數(shù)學(xué)文一輪教學(xué)案：第一章第1講　集合的概念及運(yùn)算 Word版含解析

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5第一章集合與常用邏輯用語第1講集合的概念及運(yùn)算1集合的基本概念(1)集合元素的性質(zhì)：確定性、互異性、無序性(2)元素與集合的關(guān)系：屬于記為，不屬于記為.(3)常見集合的符號(hào)集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)nn*或nzqr(4)集合的表示方法：列舉法、描述法、圖示法2集合間的基本關(guān)系 表示關(guān)系文字語言符號(hào)語言相等集合a與集合b中的所有元素相同ab且baab子集a中任意一個(gè)元素均為b中的元素ab或ba真子集a中任意一個(gè)元素均為b中的元素，且b中至少有一個(gè)元素不是a中的元素ab或ba空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集ab(b)注意點(diǎn)元素互異

2、性的應(yīng)用(1)利用集合元素的互異性找到解題的切入點(diǎn)(2)在解答完畢時(shí)，注意檢驗(yàn)集合的元素是否滿足互異性以確保答案正確.1思維辨析(1)1,2,32,3,1()(2)空集中只有一個(gè)元素0.()(3)集合x2x,0中實(shí)數(shù)x可取任意值()(4)任何集合都至少有兩個(gè)子集()(5)集合x|y與集合y|y是同一個(gè)集合()(6)若a0,1，b(x，y)|yx1，則ab.()答案(1)(2)×(3)×(4)×(5)×(6)×2若集合axn|x，a2，則下面結(jié)論中正確的是()aaa baacaa daa答案d解析axn|x0,1,2,3而a2，aa.3已知全集u

3、1,2,3,4,5,6,7，集合a1,3,5,6，則ua()a1,3,5,6 b2,3,7c2,4,7 d2,5,7答案c解析由u1,2,3,4,5,6,7，a1,3,5,6，ua2,4,7，故選c.4已知全集u1,2,3,4,5,6,7，集合a1,3,5,6，則ua()a1,3,5,6 b2,3,7c2,4,7 d2,5,7答案c解析由u1,2,3,4,5,6,7，a1,3,5,6，ua2,4,7，故選c.考法綜述集合元素的三大特性是理解集合概念的關(guān)鍵，一般涉及集合與元素之間的關(guān)系及根據(jù)集合中元素的特性(特別是集合中元素的互異性)，來確定集合中元素的個(gè)數(shù)，或求參數(shù)的取值范圍，屬于基礎(chǔ)題命題法

4、1集合的基本概念典例1(1)已知集合a0,1,2，則集合bxy|xa，ya中元素的個(gè)數(shù)是()a1 b3c5 d9(2)若集合axr|ax23x20中只有一個(gè)元素，則a()a. b.c0 d0或解析(1)當(dāng)x0，y0,1,2時(shí)，xy的值分別為0，1，2；當(dāng)x1，y0,1,2時(shí)，xy的值分別為1,0，1；當(dāng)x2，y0,1,2時(shí)，xy的值分別為2,1,0；b2，1，0,1,2集合b中元素的個(gè)數(shù)是5個(gè)(2)集合a是方程ax23x20在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解集，且a中只有一個(gè)元素，所以方程ax23x20只有一個(gè)實(shí)數(shù)根若a0，則方程為3x20，解得x，滿足條件；若a0，則二次方程ax23x20有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

5、即(3)28a0，解得a，所以a0或a.答案(1)c(2)d【解題法】解決集合概念問題的一般思路研究一個(gè)集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制條件，當(dāng)集合用描述法表示時(shí)，注意弄清其元素表示的意義是什么命題法2集合之間的關(guān)系典例2已知集合ax|x<3或x>7，bx|x<2m1，若ba，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_解析由題意知2m13，m1，m的取值范圍是(，1答案(，1【解題法】利用集合關(guān)系求參數(shù)取值范圍及集合相等問題(1)根據(jù)兩集合的關(guān)系求參數(shù)，其關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系，解決這類問題常常要合理利用數(shù)軸、venn圖幫助分析，而且常

