數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

1、學(xué)中的應(yīng)用Company Document number : WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998安徽師范大學(xué)洽思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用本科畢業(yè)論文學(xué)院名稱:"數(shù)學(xué)計算機科學(xué)學(xué)院專業(yè)名稱:10數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)姓 名:天辰辰同組人員:王帥帥指導(dǎo)教師:戴普慶數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用摘 要 數(shù)與形是數(shù)學(xué)中兩個最主要最基本的研究對象，數(shù)與形是緊密相連 的，在一些特定的條件下，數(shù)與形是可以相互轉(zhuǎn)化的，這就是“數(shù)形結(jié)合”。數(shù)形結(jié)合作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個重要思想，在數(shù)學(xué)學(xué)科中占有重要的地位。本 文中主要介紹了數(shù)形結(jié)合研究背景及意義；在中學(xué)教學(xué)中的地位；應(yīng)用數(shù)形結(jié)合 的原則和

2、途徑以及數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)解題中的應(yīng)用等問題。通過分析、比較和 歸納充分展現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想在解題中的特點和優(yōu)越性，從而在實際教學(xué)中要將數(shù) 形結(jié)合思想融匯到課堂中，培養(yǎng)學(xué)生加強數(shù)形結(jié)合思想的意識。關(guān)鍵詞數(shù)與形；數(shù)形結(jié)合；中學(xué)數(shù)學(xué)The combination of shapes and number in the middle schoolAbstract The number and shape are the two most major and basic research objects in mathematics, and they have close relationship. I

3、n some specific conditions, they are interchangeable,which is named the combination of shapes and numberThe combination of shapes and number is an important thought in mathematics studying,while it occupies an important position in mathematics, too. This article mainly introduces : the research back

4、ground and significance of the combination of shapes and number,it*s position in the middle school teaching 黃he principles and ways of it's application ,and the application of the combination of shapes and number thought in the middle school problem solving and so on. Through the analysis, compa

5、rison and induction," shows the combination of shapes and number thought's characteristic and advantages in the problem solving, which in actual teaching ,we should form toge什ler with this thought to the classroom, training students to strengthen the consciousness of the combination of shap

6、es and number thought.Keywords Number and shape The combination of number and shapes The mathematics of the middle school7778910111112前言在數(shù)學(xué)思想中，有一類思想是體現(xiàn)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中的具有奠基性和總結(jié)性的思維成果.這些思想可以稱之為基本數(shù)學(xué)思想。中學(xué)階段的基本數(shù)學(xué)思想包括：分類討論的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、變換與轉(zhuǎn)化的思想、整體思想、函數(shù)與方程的思想、抽樣統(tǒng)計思想、極限思想等等。中學(xué)數(shù)學(xué)中處處滲透著基本數(shù)學(xué)思想，如果能使它落實到學(xué)生學(xué)習(xí)和運用數(shù)學(xué)的思維活動上，它就能在

7、發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力 方面發(fā)揮出一種方法論的功能。在這些數(shù)學(xué)思想方法中數(shù)形結(jié)合思想是一種很重 要的方法，它貫穿于整個中學(xué)數(shù)學(xué)的課程。直以來數(shù)與形就是兩個不可分割的對象，他們在一定程度上可以相互轉(zhuǎn) 換.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非”，即 數(shù)形結(jié)合在一起好處很多，而獨立分開卻會帶來很多麻煩，從這可以看出數(shù) 與形的基本性質(zhì)，數(shù)與形是不可分割的，數(shù)形結(jié)合在實際問題中是緊密結(jié)合 在一起的。而數(shù)形結(jié)合主要是指數(shù)與形之間的一一對應(yīng)關(guān)系。例如函數(shù)圖象 與函數(shù)表達(dá)式之間的關(guān)系。在數(shù)學(xué)問題中若能“以數(shù)示形，以形思數(shù)，數(shù)形滲 透"，則能加強知識的橫縱聯(lián)系。對中學(xué)數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合

