【江蘇版】高三數(shù)學(xué)三輪總動員：專題7直線與橢圓解析版

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5【方法引領(lǐng)】【舉例說法】一、求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例1在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知橢圓c：+=1(a>b>0)的離心率為，以原點(diǎn)為圓心、橢圓c的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+2=0相切.(1)求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)已知點(diǎn)p(0，1)，q(0，2)，設(shè)m，n是橢圓c上關(guān)于y軸對稱的不同兩點(diǎn)，直線pm與qn相交于點(diǎn)t，求證：點(diǎn)t在橢圓c上.【分析】(1)利用直線與圓相切求出b的值，然后利用離心率可求出a的值，從而求出橢圓方程.(2)解出兩直線的交點(diǎn)，驗(yàn)證滿足橢圓方程即可.所以=，所以a=2，所以橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.(2)由題意可設(shè)m，n兩

2、點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x0，y0)，(-x0，y0)，則直線pm的方程為y=x+1，直線qn的方程為y=x+2.設(shè)點(diǎn)t的坐標(biāo)為(x，y).聯(lián)立解得x0=，y0=.因?yàn)?=1，所以+=1，整理得+=(2y-3)2，所以+-12y+8=4y2-12y+9，即+=1，所以點(diǎn)t的坐標(biāo)滿足橢圓c的方程，即點(diǎn)t在橢圓c上.【點(diǎn)評】求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法，具體過程是先定形，再定量，即首先確定焦點(diǎn)所在位置，然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a，b的方程組.如果焦點(diǎn)位置不確定，要考慮是否有兩解，有時為了解題方便，也可把橢圓方程設(shè)為mx2+ny2=1(m>0，n>0，mn)的形式.【練習(xí)】已知中心在坐標(biāo)原

3、點(diǎn)o的橢圓c經(jīng)過點(diǎn)a(2，3)，且點(diǎn)f(2，0)為其右焦點(diǎn).(1)求橢圓c的方程；(2)已知動點(diǎn)p到定點(diǎn)q(，0)的距離與點(diǎn)p到定直線l：x=2的距離之比為，求動點(diǎn)p的軌跡c'的方程.【分析】本題主要考查橢圓的定義和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程等基礎(chǔ)知識，以及利用直接法和待定系數(shù)法求橢圓方程的基本方法.故橢圓c的方程為+=1.(2)設(shè)點(diǎn)p(x，y)，依題意，得=，整理，得+=1，所以動點(diǎn)p的軌跡c'的方程為+=1.【點(diǎn)評】本題第一問已知焦點(diǎn)即知道了c，再利用橢圓定義先求得2a的值，再利用橢圓中a，b，c的關(guān)系，求得b的值，從而得橢圓方程.本題還可以利用待定系數(shù)法設(shè)橢圓方程為+=1，代入已知點(diǎn)

4、求解，顯然沒有利用定義來得簡單. 學(xué)科￥%二、求離心率的值或范圍例2如圖(1)，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，a1，a2，b1，b2分別為橢圓+=1(a>b>0)的四個頂點(diǎn)，f為其右焦點(diǎn)，直線a1b2與直線b1f相交于點(diǎn)t，線段ot與橢圓的交點(diǎn)m恰為線段ot的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為.(例2(1)(2)如圖(2)，已知點(diǎn)a，f分別是-=1(a>0，b>0)的左頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)，過a，f作與x軸垂直的直線分別與兩條漸近線交于p，q，r，s，若sros=2spoq，則雙曲線的離心率為.(例2(2) (3)已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，且左、右焦點(diǎn)分別為f1，f2，這兩

5、條曲線在第一象限的交點(diǎn)為p，pf1f2是以pf1為底邊的等腰三角形.若pf1=10，橢圓與雙曲線的離心率分別為e1，e2，則e1·e2的取值范圍是.【點(diǎn)撥】依題設(shè)得出關(guān)于a，b，c的等式或不等式，再消去b.【答案】(1)2-5(2)(3)又m在橢圓+=1(a>b>0)上，故+=1，即e2+10e-3=0，解得e=2-5.(2)由題意，得a(-a，0)，f(c，0)，直線pq，rs的方程分別為x=-a，x=c，與漸近線y=±x聯(lián)立，可求得p(-a，b)，q(-a，-b)，r，s，則sros=··c=，spoq=a·2b=ab，于是由s

6、ros=2spoq，得=2ab，即=2，所以e=.(3)設(shè)橢圓的長軸長為2a，雙曲線的實(shí)軸長為2m，則2c=pf2=2a-10，2m=10-2c，a=c+5，m=5-c，所以e1e2=·=.又由三角形性質(zhì)知2c+2c>10，又由已知得2c<10，c<5，所以<c<5，1<<4，0<-1<3，所以e1e2=>.【練習(xí)】已知橢圓+=1(a>b>0)，點(diǎn)a，b1，b2，f依次為其左頂點(diǎn)、下頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，若直線ab2與直線b1f的交點(diǎn)恰好在橢圓的右準(zhǔn)線上，則該橢圓的離心率為.【答案】所以ym=b.由=kfm，得=

7、，所以ym=.從而b=，整理得2e2+e-1=0，解得e=.三、直線與圓錐曲線問題例3如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知橢圓+=1(a>b>0)過點(diǎn)a(2，1)，離心率為.$. (1)求橢圓的方程；(2)若直線l：y=kx+m(k0)與橢圓相交于b，c兩點(diǎn)(異于點(diǎn)a)，線段bc被y軸平分，且abac，求直線l的方程.(例3)【點(diǎn)撥】聯(lián)立方程化歸為一元二次方程的根與系數(shù)問題.所以所求橢圓的方程為+=1.(2)將y=kx+m(k0)代入橢圓方程，得(1+4k2)x2+8mkx+4m2-8=0，由線段bc被y軸平分，得xb+xc=-=0，因?yàn)閗0，所以m=0.因?yàn)楫?dāng)m=0時，b，c關(guān)于