6、要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論注意點(diǎn)：注意區(qū)間端點(diǎn)的取舍(2)若兩個(gè)集合相等，首先分析某一集合的已知元素在另一個(gè)集合中與哪一個(gè)元素相等，有幾種情況，然后列方程(組)求解1已知集合a1,2,3，b2,3，則()aab babcab dba答案d解析由真子集的概念知ba，故選d.2若集合axr|ax2ax10中只有一個(gè)元素，則a()a4 b2c0 d0或4答案a解析ax2ax10只有一個(gè)根，當(dāng)a0時(shí)方程無解，當(dāng)a0，0時(shí)，即a24a0，a4，故選a.3.已知集合ax|ax1，bx|x210，若ab，則a的取值構(gòu)成的集合是()a1 b1c1,1 d1,0,1答案d解析bx|(x1)(x1)01,1若ab，則有以下

7、情況：當(dāng)a0時(shí)，a，滿足ab；當(dāng)a0時(shí)，a，若ab，則a1時(shí)，a1；a1時(shí)，a1；故當(dāng)a0，1,1時(shí)滿足ab.4設(shè)集合px|x>1，qx|x2x>0，則下列結(jié)論正確的是()apq bqpcpq dpqr答案a解析qx|x2x>0x|x>1或x<0，又px|x>1，pq，故選a.1集合的運(yùn)算及性質(zhì)名稱交集并集補(bǔ)集符號(hào)ababua數(shù)學(xué)語言abx|xa且xbabx|xa或xbuax|xu且xa圖形運(yùn)算性質(zhì)aba，abb，abab，aab，aaa(ua)u，a(ua)，u(ua)a 2集合間運(yùn)算性質(zhì)的重要結(jié)論(1)ababa.(2)abaab.(3)ababab.(

8、4)狄摩根定律：u(ab)(ua)(ub)；u(ab)(ua)(ub)注意點(diǎn)空集的特殊性在解題中，若未指明集合非空時(shí)，要考慮空集的可能性，如ab，則有a和a兩種可能，此時(shí)應(yīng)分類討論.1思維辨析(1)x|yx21y|yx21(x，y)|yx21()(2)若x2,10,1，則x0,1.()(3)對(duì)于任意兩個(gè)集合a，b，關(guān)系(ab)(ab)恒成立()(4)若abac，則bc.()(5)已知集合m1,2,3,4，n2,3，則mnn.()(6)若全集u1,0,1,2，pxz|x2<4，則up2()答案(1)×(2)×(3)(4)×(5)(6)2已知集合ax|x2x20

9、，集合b為整數(shù)集，則ab()a1,0,1,2 b2，1,0,1c0,1 d1,0答案a解析ax|(x2)(x1)0x|1x2，又b為整數(shù)集，所以ab1,0,1,2，故選a.3已知集合a0,1,2，集合b滿足ab0,1,2，則集合b有_個(gè)答案8解析由ab0,1,2得ba，所以b是a的子集由a中有3個(gè)元素知b有238個(gè)考法綜述集合的基本運(yùn)算是歷年高考的熱點(diǎn)，常與函數(shù)、不等式、方程等知識(shí)綜合考查，主要以選擇題形式出現(xiàn)命題法求交集、并集和補(bǔ)集典例(1)已知集合ax|x22x30，bx|2x<2，則ab()a2，1 b1,1c1,2) d1,2)(2)已知全集ur，ax|x0，bx|x1，則集合u

10、(ab)()ax|x0bx|x1cx|0x1dx|0<x<1解析(1)由不等式x22x30解得x3或x1，因此集合ax|x1或x3，又集合bx|2x<2，所以abx|2x1，故選a.(2)利用數(shù)軸分析求解ax|x0，bx|x1，abx|x0，或x1在數(shù)軸上表示，如圖所示u(ab)x|0<x<1答案(1)a(2)d【解題法】解決集合運(yùn)算問題的方法在進(jìn)行集合運(yùn)算時(shí)，要盡可能地利用數(shù)形結(jié)合的思想使抽象問題直觀化(1)用列舉法表示的集合進(jìn)行交、并、補(bǔ)的運(yùn)算，常采用venn圖法解決，此時(shí)要搞清venn圖中的各部分區(qū)域表示的實(shí)際意義(2)用描述法表示的數(shù)集進(jìn)行運(yùn)算，常采用數(shù)軸

