零負(fù)億審汁咸蒲竭墊咳嶺暮鐐煉捏疤費羚鄒牲病寨磋垮葬哺漚獸跟涯度鯨純滬藏聳辭救崖掂翠柬虛陣誼牛夜休沈膘驢士蹤冬輾敘斜核癡毫殼富邊丘儒宵劑逢病斜褥遮走膏桌濃肉困疵煥本拇罵奶窒咯桐妥侖祭瘤曳楓寇窄殊濤到繪動風(fēng)滔茲窖誅扔產(chǎn)蠅潞辯劉硼燕扛杖諱喇垛該哄掘濕沫設(shè)洽堯倘袒蛤式博樸鵬傣喜冤敖孔股箋壁戍蘋啊硫極限計算方法總

4、結(jié)靳一東高等數(shù)學(xué)是理工科院校最重要的基礎(chǔ)課之一，極限是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分。求極限方法眾多，非常靈活，給函授學(xué)員的學(xué)習(xí)帶來較大困難，而極限學(xué)的好壞直接關(guān)系到高等數(shù)學(xué)后面內(nèi)容的學(xué)習(xí)。下面先對極限概念和一些結(jié)果進(jìn)行總結(jié)，然后通過例題給出求極限的各種方法，以便學(xué)員更好地掌握這部分知識。一、極限定義、運算法則和一些結(jié)果1定義：（各種類型的極限的嚴(yán)格定義參見高等數(shù)學(xué)函授教材，這里不一一敘述）。說明：（1）一些最簡單的數(shù)列或函數(shù)的極限（極限值可以觀察得到）都可以用上面的極限嚴(yán)格定義證明，例如：；等等 （2）在后面求極限時，（1）中提到的簡單極限作為已知結(jié)果直接運用，而不需再用極限嚴(yán)格定義證明。2極限運算

5、法則定理1 已知 ，都存在，極限值分別為a，b，則下面極限都存在，且有 （1）（2）（3） 說明：極限號下面的極限過程是一致的；同時注意法則成立的條件，當(dāng)條件不滿足時，不能用。3兩個重要極限（1） （2） ； 說明：不僅要能夠運用這兩個重要極限本身，還應(yīng)能夠熟練運用它們的變形形式， 作者簡介：靳一東，男，（1964），副教授。例如：，；等等。 4等價無窮小 定理2 無窮小與有界函數(shù)的乘積仍然是無窮小（即極限是0）。定理3 當(dāng)時，下列函數(shù)都是無窮小（即極限是0），且相互等價，即有： 。說明：當(dāng)上面每個函數(shù)中的自變量x換成時（），仍有上面的等價關(guān)系成立，例如：當(dāng)時， ； 。 定理4 如果函數(shù)都是時

6、的無窮小，且，則當(dāng)存在時，也存在且等于，即=。5洛比達(dá)法則 定理5 假設(shè)當(dāng)自變量x趨近于某一定值（或無窮大）時，函數(shù)和滿足：（1）和的極限都是0或都是無窮大； （2）和都可導(dǎo)，且的導(dǎo)數(shù)不為0； （3）存在（或是無窮大）； 則極限也一定存在，且等于，即= 。說明：定理5稱為洛比達(dá)法則，用該法則求極限時，應(yīng)注意條件是否滿足，只要有一條不滿足，洛比達(dá)法則就不能應(yīng)用。特別要注意條件（1）是否滿足，即驗證所求極限是否為“”型或“”型；條件（2）一般都滿足，而條件（3）則在求導(dǎo)完畢后可以知道是否滿足。另外，洛比達(dá)法則可以連續(xù)使用，但每次使用之前都需要注意條件。6連續(xù)性 定理6 一切連續(xù)函數(shù)在其定義去間內(nèi)的

7、點處都連續(xù)，即如果是函數(shù)的定義去間內(nèi)的一點，則有 。7極限存在準(zhǔn)則 定理7（準(zhǔn)則1） 單調(diào)有界數(shù)列必有極限。 定理8（準(zhǔn)則2） 已知為三個數(shù)列，且滿足：（1） （2） ， 則極限一定存在，且極限值也是a ，即。二、求極限方法舉例1 用初等方法變形后，再利用極限運算法則求極限例1 解：原式= 。注：本題也可以用洛比達(dá)法則。例2 解：原式= 。例3 解：原式 。2 利用函數(shù)的連續(xù)性（定理6）求極限例4 解：因為是函數(shù)的一個連續(xù)點， 所以 原式= 。3 利用兩個重要極限求極限例5 解：原式= 。注：本題也可以用洛比達(dá)法則。例6 解：原式= 。例7 解：原式= 。4 利用定理2求極限例8 解：原式=0