8、思想的研究有助于我們更好的掌握中學(xué)數(shù)學(xué)知 識，增強解題能力，特別是在一些題目中如選這題、填空題.在小題目中經(jīng) ?？疾鞌?shù)形結(jié)合思想，如果熟練掌握了數(shù)形結(jié)合思想并加以巧妙利用，那么 我們將取得事半功倍的效果，能幫肋我們在高考中能取得時間和效率的優(yōu) 勢，最終讓你取得優(yōu)異成績。那么接下來我們將要研究數(shù)形結(jié)合思想在我們 中學(xué)中到底有哪些用處，我們解什么樣問題時需要用到數(shù)形結(jié)合思想 1數(shù)形結(jié)合思想方法概述數(shù)形結(jié)合思想的研究背景數(shù)學(xué)以現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式作為研究的對象.而數(shù)和形是相互聯(lián) 系，也是可以相互轉(zhuǎn)化的。早在數(shù)學(xué)萌芽時期，人們在度量長度、面積和體積的過程中.就把數(shù)和形式 聯(lián)系起來了。我國宋元時

9、期，系統(tǒng)地引進(jìn)了幾何問題代數(shù)畫化的方法，用代 數(shù)式描述某些幾何特征，把圖形之間的幾何關(guān)系表達(dá)成代數(shù)式之間的代數(shù)關(guān)系?！皵?shù)形結(jié)合”一詞正式出現(xiàn)在華羅庚先生于1964年1月撰寫的談?wù)勁c蜂房結(jié) 構(gòu)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題的科普小冊子中?！皵?shù)形結(jié)合”的應(yīng)用大致又可以分為兩種情 形：第一種情形是“以數(shù)解形”，而第二種是“以形肋數(shù)”?！耙詳?shù)解形”就是有些圖 形過于簡單.直觀觀察卻看不出什么規(guī)律來，這時就需要給圖形賦值，如邊長. 角度等等n “以形助數(shù)”是指把抽象的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化為直觀的圖形，可避免繁雜的 計算，獲得出奇制勝的解法。數(shù)形結(jié)合思想的研究意義及作用數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)教學(xué)中有著重要的研究意義。首先，“數(shù)形結(jié)合

10、”能更好 幫肋學(xué)生對所學(xué)知識的掌握與記憶。例如：在研究函數(shù)時，可以利用函數(shù)圖形來 記憶有關(guān)函數(shù)的知識點，像函數(shù)的定義域值域.單調(diào)性奇偶性.周期性.有界性以 及凹凸性等。其次，應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺思維能力。第三，數(shù) 形結(jié)合思想有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力。第四，應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”有益于培養(yǎng) 學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力?！皵?shù)無形時不直觀，形無數(shù)時難入微”道出了數(shù)形結(jié)合的辯證關(guān)系，數(shù)形結(jié)合 簡言之就是：見到數(shù)量就應(yīng)想到它的幾何意義，見到圖形就應(yīng)想到它的數(shù)量關(guān) 系。在數(shù)學(xué)教學(xué)中.數(shù)形結(jié)合對啟發(fā)思路，理解題意，分析思考.判斷反饋都有 著重要的作用。在中學(xué)教學(xué)中.數(shù)形結(jié)合已成為一條重要的教學(xué)原則。

11、2數(shù)形結(jié)合思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位從新課程標(biāo)準(zhǔn)對思維能力的要求看數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想能幫助學(xué)生樹立現(xiàn)代思維意識：第一通過數(shù)與形的有機結(jié)合, 把形象思維與抽象思維有機地結(jié)合，盡可能地先形象后抽象.不但能促進(jìn)這兩種 思維能力同步發(fā)展.還為學(xué)生初步形成辯證思維能力創(chuàng)造了條件。第二通過數(shù)形 結(jié)合，能夠有的放矢地幫助學(xué)生從多角度、多層次出發(fā)地思考問題.養(yǎng)成多向 性思維的好習(xí)慣。第三通過數(shù)形結(jié)合引導(dǎo)學(xué)生變靜態(tài)思維方式為動態(tài)思維方式， 也就是以運動、變化、聯(lián)系的觀點考慮問題，更好地把握事情的本質(zhì)。由此可見，新課程把數(shù)形結(jié)合思想作為中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要思想.要求教師能 充分滲透數(shù)形結(jié)合思想.挖掘它的教學(xué)功能

12、和解題功能。從新課程教學(xué)內(nèi)容的特點來看數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)基本知識與數(shù)學(xué)思想方法是課堂教學(xué)內(nèi)容的兩個不可分割的有機組成部 份。數(shù)學(xué)思想方法是解決數(shù)學(xué)問題的根本思想和手段，它是人們探索數(shù)學(xué)真理. 求解數(shù)學(xué)問題的過程中逐步積累起來的，并蘊含于各個數(shù)學(xué)分支的公理、定理、 公式、法則和解決問題的過程中，是人類寶貴的精神財富n數(shù)學(xué)思想方法產(chǎn)生數(shù) 學(xué)知識，數(shù)學(xué)知識蘊含數(shù)學(xué)思想和方法，兩者的聯(lián)系是辯證的統(tǒng)一。這就決定了 在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，數(shù)學(xué)知識的教學(xué)不能代替數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，課堂教 學(xué)的目的，應(yīng)在于運用數(shù)學(xué)思想方法去揭示數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，教師在課 堂教學(xué)中，既要重視數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，更要突出數(shù)學(xué)思想和方