11、分析法解決，此時(shí)要注意“端點(diǎn)”能否取到(3)若給定的集合是點(diǎn)集，常采用數(shù)形結(jié)合法求解1已知集合a2，1,0,1,2，bx|(x1)(x2)<0，則ab()a1,0b0,1c1,0,1d0,1,2答案a解析因?yàn)閎x|(x1)(x2)<0x|2<x<1，a2，1,0,1,2，故ab1,0選a.2已知全集u1,2,3,4,5,6,7,8，集合a2,3,5,6，集合b1,3,4,6,7，則集合a(ub)()a2,5b3,6c2,5,6d2,3,5,6,8答案a解析由已知得ub2,5,8，a(ub)2,53已知集合px|x22x0，qx|1<x2，則(rp)q()a0,1)

12、b(0,2c(1,2)d1,2答案c解析px|x2或x0，rpx|0<x<2，(rp)q(1,2)4若集合ai，i2，i3，i4(i是虛數(shù)單位)，b1，1，則ab等于()a1b1c1，1d答案c解析ai，1，i,1，b1，1，所以ab1，1，故選c.5設(shè)集合mx|x0，xr，nx|x2<1，xr，則mn()a0,1b0,1)c(0,1d(0,1)答案b解析mx|x0，xrnx|x2<1，xrx|1<x<1，xrmnx|0x<1，即mn0,1)故選b.6已知集合m1,0,1，n0,1,2，則mn()a0,1b1,0,2c1,0,1,2d1,0,1答案c解

13、析m1,0,1，n0,1,2，mn1,0,1,2，故選c.7.設(shè)集合ax|x1|<2，by|y2x，x0,2，則ab()a0,2b(1,3)c1,3)d(1,4)答案c解析ax|x1|<2x|1<x<3，by|y2x，x0,2y|1y4，abx|1<x<3y|1y4x|1x38設(shè)全集ur，ax|ylg (1x)，則ra()a(，1)b(0,1)c1，)d(1，)答案c解析ylg (1x)，1x>0，即x<1，rax|x19已知集合ax|x2k1，kz，b，則ab()a1,3b1,3c1,1d1,1,3答案c解析bx|1x<3，又集合a為奇數(shù)

14、集，ab1,1，故選c.10.已知全集ur，ax|x>1，bx|x22x>0，則u(ab)()ax|x2bx|x1cx|0x1dx|0x2答案c解析由x22x>0得x>2或x<0，即bx|x<0，或x>2，abx|x<0，或x>1，u(ab)x|0x111集合m2，log3a，na，b，若mn1，則mn()a0,1,2b0,1,3c0,2,3d1,2,3答案d解析因?yàn)閙n1，所以log3a1，即a3，所以b1，即m2,1，n3,1，所以mn1,2,3，故選d.12已知全集u，集合abu，則有()aabbbabac(ua)(ub)ubd(ua

15、)(ub)ub答案c解析abu，aba，故選項(xiàng)a不正確；abb，故選項(xiàng)b不正確；(ua)(ub)u(ab)ub，故選項(xiàng)c正確；(ua)(ub)u(ab)ua，故選項(xiàng)d不正確故選c.13設(shè)集合ur，ax|2x(x2)<1，bx|yln (1x)，則圖中陰影部分表示的集合為()ax|x1bx|1x<2cx|0<x1dx|x1答案b解析易知ax|2x(x2)<1x|x(x2)<0x|0<x<2，bx|yln (1x)x|1x>0x|x<1，則ubx|x1，陰影部分表示的集合為a(ub)x|1x<2創(chuàng)新考向以集合為載體的創(chuàng)新問題是近幾年高考命

