最新新課標(biāo)高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)專練9正弦定理和余弦定理

1、 考點(diǎn)9 正弦定理和余弦定理 1.（20xx·天津高考理科·7）在abc中，內(nèi)角a,b,c的對邊分別是a,b,c，若，則a=( )【命題立意】考查三角形的有關(guān)性質(zhì)、正弦定理、余弦定理以及分析問題、解決問題的能力.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)正、余弦定理將邊角互化.【規(guī)范解答】選a.根據(jù)正弦定理及得：.，【方法技巧】根據(jù)所給邊角關(guān)系，選擇使用正弦定理或余弦定理，將三角形的邊轉(zhuǎn)化為角.2.（20xx·北京高考文科·7）某班設(shè)計(jì)了一個八邊形的班徽（如圖），它由腰長為1，頂角為的四個等腰三角形，及其底邊構(gòu)成的正方形所組成，該八邊形的面積為( )（a） （b）（c） （d）【

2、命題立意】本題考查解三角形的相關(guān)知識，用到了面積公式、余弦定理等知識.【思路點(diǎn)撥】在等腰三角形中利用余弦定理求出底邊，從而班徽的面積等于四個等腰三角形的面積與正方形的面積之和.【規(guī)范解答】選a.等腰三角形的底邊長為.所以班徽的面積為.3.（20xx·湖南高考理科·4）在abc中，角a，b，c所對的邊長分別為a,b,c，若c=120°，,則（ ）(a)a>b (b)a<b (c)a=b (d)a與b的大小關(guān)系不能確定【命題立意】以三角形為依托，以余弦定理為明線，以方程的解為暗線考查學(xué)生運(yùn)用知識和等價轉(zhuǎn)化的能力.【思路點(diǎn)撥】由余弦定理得到邊的二元等量關(guān)系，

3、然后從方程的角度消元求解.【規(guī)范解答】選a.c=120°，2a2=a2+b2-2abcos120°，a2=b2+ab，（）2+-1=0，= <1，b<a. 【方法技巧】三角形是最簡單的平面圖形，是中學(xué)數(shù)學(xué)所學(xué)知識最多的圖形，在高考中是重點(diǎn).常常考查邊角關(guān)系，余弦定理和正弦定理，常常結(jié)合不等式和方程來解,尤其是均值不等式的考查.4.（20xx·北京高考理科·0）在abc中，若b = 1，c =，則a= .【命題立意】本題考查利用三角形中的余弦定理求解.【思路點(diǎn)撥】對利用余弦定理，通過解方程可解出.【規(guī)范解答】由余弦定理得，即，解得或（舍）.【答

4、案】1【方法技巧】已知兩邊及一角求另一邊時，用余弦定理比較好.5.（20xx·廣東高考理科·11）已知a,b,c分別是abc的三個內(nèi)角a,b,c所對的邊，若a=1,b=, a+c=2b,則sinc= .【命題立意】本題考查正弦定理在解三角形中的應(yīng)用.【思路點(diǎn)撥】由已知條件求出，的大小，再求出，從而求出【規(guī)范解答】由a+c=2b及得，由正弦定理得，得，由知，所以，所以【答案】16.（20xx·山東高考理科·15）在中，角所對的邊分別為a，b，c，若，則角的大小為 【命題立意】本題考查了三角恒等變換、已知三角函數(shù)值求角以及正弦定理，考查了考生的推理論證能力和

5、運(yùn)算求解能力. 【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)求出b，再利用正弦定理求出，最后求出a. 【規(guī)范解答】由，得，即，因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以在中，由正弦定理得：，解得，又，所以，所?【答案】30°或7.（20xx·江蘇高考·13）在銳角三角形abc中，角a、b、c的對邊分別為a、b、c，若，則的值是_.【命題立意】考查三角形中的正、余弦定理以及三角函數(shù)知識的應(yīng)用，等價轉(zhuǎn)化思想.【思路點(diǎn)撥】對條件采用角化邊，對采用切化弦并結(jié)合正弦定理解決.【規(guī)范解答】，.，由正弦定理得，上式 .【答案】4【方法技巧】上述解法采用了解決三角形問題的通性通法，即利用正弦定理和余弦定理靈活實(shí)現(xiàn)邊角互化