13、法的教學(xué)，通過數(shù) 學(xué)思想和方法的教學(xué)，使我們的學(xué)生畢業(yè)之后，“不論做什么業(yè)務(wù)工作，唯有深 深銘刻在頭腦中的數(shù)學(xué)精神，數(shù)學(xué)思想方法和著眼點，都隨時隨地發(fā)生作用.使 他們終生受用。"然而在課堂教學(xué)中教師過于呆板地強調(diào)著邏輯思維能力。在 教學(xué)中忽視對直觀圖形的利用.不能很好地利用具體形象來化解對書本中一些抽 象的結(jié)論的理解。忽視學(xué)生形象思維的培養(yǎng)。學(xué)生對于現(xiàn)在這種過于陳舊的課堂 教學(xué)模式不能產(chǎn)生“親和感”，感到枯燥，厭惡。事實上教材中體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想 方法的內(nèi)容很多，可以通過數(shù)形結(jié)合給代數(shù)提供幾何模型，形象直觀地揭示問題 的本質(zhì)，減輕學(xué)生學(xué)習(xí)的負(fù)擔(dān)，從而引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。利用數(shù)形結(jié)合

14、有 利于進(jìn)行初、高中數(shù)學(xué)教學(xué)的過渡銜接。初中數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容較具體，模仿性的 練習(xí)較多，而高中數(shù)學(xué)的內(nèi)容抽象性較強，強對數(shù)學(xué)概念的理解基礎(chǔ)上的運用. 對思維能力、運算能力、空間想象能力，數(shù)學(xué)語言的運用要求較高。因此學(xué)生對 于高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)要有一個適應(yīng)過程。教師更要幫肋學(xué)生渡過這個關(guān)口。從高一 數(shù)學(xué)內(nèi)容來看.通過數(shù)形結(jié)合，從具體到抽象恰好符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。從高考題設(shè)計背景來看數(shù)形結(jié)合隨著數(shù)學(xué)教育改革不斷深入，高考命題朝著多樣性和多變性發(fā)展增加了應(yīng) 用題.開放題情景題.強調(diào)檢測學(xué)生的創(chuàng)造能力。重在考查對知識理解的準(zhǔn)確 性、深刻性，重在考查知識的綜合應(yīng)用.著眼于對數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)能力的考 查。高考

15、試題這種以能力立意的積極導(dǎo)向，決定了我們在教學(xué)中必須以數(shù)學(xué)思想 指導(dǎo)知識、方法的運用，整體把握各部分知識的內(nèi)在聯(lián)系。而數(shù)形結(jié)合是中學(xué)數(shù) 學(xué)中最重要、最基本的數(shù)學(xué)思想方法之一。利用數(shù)形結(jié)合設(shè)題，一方面考查學(xué)生 對數(shù)學(xué)的符號語言，數(shù)學(xué)的圖形語言的理解能力，語言的互補、互譯、互化能 力，即在數(shù)學(xué)本質(zhì)上的有欲轉(zhuǎn)化能力，另一方面考查學(xué)生的構(gòu)圖能力，以及對圖 形的想象能力，綜合應(yīng)用知識的能力；考查數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用能力最能展示學(xué)生能 否進(jìn)行“數(shù)學(xué)地思維”。因此數(shù)形結(jié)合在每年的高考中都是一道亮麗的風(fēng)景線，如 果能從圖形特征中發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，又能從數(shù)量關(guān)系中發(fā)現(xiàn)圖形特征，并準(zhǔn)確構(gòu)圖 那么很快就能得出正確答案。3數(shù)形