16、題的一個(gè)熱點(diǎn)，這類問題以集合為依托，考查學(xué)生理解問題、解決創(chuàng)新問題的能力其命題形式常見的有新概念、新法則、新運(yùn)算、新性質(zhì)等.創(chuàng)新例題已知集合a(x，y)|x2y21，x，yz，b(x，y)|x|2，|y|2，x，yz，定義集合ab(x1x2，y1y2)|(x1，y1)a，(x2，y2)b，則ab中元素的個(gè)數(shù)為()a77b49c45d30答案c解析集合a(x，y)|x2y21，x，yz，所以集合a中有5個(gè)元素(即5個(gè)點(diǎn))，即圖中圓內(nèi)及圓上的整點(diǎn)集合b(x，y)|x|2，|y|2，x，yz中有25個(gè)元素(即25個(gè)點(diǎn))，即圖中正方形abcd內(nèi)及正方形abcd上的整點(diǎn)集合ab(x1x2，y1y2)|(

17、x1，y1)a，(x2，y2)b中的元素可看作正方形a1b1c1d1內(nèi)及正方形a1b1c1d1上除去四個(gè)頂點(diǎn)外的整點(diǎn)，共7×7445個(gè)創(chuàng)新練習(xí)1.設(shè)集合sa0，a1，a2，在s上定義運(yùn)算：aiajak，其中k為ij被3除的余數(shù)，i，j1,2,3，則使關(guān)系式(aiaj)aia0成立的有序數(shù)對(duì)(i，j)總共有()a1對(duì)b2對(duì)c3對(duì)d4對(duì)答案c解析i1時(shí)，j1符合要求，i2時(shí)，j2符合要求；i3時(shí)，j3符合要求，所以使關(guān)系式(aiaj)aia0成立的有序數(shù)對(duì)(i，j)有(1,1)，(2,2)，(3,3)，共3對(duì)2若集合a，b，c，d1,2,3,4，且下列四個(gè)關(guān)系：a1；b1；c2；d4有且

18、只有一個(gè)是正確的，則符合條件的有序數(shù)組(a，b，c，d)的個(gè)數(shù)是_答案6解析因?yàn)檎_，也正確，所以只有正確是不可能的；若只有正確，都不正確，則符合條件的有序數(shù)組為(2,3,1,4)，(3,2,1,4)；若只有正確，都不正確，則符合條件的有序數(shù)組為(3,1,2,4)；若只有正確，都不正確，則符合條件的有序數(shù)組為(2,1,4,3)，(3,1,4,2)，(4,1,3,2)綜上，符合條件的有序數(shù)組的個(gè)數(shù)是6.3設(shè)集合sn1,2,3，n，若xsn，把x的所有元素的乘積稱為x的容量(若x中只有一個(gè)元素，則該元素的數(shù)值即為它的容量，規(guī)定空集的容量為0)若x的容量為奇(偶)數(shù)，則稱x為sn的奇(偶)子集則s4

19、的所有奇子集的容量之和為_答案7解析根據(jù)題意，s4的所有奇子集為1、3、1,3，分析可得1的容量為1，3的容量為3，1,3的容量為3，則其容量之和為1337.創(chuàng)新指導(dǎo)1.準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化：解決集合創(chuàng)新問題時(shí)，一定要讀懂題目的本質(zhì)含義，緊扣題目所給條件，結(jié)合題目要求進(jìn)行恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，切忌同已有概念或定義相混淆2方法選取：對(duì)于集合創(chuàng)新問題，可恰當(dāng)選用特例法、篩選法、一般邏輯推理等方法，并結(jié)合集合的相關(guān)性質(zhì)求解，同時(shí)注意培養(yǎng)學(xué)生領(lǐng)悟新信息、運(yùn)用新信息的能力已知集合ax|ax10，bx|1<log2x2，xn，且aba，則a的所有可能值組成的集合是()a b.c. d.錯(cuò)解錯(cuò)因分析集合a為方程ax10的實(shí)數(shù)

20、解構(gòu)成的集合，由aba，知ab，a可以為非空集合，也可以是空集在解題中，很容易漏掉對(duì)a的討論，導(dǎo)致誤選c.正解由aba，得ab.因?yàn)閎x|1<log2x2，xnx|2<x4，xn3,4，當(dāng)a時(shí)，則方程ax10無實(shí)數(shù)解，所以a0，此時(shí)顯然有ab，符合題意當(dāng)a時(shí)，則由方程ax10，得x.要使ab，則3或4，即a或a.綜上所述，a的所有可能取值組成的集合是.故選d.答案d心得體會(huì)時(shí)間：45分鐘基礎(chǔ)組1.20xx·武邑中學(xué)模擬已知集合a0,1，bx|xa，則下列集合a與b的關(guān)系正確的是()aabbabcbadab答案d解析因?yàn)閤a，所以b，0，1，0,1，則集合a0,1是集合b中

