高考第一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)：2.4 函數(shù)的奇偶性

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.52.4 函數(shù)的奇偶性知識(shí)梳理1.奇函數(shù)：對(duì)于函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（x）=f（x）或f（x）+ f（x）=0，則稱(chēng)f（x）為奇函數(shù).2.偶函數(shù)：對(duì)于函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（x）=f（x）或f（x）f（x）=0，則稱(chēng)f（x）為偶函數(shù).3.奇、偶函數(shù)的性質(zhì)（1）具有奇偶性的函數(shù)，其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)（也就是說(shuō)，函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)）.（2）奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).（3）若奇函數(shù)的定義域包含數(shù)0，則f（0）=0.（4）奇函數(shù)的反函數(shù)也為奇函數(shù).（5）定義在（，+）上的任意

2、函數(shù)f（x）都可以唯一表示成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之和.點(diǎn)擊雙基1.下面四個(gè)結(jié)論中，正確命題的個(gè)數(shù)是偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交 奇函數(shù)的圖象一定通過(guò)原點(diǎn) 偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng) 既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f（x）=0（xr）a.1 b.2 c.3 d.4解析：不對(duì)；不對(duì)，因?yàn)槠婧瘮?shù)的定義域可能不包含原點(diǎn)；正確；不對(duì)，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)可以為f（x）=0x（a，a）.答案：a2.已知函數(shù)f（x）=ax2bxc（a0）是偶函數(shù)，那么g（x）=ax3bx2cx是a.奇函數(shù) b.偶函數(shù)c.既奇且偶函數(shù)d.非奇非偶函數(shù)解析：由f（x）為偶函數(shù)，知b=0，有g(shù)（x）=ax3cx（a0）為

3、奇函數(shù).答案：a3.若偶函數(shù)f（x）在區(qū)間1，0上是減函數(shù)，、是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，且，則下列不等式中正確的是a.f（cos）f（cos）b.f（sin）f（cos）c.f（sin）f（sin）d.f（cos）f（sin）解析：偶函數(shù)f（x）在區(qū)間1，0上是減函數(shù)，f（x）在區(qū)間0，1上為增函數(shù).由、是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，+90°，90°.1sincos0.f（sin）f（cos）.答案：b4.已知f（x）ax2bx3ab是偶函數(shù)，且其定義域?yàn)閍1，2a，則a_，b_.解析：定義域應(yīng)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故有a12a，得a.又對(duì)于所給解析式，要使f（x）f（x）恒成立，應(yīng)b0.

4、答案： 05.給定函數(shù):y=（x0）；y=x2+1；y=2x；y=log2x；y=log2（x+）.在這五個(gè)函數(shù)中，奇函數(shù)是_，偶函數(shù)是_，非奇非偶函數(shù)是_.答案： 典例剖析【例1】 已知函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，y=f（x2）在0，2上是單調(diào)減函數(shù)，則a.f（0）f（1）f（2）b.f（1）f（0）f（2）c.f（1）f（2）f（0）d.f（2）f（1）f（0）剖析：由f（x2）在0，2上單調(diào)遞減，f（x）在2，0上單調(diào)遞減.y=f（x）是偶函數(shù)，f（x）在0，2上單調(diào)遞增.又f（1）=f（1），故應(yīng)選a.答案：a【例2】 判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）f（x）=|x+1|x1|；（2）f（x

5、）=（x1）·；（3）f（x）=；（4）f（x）=剖析：根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷.解：（1）函數(shù)的定義域x（，+），對(duì)稱(chēng)于原點(diǎn).f（x）=|x+1|x1|=|x1|x+1|=（|x+1|x1|）=f（x），f（x）=|x+1|x1|是奇函數(shù).（2）先確定函數(shù)的定義域.由0，得1x1，其定義域不對(duì)稱(chēng)于原點(diǎn)，所以f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).（3）去掉絕對(duì)值符號(hào)，根據(jù)定義判斷.由得故f（x）的定義域?yàn)?，0）（0，1，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且有x+20.從而有f（x）= =，這時(shí)有f（x）=f（x），故f（x）為奇函數(shù).（4）函數(shù)f（x）的定義域是（，0）（0，+），并且當(dāng)x0時(shí)，x0，

