高考數學理課時跟蹤檢測【50】空間向量的應用含答案

1、高考數學精品復習資料 2019.5課時跟蹤檢測(五十)空間向量的應用(分、卷，共2頁)第卷：夯基保分卷1(20xx·石家莊模擬)如圖，已知三棱柱abc ­a1b1c1，側面bcc1b1底面abc.(1)若m，n分別是ab，a1c的中點，求證：mn平面bcc1b1；(2)若三棱柱abc ­a1b1c1的各棱長均為2，側棱bb1與底面abc所成的角為60°，問在線段a1c1上是否存在一點p，使得平面b1cp平面acc1a1？若存在，求c1p與pa1的比值，若不存在，說明理由2(20xx·浙江聯考)如圖，ab為圓o的直徑，點e，f在圓o上，abef，

2、矩形abcd所在的平面與圓o所在的平面互相垂直已知ab2，ef1.(1)求證：平面daf平面cbf；(2)求直線ab與平面cbf所成角的大小；(3)當ad的長為何值時，平面dfc與平面fcb所成的銳二面角的大小為60°？3(20xx·福州質檢)如圖，矩形abcd和梯形befc所在平面互相垂直，becf，bccf，ad，ef2，be3，cf4.(1)求證：ef平面dce；(2)當ab的長為何值時，二面角a­ef­c的大小為60°.第卷：提能增分卷1(20xx·荊州模擬)如圖所示，在矩形abcd中，ab3，ad6，bd是對角線，過點a作a

3、ebd，垂足為o，交cd于e，以ae為折痕將ade向上折起，使點d到點p的位置，且pb.(1)求證：po平面abce；(2)求二面角e­ap­b的余弦值2(20xx·武漢模擬)如圖，在四棱錐s ­abcd中，底面abcd是直角梯形，側棱sa底面abcd，ab垂直于ad和bc，saabbc2，ad1.m是棱sb的中點(1)求證：am平面scd；(2)求平面scd與平面sab所成二面角的余弦值；(3)設點n是直線cd上的動點，mn與平面sab所成的角為，求sin 的最大值3(20xx·北京西城二模)如圖，直角梯形abcd與等腰直角三角形abe所在的

4、平面互相垂直abcd，abbc，ab2cd2bc，eaeb.(1)求證：abde；(2)求直線ec與平面abe所成角的正弦值；(3)線段ea上是否存在點f，使ec平面fbd？若存在，求出；若不存在，請說明理由答 案第卷：夯基保分卷1解：(1)證明：連接ac1，bc1，則ac1a1cn，annc1，因為ammb，所以mnbc1.又bc1平面bcc1b1，所以mn平面bcc1b1.(2)作b1obc于o點，連接ao，因為平面bcc1b1底面abc，所以b1o平面abc，以o為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則a(0，0)，b(1，0,0)，c(1,0,0)，b1(0,0，)由，可求出a1(1，

5、)，c1(2,0，)，設點p(x，y，z)，.則p，(1,0，)設平面b1cp的法向量為n1(x1，y1，z1)，由，令z11，解得n1.同理可求出平面acc1a1的法向量n2(，1，1)由平面b1cp平面acc1a1，得n1·n20，即310，解得3，所以a1c13a1p，從而c1ppa12.2解：(1)證明：平面abcd平面abef，cbab，平面abcd平面abefab，cb平面abef，af平面abef，afcb，又ab為圓o的直徑，afbf，又bfcbb，af平面cbf.af平面adf，平面daf平面cbf.(2)由(1)知af平面cbf，fb為ab在平面cbf內的射影，因

6、此，abf為直線ab與平面cbf所成的角abef，四邊形abef為等腰梯形，過點f作fhab，交ab于h.已知ab2，ef1，則ah.在rtafb中，根據射影定理得af2ah·ab，af1，sinabf，abf30°.直線ab與平面cbf所成角的大小為30°.(3)設ef中點為g，以o為坐標原點，方向分別為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標系(如圖)設adt(t0)，則點d的坐標為(1,0，t)，c(1,0，t)，又a(1,0,0)，b(1,0,0)，f，(2,0,0)，設平面dcf的法向量為n1(x，y，z)，則n1·0，n1·0.即，令

7、z，解得x0，y2t，n1(0,2t，)由(1)可知af平面cfb，取平面cbf的一個法向量為n2，依題意，n1與n2的夾角為60°.cos 60°，即，解得t.因此，當ad的長為時，平面dfc與平面fcb所成的銳二面角的大小為60°.3解：(1)證明：在bce中，bcbe，bcad，be3，ec2，在fce中，cf2ef2ce2，efce.由已知條件知，dc平面efcb，dcef，又dc與ec相交于c，ef平面dce.(2)如圖，以點c為坐標原點，以cb，cf和cd分別作為x軸，y軸和z軸，建立空間直角坐標系c ­xyz.設aba(a>0)，則c

8、(0,0,0)，a(，0，a)，b(，0,0)，e(，3,0)，f(0,4,0)，從而(，1,0)，(0,3，a)設平面aef的法向量為n(x，y，z)，由·n0，·n0，得取x1，則y，z，即n.不妨設平面efcb的法向量為(0,0，a)，由條件得|cosn，|，解得a.所以當ab時，二面角aefc的大小為60°.第卷：提能增分卷1解：(1)證明：由已知得ab3，ad6，bd9.在矩形abcd中，aebd，rtaodrtbad，do4，bo5.在pob中，pb，po4，bo5，po2bo2pb2，poob.又poae，aeobo，po平面abce.(2)bo5，

9、ao2.以o為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則p(0,0,4)，a(2，0,0)，b(0,5,0)(2，0，4)，(0,5，4)，設n1(x，y，z)為平面apb的法向量則即取x2得n1(2，4,5)，又n2(0,1,0)為平面aep的一個法向量，cosn1，n2，故二面角e­ap­b的余弦值為.2解：(1)證明：以點a為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則a(0,0,0)，b(0,2,0)，c(2,2,0)，d(1,0,0)，s(0,0,2)，m(0,1,1)則(0,1,1)，(1,0，2)，(1，2,0)設平面scd的法向量是n(x，y，z)，則即令z1，則x2，

10、y1，于是n(2，1,1)·n0，n.又am平面scd，am平面scd.(2)易知平面sab的一個法向量為n1(1,0,0)設平面scd與平面sab所成的二面角為，則|cos |，即cos .平面scd與平面sab所成二面角的余弦值為.(3)設n(x,2x2,0)(x1,2)，則(x,2x3，1)又平面sab的一個法向量為n1(1,0,0)，sin .當，即x時，(sin )max.3.解：(1)證明：取ab的中點o，連接eo，do.因為ebea，所以eoab.因為四邊形abcd為直角梯形ab2cd2bc，abbc，所以四邊形obcd為正方形，所以abod.因為eodo0.所以ab平面eod，所以abed.(2)因為平面abe平面abcd，且eoab，所以eo平面abcd，所以eood.由ob，od，oe兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系oxyz.因為三角形eab為等腰直角三角形，所以oaobodoe，設ob1，所以o(0,0,0)，a(1,0,0)，b(1,0,0)，c(1,1,0)，d(0,1,0)，e(0,0,1)所以(1,1，1)，平面abe的一個法向量為(0,1,0)設直線ec與平面abe所成的角為，所以sin