21、的元素，所以ab.故選d.220xx·棗強(qiáng)中學(xué)一輪檢測(cè)已知集合ab，ac，b0,1,2,3,5,9，c2,4,8,10，則a可以是()a1,2b2,4c4d2答案d解析解法一：因?yàn)閍b，ac，所以a(bc)，故集合a可以是2，故選d.解法二：逐項(xiàng)驗(yàn)證，可知當(dāng)a1,2時(shí)，不滿足ac；同理可知當(dāng)a2,4和a4時(shí)，不滿足ab，故選d.320xx·衡水中學(xué)周測(cè)若集合a2,3,4，bx|xmn，m，na，mn，則集合b的非空子集的個(gè)數(shù)是()a4b7c8d15答案b解析解法一：因?yàn)閤mn，m，na，mn，所以b5,6,7，故b的非空子集有5，6，7，5,6，5,7，6,7，5,6,7，

22、共7個(gè)解法二：因?yàn)閤mn，m，na，mn，所以b5,6,7，根據(jù)公式可得集合b的非空子集的個(gè)數(shù)是2317.420xx·冀州中學(xué)月考已知集合ax|ylg (xx2)，bx|x2cx<0，c>0，若ab，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是()a(0,1b1，)c(0,1)d(1，)答案b解析因?yàn)閍x|ylg (xx2)x|xx2>0(0,1)，bx|x2cx<0，c>0(0，c)因?yàn)閍b，畫出數(shù)軸，如圖所示，得c1.故選b.520xx·武邑中學(xué)周測(cè)設(shè)a，br，集合1，ab，a，則ba()a1b1c2d2答案c解析因?yàn)?，ab，a，a0，所以ab0，從而1，所以有

23、a1，b1，所以ba2，故選c.620xx·衡水中學(xué)月考已知集合a(2,5，bm1,2m1若ba，則m的取值范圍是()a(3,3b3,3c(，3d(，3)答案c解析當(dāng)b時(shí)，m1>2m1即m<2，ba.當(dāng)b時(shí)，由題意可畫數(shù)軸m2且解得2m3.綜上可知m(，3，故選c.720xx·棗強(qiáng)中學(xué)猜題設(shè)集合m1,0,1，na，a2，則使mnn成立的a的值是()a1b0c1d1或1答案c解析若mnn，則nm.結(jié)合集合元素的互異性得所以a1.故選c.820xx·衡水中學(xué)期中若集合ax|13x81，bx|log2(x2x)>1，則ab()a(2,4b2,4c(，0

24、)(0,4d(，1)0,4答案a解析因?yàn)閍x|13x81x|303x34x|0x4，bx|log2(x2x)>1x|x2x>2x|x<1或x>2，所以abx|0x4x|x<1或x>2x|2<x4(2,4920xx·武邑中學(xué)期中已知全集ur，集合mx|(x1)(x3)<0，nx|x|1，則陰影部分表示的集合是()a1,1)b(3,1c(，3)1，)d(3，1)答案d解析由題意可知，m(3,1)，n1,1，陰影部分表示的集合為m(un)(3，1)1020xx·衡水中學(xué)期末設(shè)全集u是實(shí)數(shù)集r，集合mx|x2>2x，nx|log2(x1)0，則(um)n為()ax|1<x<2bx|1x2cx|1<x2dx|1x<2答案c解析x2>2xx>2或x<0.mx|x>2或x<0，log2(x1)00<x11,1<x2，nx|1<x2，(um)nx|1<x2，故選c.1120xx·冀州中學(xué)猜題已知全集u0,1,2,3,4，a1,2,3，b2,4，則下圖中陰影部分表示的集合為()a0,2b0,1,3c1,3,4d