6、.本題若考慮到已知條件和所求結(jié)論對于角a、b和邊a、b具有輪換性，可采用以下方法解決：當(dāng)a=b或a=b時滿足題意，此時有：，= 4.8.（20xx·遼寧高考文科·17）在abc中，a,b,c分別為內(nèi)角a,b,c的對邊，且2asina=(2b+c)sinb+(2c+b)sinc.()求a的大小.（）若sinb +sinc=1,試判斷abc的形狀.【命題立意】本題考查了正弦定理、余弦定理和考生的運(yùn)算求解能力.【思路點(diǎn)撥】(i)根據(jù)正弦定理將已知條件中角的正弦化成邊，得到邊的關(guān)系，再由余弦定理求角.(ii)利用（i）的結(jié)論，求出角b(或角c)，判斷三角形的形狀.【規(guī)范解答】【方法

7、技巧】(1)利用正弦定理，實(shí)現(xiàn)角的正弦化為邊時只能是用a替換sina，用b替換sinb,用c替換sinc.sina,sinb,sinc的次數(shù)要相等，各項(xiàng)要同時替換，反之，用角的正弦替換邊時也要這樣，不能只替換一部分.(2)以三角形為背景的題目，要注意三角形的內(nèi)角和定理的使用,如本例中b+c60°.9.（20xx·浙江高考文科·18）在abc中，角a，b，c所對的邊分別為a,b,c,設(shè)s為abc的面積，滿足.（）求角c的大小.（）求的最大值.【命題立意】解析本題主要利用余弦定理、三角形面積公式、三角變換等基礎(chǔ)知識，同時考查考生的運(yùn)算求解能力.【思路點(diǎn)撥】利用面積公式

8、求角c，然后利用三角形的內(nèi)角和定理及兩角和的正弦公式化簡，求最值.【規(guī)范解答】()由題意可知absinc2abcosc， 所以tanc.因?yàn)?<c<，所以c.（)由已知sina+sinb = sina+sin(-c-a)sina+sin(-a)sina+cosa+sinasin(a+).當(dāng)a，即abc為正三角形時取等號，所以sina+sinb的最大值是.【方法技巧】求時，利用，轉(zhuǎn)化為求關(guān)于角a的三角函數(shù)的最值問題.10.（20xx·遼寧高考理科·17）在abc中，a, b, c分別為內(nèi)角a, b, c的對邊，且（）求a的大小.（）求的最大值.【命題立意】考查了正

9、弦定理、余弦定理、三角函數(shù)的恒等變換及三角函數(shù)的最值.【思路點(diǎn)撥】（i）根據(jù)正弦定理將已知條件中角的正弦化成邊，得到邊的關(guān)系，再由余弦定理求角.（ii）由（i）知角c60°-b，代入sinb+sinc中，看作關(guān)于角b的函數(shù)，進(jìn)而求出最值.【規(guī)范解答】（）由已知，根據(jù)正弦定理得，即，由余弦定理得，故 ，又0<a<180，a=120°. （）由（）得： 故當(dāng)b30°時，sinb+sinc取得最大值1.【方法技巧】(1)利用正弦定理，實(shí)現(xiàn)角的正弦化為邊時只能是用a替換sina，用b替換sinb,用c替換sinc.sina, sinb,sinc的次數(shù)要相等，各項(xiàng)要同時替換，反之，用角的正弦替換邊時也要這樣，不能只替換一部分.(2)以三角形為背景的題目，要注意三角形的內(nèi)角和定理的使用，如本例中b+c60°.11.（20xx·浙江高考理科·18）在abc中,角a，b，c所對的邊分別為a,b,c，已知， (i)求sinc的值()當(dāng)a=2， 2sina=sinc時，求b及c的長 【命題立意】本題主要考查三角變換、正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識，同時考查考生的運(yùn)算求解能力. 【思路點(diǎn)撥】利用二倍角余弦公式求的值，再利用正弦定理求，