高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 課時(shí)規(guī)范練59　幾何概型

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5課時(shí)規(guī)范練59幾何概型一、選擇題1.一數(shù)學(xué)興趣小組利用幾何概型的相關(guān)知識(shí)做實(shí)驗(yàn)計(jì)算圓周率,他們向一個(gè)邊長(zhǎng)為1米的正方形區(qū)域均勻撒豆,測(cè)得正方形區(qū)域有豆5 120顆,正方形的內(nèi)切圓區(qū)域有豆4 009顆,則他們所測(cè)得的圓周率為(保留三位有效數(shù)字)()a.3.13b.3.14c.3.15d.3.16答案:a解析:根據(jù)幾何概型的定義有,得3.13.2.在長(zhǎng)為12 cm的線(xiàn)段ab上任取一點(diǎn)m,并以線(xiàn)段am為邊作正方形,則這個(gè)正方形的面積介于36 cm2與81 cm2之間的概率為()a.b.c.d.答案:a解析:面積為36 cm2時(shí),邊長(zhǎng)am=6 cm;面積為81 cm2

2、時(shí),邊長(zhǎng)am=9 cm.p=.3.在面積為s的abc的邊ab上任取一點(diǎn)p,則pbc的面積大于的概率是()a.b.c.d.答案:c解析:如圖,在ab邊上取點(diǎn)p',來(lái)源:使,則p只能在ap'上(不包括p'點(diǎn))運(yùn)動(dòng),則所求概率為.4.若在區(qū)間-5,5內(nèi)任取一個(gè)實(shí)數(shù)a,則使直線(xiàn)x+y+a=0與圓(x-1)2+(y+2)2=2有公共點(diǎn)的概率為()a.b.c.d.答案:b解析:若直線(xiàn)與圓有公共點(diǎn),則圓心到直線(xiàn)的距離d=,解得-1a3.又a-5,5,故所求概率為.5.如圖,在圓心角為直角的扇形oab中,分別以oa,ob為直徑作兩個(gè)半圓.在扇形oab內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自陰影部分的概

3、率是()a.b.c.1-d.答案:c來(lái)源:數(shù)理化網(wǎng)解析:設(shè)oa=ob=2r,連接ab,如圖所示,由對(duì)稱(chēng)性可得,陰影的面積就等于直角扇形拱形的面積,s陰影=(2r)2-×(2r)2=(-2)r2,s扇=r2,故所求的概率是=1-.6.一只蜜蜂在一個(gè)棱長(zhǎng)為3的正方體內(nèi)自由飛行,若蜜蜂在飛行過(guò)程中始終保持與正方體6個(gè)表面的距離均大于1,稱(chēng)其為“安全飛行”,則蜜蜂“安全飛行”的概率為()a.b.c.d.答案:c解析:由已知條件可知,蜜蜂只能在一個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體內(nèi)飛行,結(jié)合幾何概型可得蜜蜂“安全飛行”的概率為p=.二、填空題7.在區(qū)間-1,2上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則x0,1的概率為. 

4、;答案:解析:-1,2的區(qū)間長(zhǎng)度為3,0,1的區(qū)間長(zhǎng)度為1,根據(jù)幾何概型知所求概率為.8.在區(qū)域m=內(nèi)隨機(jī)撒一把黃豆,落在區(qū)域n=內(nèi)的概率是. 答案:解析:畫(huà)出區(qū)域m,n,如圖,區(qū)域m為矩形oabc,區(qū)域n為圖中陰影部分.s陰影=×4×2=4,故所求概率p=.9.點(diǎn)a為周長(zhǎng)等于3的圓周上的一個(gè)定點(diǎn),若在該圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)b,則劣弧的長(zhǎng)度小于1的概率為. 來(lái)源:數(shù)理化網(wǎng)來(lái)源:數(shù)理化網(wǎng)答案:解析:圓周上使弧的長(zhǎng)度為1的點(diǎn)m有兩個(gè),設(shè)為m1,m2,則過(guò)a的圓弧的長(zhǎng)度為2,b點(diǎn)落在優(yōu)弧上就能使劣弧的長(zhǎng)度小于1,所以劣弧的長(zhǎng)度小于1的概率為.10.在abc中,b=

5、60°,c=45°,adbc,ad=,自點(diǎn)a在bac內(nèi)任作一條射線(xiàn)am交bc于點(diǎn)m,則“bm<1”的概率是. 答案:解析:當(dāng)bm=1時(shí),點(diǎn)m與點(diǎn)d重合,即“事件bm<1”要發(fā)生,則射線(xiàn)am所在區(qū)域?yàn)閎ad內(nèi)部任一位置,易得bac=75°,bad=30°,故所求概率為p=.11.在區(qū)間-,內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)分別記為a,b,則使得函數(shù)f(x)=x2+2ax-b2+有零點(diǎn)的概率為. 解:a,b使得函數(shù)f(x)=x2+2ax-b2+有零點(diǎn),0.a2+b2,試驗(yàn)發(fā)生時(shí)包含的所有事件是=(a,b)|-a,-b.s=(2)2=42,而滿(mǎn)足條