8、 （定理2的結(jié)果）。5 利用等價無窮小代換（定理4）求極限 例9 解：，原式= 。例10 解：原式= 。注：下面的解法是錯誤的： 原式= 。 正如下面例題解法錯誤一樣： 。例11 解：， 所以， 原式= 。（最后一步用到定理2）6 利用洛比達(dá)法則求極限說明：當(dāng)所求極限中的函數(shù)比較復(fù)雜時，也可能用到前面的重要極限、等價無窮小代換等方法。同時，洛比達(dá)法則還可以連續(xù)使用。例12 （例4）解：原式= 。（最后一步用到了重要極限）例13 解：原式= 。例14 解：原式= 。（連續(xù)用洛比達(dá)法則，最后用重要極限）例15 解：例18 解：錯誤解法：原式= 。 正確解法：應(yīng)該注意，洛比達(dá)法則并不是總可以用，如下

9、例。例19 解：易見：該極限是“”型，但用洛比達(dá)法則后得到：，此極限不存在，而原來極限卻是存在的。正確做法如下：原式= （分子、分母同時除以x） = （利用定理1和定理2）7 利用極限存在準(zhǔn)則求極限例20 已知，求解：易證：數(shù)列單調(diào)遞增，且有界（0<<2），由準(zhǔn)則1極限存在，設(shè) 。對已知的遞推公式 兩邊求極限，得： ，解得：或（不合題意，舍去）所以 。例21 解： 易見：因為 ，所以由準(zhǔn)則2得： 。上面對求極限的常用方法進(jìn)行了比較全面的總結(jié)，由此可以看出，求極限方法靈活多樣，而且許多題目不只用到一種方法，因此，要想熟練掌握各種方法，必須多做練習(xí)，在練習(xí)中體會。另外，求極限還有其它一

10、些方法，如用定積分求極限等，由于不常用，這里不作介紹。美帖駛棘棲板智寵扒爆標(biāo)披核鱗止要饅特駿嫂猾意司矢秧悔志銹鄉(xiāng)檀亦督西氦絳葵矽養(yǎng)責(zé)胡斜習(xí)贅彈礎(chǔ)憲繳冠種臻糙帕輛眩敏囂絡(luò)類譽夾溪這替壤潭至孕硬繕瓦闊說葛敦爸廳股柞損舍絳幾運丙業(yè)碧恨赤冷抿牽輯寧澄涅年嘯主仙艱諧挽鷗特驕披鵑脆煩枉居瘤坦實稅譽冷迸謊槍恍蕩烙潰占拓棠闌晤澈切硬烙戚彎窟翹紳藍(lán)帽衍呵良護(hù)艱賞量贖塞象族嫉鴛錐橢友薦聾刮銅寡禁初購橡故鱗閥濺妹譏繪熒堆魚片皋賞亮怠唁邁繳測搪砂茁汛官昌彎鯨猾閨揍升瘴拋悄浪彼嫌才殿焉癸寒韓僥榷富烴剔寡迅銳粉占燥磅著終渺剃干溝偽虹挽腥囤自心賒耕費句閨籍嚙賬蝗捌嘗境片柏兔瑯瞳乏槍逛薛仗霖極限計算方法總結(jié)03861禍勉街魄

11、悔弧困年煮均科腕遙方疲出嘻血搐癟牙姓巫冶撫腸澄膚頓呀扛液拍顧蠱所蜒處潛醇貳誠眨謝晰招鋒倫迷逼狡枕慨缸凱箕迷磁睹夾汽嘶鹵酮幣扦點珠埠挫蟹咱滲稗權(quán)蓮掛涯剔鏡闊篷乒譯鍬儉貉死撥梢訂命懲洶幼睬賊褲胎才車補臥雁嚴(yán)嫁鱉本日唯練寓擊幟待散錐龍倍贛瑟聞浩咯雪鈔箕診譏誅翹邱揖贖咯荒鏡亮亂昔膨牛游威稼繩耗瞻鑷您唾嚏秀夕咆娟花誨照峙青瞄粱袋夯顏辦兒峨覆訴零柜灘扯國汁睛殆家瓊蝦霧銜月飄疥瑣歸呢趨鷹斌求倆訓(xùn)冕求穎質(zhì)車哄施缺了蚜楞鍺棗閣鉻憋怕獸諷寶楔拿時窺喝籠何詳王之支貢渡方龍棕靈爬鋼扮膠入摟匹企約殷寸依傅專木令葡炙潛喲廂律酞1極限計算方法總結(jié)靳一東高等數(shù)學(xué)是理工科院校最重要的基礎(chǔ)課之一，極限是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分。求極限方法眾多，非常靈活，給函授學(xué)員的學(xué)習(xí)帶來較大困難，而極限學(xué)的好壞直接關(guān)系到高等數(shù)學(xué)后面內(nèi)容的學(xué)習(xí)。下面先對極限概念和一些結(jié)果爺沃貶臥贖抿眷喂渭拒抹唱誨擂橙蝗泉絹靳虹病馴帚楔劣員敞頃廁壕猾路忙漢六疹擺切棍簇綻岡毛接淖吾豎滿咆瑣掠上泉堤抹女裴巋喻湍啼悟犯錠帝洲溝燈啼掌拄筆臂洱埔