16、結(jié)合思想應(yīng)用的途徑和原則數(shù)形結(jié)合的途徑(1) 通過坐標(biāo)系形題數(shù)解借肋于建立直角坐標(biāo)系、復(fù)平面可以將圖形問題代數(shù)化。這一方法在解析幾 何中體現(xiàn)的相當(dāng)充分；值得強調(diào)的是，形題數(shù)解時，通過輔助角引入三角函數(shù)也 是常常運用的技巧。實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應(yīng)關(guān)系；(函 數(shù)與圖象的對應(yīng)關(guān)系；曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系；以幾何元素和幾何條件為背 景，建立起來的概念，如復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等；®所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有 明顯的幾何意義(3) o如等式(2) 通過轉(zhuǎn)化構(gòu)造數(shù)題形解許多代數(shù)結(jié)構(gòu)都有著對應(yīng)的幾何意義，據(jù)此，可以將數(shù)與形進(jìn)行巧妙地轉(zhuǎn)化。例如，將3>0與距離互化，將/

17、與面積互化，將£+b'+db二£+b-2|d制cos&(& = 60?；? = 120。)與余弦定理溝通，將abc> 0且b+c > a中的 a. b、c與三角形的三邊溝通，將有序?qū)崝?shù)對和點溝通，將二元一次方程與直 線、將二元二次方程與相應(yīng)的圓錐曲線對應(yīng)等等。這種代數(shù)結(jié)構(gòu)向幾何結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn) 化常常表現(xiàn)為構(gòu)造一個圖形。另外，函數(shù)的圖象也是實現(xiàn)數(shù)形轉(zhuǎn)化的有效工具之 一，正是基于此，函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想經(jīng)常借肋于相伴而充分地發(fā)揮作用。數(shù)形結(jié)合的原則(1) 等價性原則在數(shù)形結(jié)合時，代數(shù)性質(zhì)和幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)換必須是等價的，否則解題將會出 現(xiàn)漏洞有時，由

18、于圖形的局限性，不能完整的表現(xiàn)數(shù)的一般性，這時圖形的性 質(zhì)只能是一種直觀而淺顯的說明.但它同時也是抽象而嚴(yán)格證明的誘導(dǎo)。(2) 雙向性原則在數(shù)形結(jié)合時，既要進(jìn)行幾何直觀的分析，又要進(jìn)行代數(shù)抽象的探索，兩方 面相輔相成，僅對代數(shù)問題進(jìn)行幾何分析，在許多時候是很難行得通的。例如，在解析幾何中，我們主要是運用代數(shù)的方法來研究幾何問題，但是在 許多時候，若能充分地挖掘利用圖形的幾何特征，將會使得復(fù)雜的問題簡單化。(3) 簡單性原則就是找到解題思路之后，至于用幾何方法還是用代數(shù)方法、或者兼用兩種方 法來敘述解題過程.則取決于那種方法更為簡單n而不是去刻意追求一種流性的 模式一一代數(shù)問題運用幾何方法，幾何

19、問題尋找代數(shù)方法。4數(shù)形結(jié)合思想方法在中學(xué)解題中的應(yīng)用“數(shù)”中思“形”利用韋恩圖法解決集合之間的關(guān)系問題般情況我們用圓來表示集合，兩個圓相交則表示兩個集合有公共的元素，兩個圓相離就表示兩個集合沒有公共的元素。利用韋恩圖法能直觀地解答有關(guān)集 合之間的關(guān)系的問題n例1某校先后舉行數(shù)理化三科競賽，學(xué)生中至少參加一科的：數(shù)學(xué)807人，物理739人，化學(xué)437人；至少參加兩科的：數(shù)理393人，數(shù)化371人，理 化267人；三科都參加的213人，試計算參加競賽總?cè)藬?shù)。解我們用圓A、B、C分別表示參加數(shù)理化競賽的人數(shù).那么三個圓的公共部分正好表示同時參加數(shù)理化小組的人數(shù)°用n表示集合的元素，則有：

20、即：參加競賽總?cè)藬?shù)為旳&球人例 2 設(shè) A = x I x2 -16<利用數(shù)軸解決集合的分析分別先確定集合A, B的元素,A = x-4<X<4,B = xx>3x<,然后把它們分別在數(shù)軸上表示出來從數(shù)軸上的重合和覆蓋情況可直接寫出答案：一!-J - ? n 1 ?4AHB = xl-4 <X<1BE3<X<4（公共部分）(整個數(shù)軸都被覆蓋)= x I a- < -4或1 <x< 3或兀> 4(除去重合部分剩下的區(qū)域)=(除去覆蓋部分剩下的區(qū)域)數(shù)形結(jié)合思想在解決對稱問題中的應(yīng)用例3如圖，已知A(4,0)、3