6、件的事件是(a,b)|a2+b2,s=42-2=32,由幾何概型公式得到p=.三、解答題12.在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,求cos x的值介于0到之間的概率.解:如圖,在上任取x,0<cos x<的x的取值范圍是x.記“cos x的值介于0到之間”為事件a,則p(a)=.13.甲打靶射擊,有4發(fā)子彈,其中有一發(fā)是空彈.(1)求空彈出現(xiàn)在第一槍的概率;(2)求空彈出現(xiàn)在前三槍的概率;(3)如果把空彈換成實(shí)彈,甲前三槍在靶上留下三個(gè)分別相距3,4,5的彈孔p,q,r,第四槍瞄準(zhǔn)了三角形pqr射擊,第四個(gè)彈孔落在三角形pqr內(nèi),求第四個(gè)彈孔與前三個(gè)彈孔的距離都超過(guò)1的概率(忽略彈孔大小).來(lái)

7、源:解:設(shè)四發(fā)子彈編號(hào)為0(空彈),1,2,3,(1)設(shè)第一槍出現(xiàn)“空彈”的事件為a,第一槍有4個(gè)基本事件,則p(a)=.(2)法一:前三槍出現(xiàn)“空彈”的事件為b,則第四槍出現(xiàn)“空彈”的事件為,那么p()=p(a),p(b)=1-p()=1-p(a)=1-.法二:前三槍共有4個(gè)基本事件0,1,2,0,1,3,0,2,3,1,2,3,滿(mǎn)足條件的有三個(gè),則p(b)=.(3)rtpqr的面積為6,分別以p,q,r為圓心、1為半徑的三個(gè)扇形的面積和為,設(shè)第四個(gè)彈孔與前三個(gè)彈孔的距離都超過(guò)1的事件為c,p(c)=1-.14.已知函數(shù)f(x)=ax+b,x-1,1,a,br,且是常數(shù).(1)若a是從-2,

8、-1,0,1,2五個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù),b是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù),求函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù)的概率;(2)若a是從區(qū)間-2,2中任取的一個(gè)數(shù),b是從區(qū)間0,2中任取的一個(gè)數(shù),求函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)的概率.解:(1)函數(shù)f(x)=ax+b,x-1,1為奇函數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)x-1,1,f(-x)=-f(x),即b=0,基本事件共15個(gè):(-2,0),(-2,1),(-2,2),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),其中第一個(gè)數(shù)表示a的取值,第二個(gè)數(shù)表示b的取值.設(shè)事件a為“函數(shù)f

9、(x)=ax+b,x-1,1為奇函數(shù)”,包含的基本事件有5個(gè):(-2,0),(-1,0),(0,0),(1,0),(2,0),事件a發(fā)生的概率為p(a)=.(2)設(shè)事件b為“函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)”,試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?a,b)|-2a2,0b2,區(qū)域面積為4×2=8.構(gòu)成事件b的區(qū)域?yàn)?a,b)|a=b=0(a,b)|-2a2,0b2,a0且(a+b)(b-a)<0,即(a,b)|a=b=0(a,b)|-2a2,0b2,a0且-1<<1,區(qū)域面積為×4×2=4,事件b發(fā)生的概率為p(b)=.15.一只螞蟻在邊長(zhǎng)分別為5,6,的三角形區(qū)

10、域內(nèi)隨機(jī)爬行,試求其恰在離三個(gè)頂點(diǎn)距離都大于1的地方的概率.解:由題意,畫(huà)出示意圖(如圖所示).在abc中,由余弦定理,得cos b=.于是sin b=.所以sabc=×5×6×=9.又圖中陰影部分的面積為abc的面積減去半徑為1的半圓的面積,即為s陰影=9-,所以螞蟻恰在離三個(gè)頂點(diǎn)距離都大于1的地方的概率為p=1-.四、選做題1.如圖,三行三列的方陣中有九個(gè)數(shù)aij(i=1,2,3;j=1,2,3),從中任取三個(gè)數(shù),則至少有兩個(gè)數(shù)位于同行或同列的概率是()a.b.c.d.答案:d解析:從九個(gè)數(shù)中任取三個(gè)數(shù)的不同取法共有=84(種),因?yàn)槿〕龅娜齻€(gè)數(shù)分別位于不同的

11、行與列的取法共有··=6,所以至少有兩個(gè)數(shù)位于同行或同列的概率為1-.2.在長(zhǎng)度為3的線(xiàn)段上隨機(jī)分成兩段,則其中一段的長(zhǎng)度大于2的概率為. 答案:解析:在長(zhǎng)度為3的線(xiàn)段上隨機(jī)分成兩段,所以設(shè)其中一段長(zhǎng)度為x,則0<x<3;而其中一段的長(zhǎng)度大于2,則所以,解得2<x<3或0<x<1,所以概率為p=.3.已知關(guān)于x的二次函數(shù)f(x)=ax2-4bx+1.(1)設(shè)集合p=1,2,3和q=-1,1,2,3,4,分別從集合p和q中隨機(jī)取一數(shù)作為a和b,求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間1,+)上是增函數(shù)的概率;(2)設(shè)點(diǎn)(a,b)是區(qū)域內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn),求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間1,+)上是增函數(shù)的概率.解:(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ax2-4bx+1的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x=,要使f(x)=ax2-4bx+1在區(qū)間1,+)上為增函數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)a>0且1,即2