8、原點(diǎn)對稱，設(shè)b(x，kx)，c(-x，-kx)，由方程，得x2=，又因?yàn)閍bac，a(2，1)，所以·=(x-2)(-x-2)+(kx-1)(-kx-1)=5-(1+k2)x2=5-=0，所以k=±，由于k=時，直線y=x過點(diǎn)a(2，1)，故k=不符合題設(shè).所以直線l的方程為y=-x.【點(diǎn)評】解析幾何包含兩個主要問題，即已知曲線求方程和已知方程研究曲線的性質(zhì).對解析幾何的復(fù)習(xí)，要在牢固掌握與解析幾何有關(guān)的基本概念基礎(chǔ)上，把上述兩個問題作為復(fù)習(xí)和研究的重點(diǎn)，把握坐標(biāo)法思想的精髓.【練習(xí)】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知橢圓+=1(a>b>0)的離心率為，長軸長

9、為4，過橢圓的左頂點(diǎn)a作直線l，分別交橢圓和圓x2+y2=a2于相異兩點(diǎn)p，q.(1)若直線l的斜率為，求的值；(2)若=，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解答】(1)由條件知解得聯(lián)立方程組消去x，得3y2-4y=0，所以yp=.由消去x，得5y2-8y=0，所以yq=.所以=×=.(2)因?yàn)?，且，同向，則=-1，設(shè)直線l：y=k(x+2)，聯(lián)立方程組消去x，得(k2+1)y2-4ky=0，所以yq=，同理yp=，=-1=-1=-1=1-.因?yàn)閗2>0，所以0<<1.即實(shí)數(shù)的取值范圍是(0，1).【實(shí)戰(zhàn)演練】1. 在平面直角坐標(biāo)系xoy中，雙曲線-y2=1的實(shí)軸長為.【答案】

10、2【解析】根據(jù)雙曲線的方程知a=，所以實(shí)軸長為2a=22. 以拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，以直線y=±x為漸近線的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【答案】-=1-=1.3. 在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知拋物線c的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，若曲線c經(jīng)過點(diǎn)p(1，3)，則其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.【答案】【解析】由題意可設(shè)拋物線c的方程為y2=2px(p>0)，因?yàn)榍€c過點(diǎn)p(1，3)，所以9=2p，解得p=，從而其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p=4. 設(shè)橢圓c：+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為f1，f2，過f2作x軸的垂線與橢圓c相交于a，b兩點(diǎn)，f1b與y軸相交于點(diǎn)d，若ad

11、f1b，則橢圓c的離心率為.(第4題)【答案】所以af1=2af2.設(shè)af2=n，則af1=2n，f1f2=n.所以e=.5. 設(shè)橢圓+.=1(m>0，n>0)的右焦點(diǎn)與拋物線y2=8x的焦點(diǎn)相同，離心率為，則此橢圓的短軸長為.【解析】由題意可知拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為(2，0)，所以c=2.因?yàn)殡x心率為，所以a=4，所以b=2，所以橢圓的短軸長為4.6. 設(shè)a，b分別是橢圓+=1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)p是橢圓c上異于a，b的一點(diǎn)，若直線ap與bp的斜率之積為-，則橢圓c的離心率為.【解析】由題意知a(-a，0)，b(a，0)，取p(0，b)，則kap·

12、;kbp=×=-，故a2=3b2，所以e2=，即e=.7. 已知橢圓c：+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為f1，f2，若橢圓c上恰好有6個不同的點(diǎn)p，使得f1f2p為等腰三角形，則橢圓c的離心率的取值范圍是.8. 如圖，已知橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為f1，f2，p是橢圓上一點(diǎn)，m在pf1上，且滿足=(r)，pof2m，o為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)若橢圓方程為+=1，且p(2，)，求點(diǎn)m的橫坐標(biāo)；(2)若=2，求橢圓離心率e的取值范圍.【解析】(1) 因?yàn)?=1，所以f1(-2，0)，f2(2，0)，所以kop=-=，所以直線f2m的方程為y=-(x

13、-2)，直線f1m的方程為y=(x+2).聯(lián)立解得x=，所以點(diǎn)m的橫坐標(biāo)為.(2) 設(shè)p(x0，y0)，m(xm，ym).因?yàn)?2，所以=(x0+c，y0)=(xm+c，ym)，所以m，=因?yàn)?a<x0<a，所以x0=(0，a)，所以0<a2-ac<ac，解得e>.綜上，橢圓離心率e的取值范圍為.9. 如圖，橢圓長軸端點(diǎn)為a，b，o為橢圓中心，f為橢圓的右焦點(diǎn)，且·=1，|=1.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)記橢圓的上頂點(diǎn)為m，直線l交橢圓于p，q兩點(diǎn)，問：是否存在直線l，使得點(diǎn)f恰為pqm的垂心?若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.【解析】(1) 設(shè)橢圓方程為+=1(a>b>0)，則c=1.因?yàn)?#183;=1，即(a+c)(a-c)= 1=a2-c2，所以a2=2，故橢圓方程為+y2=1.又yi=xi+m(i=1，2)，得x1(x2-1)+(x2+m)(x1+m-1)=0，即2x1x2+(x1+x2)(m-1)+m2-m=0，所以2·-(m-1)+m2-m=0，解得m=-或m=1(舍去).經(jīng)檢驗(yàn)m=-符合條件，所以直線l的方程為y=x-.10. 如圖，橢圓c：+=1(a>b&