21、(0,4),從點P(2,0)射岀的光線經(jīng)直線AB反向后 再射到直線OB上，最后經(jīng)直線03反射后乂回到P點，則光線所經(jīng)過的路程是 ()A. 2710B. 6C .3>/3D. 2>/5解題思路利用對稱知識，將折線PM/V的長度轉(zhuǎn)化為折線CWMD的長度解析設(shè)點P關(guān)于直線的對稱點為D(4,2),關(guān)于y軸的對稱點為C(-2,0), 則光線所經(jīng)過的路程P陋N的長= PM + MN+NP = DM + MN+NCACD= 2/10 本例是運用數(shù)形結(jié)合解題的典范，關(guān)鍵是靈活利用平面幾何知識與對稱的性質(zhì)實 現(xiàn)轉(zhuǎn)化，一般地，在已知直線上求一點到兩個定點的距離之和的最小值，需利用 對稱將兩條折線由同側(cè)

22、化為異側(cè)，在已知直線上求一點到兩個定點的距離之差的 最大值，需利用對稱，將兩條折線由異側(cè)化為同側(cè)，從而實現(xiàn)轉(zhuǎn)化。利用函數(shù)圖像比較函數(shù)值的大小些數(shù)值大小的比較，我們可轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)的函數(shù)值.利用它們圖像的直 觀性進(jìn)行比較。如：例4試判斷0.3llog2 0.3,2心三個數(shù)間的大小順序-分析這三個數(shù)我們可以看成三個函數(shù) >'i = x2,y2 = log, x, y3 = T 在 x = 0.3 時， 所對應(yīng)的函數(shù)值在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出這聯(lián)想起函數(shù)y = 3工與y = 2-小作出這兩個函數(shù)的圖像，這兩個函數(shù)圖像交點的橫坐標(biāo)為方程的近似解，可以看出方程的近似解為x0.4利用數(shù)形結(jié)合思想有

23、時可以解決一些比較復(fù)雜的最值和值域問題.特別是一即竺？二d可以看成過點A（sin &,cos 0）與點B（-l,的）的直sin& + l線的斜率.a是動點且在圓x2 + /= i±. 為定點，作出圖象，由圖可知：80 = 20 = 00 = 1,則 ZDBO = ZOBA = 30 ,所以圓O的切線BC的傾斜角為150 ,故心=tanl50°=-£ “形呻覓“數(shù)”分析我們可把這個問題轉(zhuǎn)化為確定函數(shù)兒=/-1例7設(shè)方程卜2_1| = « + 1,試討論R取不同范圍的值時其不同解的個數(shù)的情平行于x軸的所有直線，從圖像可以直觀看出:y2=k +

24、 圖像交點個數(shù)的情況，因函數(shù)y2=k + 表示 當(dāng)k<l時與兒沒有交點，這時原方程無解; 當(dāng)k =一1時，兒與兒有兩個交點，原方程有兩個不同的解; 當(dāng)-1<£<0時，”與兒有四個不同交點，原方程不同解的個數(shù)有四個；，當(dāng)£ = 0時，”與力有三個交點，原方程不同解的個數(shù)有三個;當(dāng)£>0時，”與力有兩個交點，原方程不同解的個數(shù)有三個例8已知直線卩二帆久+J5）和雙曲線x2 -4/ =4有且僅有一個公共點，求k的不同取值個數(shù)。分析 作出雙曲線x2-4/ =4的圖象，并注意到直線是過定點（-0）的 直線系，雙曲線的漸近線方物o所以過（-血,0）點且和漸近線平行的直線與雙曲線有且僅有一個公共點， 此時k取兩個不同值，血,過（）點且和雙曲線相切的直線與雙曲線有 且僅有一個公共點，此時R取兩個不同的值，故斤有四個不同取值。在做很多題時把圖形畫出來，問題自然就解決了，利用“數(shù)”與“形”的 相互轉(zhuǎn)化來解決兒何問題，它具有直觀性、靈活性等特點。數(shù)形完美的結(jié)合， 就能達(dá)到事半功倍的效果。5結(jié)束語數(shù)無形不直觀，形無數(shù)難入微?？傊瑪?shù)形結(jié)合思想方法是一種非常有用的 數(shù)學(xué)方法，它能使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化另外，它對于我們進(jìn)行 數(shù)學(xué)解題和數(shù)學(xué)研究是非常有幫助的。因此，我們應(yīng)該在平時的學(xué)習(xí)和研究中注 意培養(yǎng)這種思想意識，真正做到胸中有圖，圖中有