6、f（x）=（x）1（x）=x（1+x）=f（x）（x0）.當(dāng)x0時(shí)，x0，f（x）=x（1x）=f（x）（x0）.故函數(shù)f（x）為奇函數(shù).評(píng)述：（1）分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分段證明.（2）判斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)先求定義域再化簡(jiǎn)函數(shù)解析式.【例3】 （2005年北京東城區(qū)模擬題）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閐=x|x0，且滿(mǎn)足對(duì)于任意x1、x2d，有f（x1·x2）=f（x1）+f（x2）.（1）求f（1）的值；（2）判斷f（x）的奇偶性并證明；（3）如果f（4）=1，f（3x+1）+f（2x6）3，且f（x）在（0，+）上是增函數(shù)，求x的取值范圍.（1）解：令x1=x2=1，有f（1×1

7、）=f（1）+f（1），解得f（1）=0.（2）證明：令x1=x2=1，有f（1）×（1）=f（1）+f（1）.解得f（1）=0.令x1=1，x2=x，有f（x）=f（1）+f（x），f（x）=f（x）.f（x）為偶函數(shù).（3）解：f（4×4）=f（4）+f（4）=2，f（16×4）=f（16）+f（4）=3.f（3x+1）+f（2x6）3即f（3x+1）（2x6）f（64）.（*）f（x）在（0，+）上是增函數(shù)，（*）等價(jià)于不等式組或或或3x5或x或x3.x的取值范圍為x|x或x3或3x5.評(píng)述：解答本題易出現(xiàn)如下思維障礙：（1）無(wú)從下手，不知如何脫掉“f”.解

8、決辦法:利用函數(shù)的單調(diào)性.（2）無(wú)法得到另一個(gè)不等式.解決辦法：關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)區(qū)間上，奇函數(shù)的單調(diào)性相同，偶函數(shù)的單調(diào)性相反.深化拓展已知f（x）、g（x）都是奇函數(shù)，f（x）0的解集是（a2，b），g（x）0的解集是（，），a2，那么f（x）·g（x）0的解集是a.（，）b.（b，a2）c.（a2，）（，a2）d.（，b）（b2，a2）提示：f（x）·g（x）0或x（a2，）（，a2）.答案：c【例4】 （2004年天津模擬題）已知函數(shù)f（x）=x+m（p0）是奇函數(shù).（1）求m的值.（2）（理）當(dāng)x1，2時(shí)，求f（x）的最大值和最小值.（文）若p1，當(dāng)x1，2時(shí)，求

9、f（x）的最大值和最小值.解：（1）f（x）是奇函數(shù)，f（x）=f（x）.x+m=xm.2m=0.m=0.（2）（理）（）當(dāng)p0時(shí)，據(jù)定義可證明f（x）在1，2上為增函數(shù).f（x）max=f（2）=2+，f（x）min=f（1）=1+p.（）當(dāng)p0時(shí)，據(jù)定義可證明f（x）在（0，上是減函數(shù)，在，+）上是增函數(shù).當(dāng)1，即0p1時(shí)，f（x）在1，2上為增函數(shù)，f（x）max=f（2）=2+，f（x）min=f（1）=1+p.當(dāng)1，2時(shí)，f（x）在1，p上是減函數(shù).在p，2上是增函數(shù).f（x）min=f（）=2.f（x）max=maxf（1），f（2）=max1+p，2+.當(dāng)1p2時(shí)，1+p2+，f

10、（x）max=f（2）；當(dāng)2p4時(shí)，1+p2+，f（x）max=f（1）.當(dāng)2，即p4時(shí)，f（x）在1，2上為減函數(shù)，f（x）max=f（1）=1+p，f（x）min=f（2）=2+.（文）解答略.評(píng)述：f（x）=x+（p0）的單調(diào)性是一重要問(wèn)題，利用單調(diào)性求最值是重要方法.深化拓展f（x）=x+的單調(diào)性也可根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)來(lái)判斷，本題如何用導(dǎo)數(shù)來(lái)解？闖關(guān)訓(xùn)練夯實(shí)基礎(chǔ)1.定義在區(qū)間（，+）上的奇函數(shù)f（x）為增函數(shù)，偶函數(shù)g（x）在區(qū)間0，+）上的圖象與f（x）的圖象重合，設(shè)ab0，給出下列不等式，其中成立的是f（b）f（a）g（a）g（b）f（b）f（a）g（a）g（b）f（a）f（b）g（

11、b）g（a）f（a）f（b）g（b）g（a）a. b. c. d.解析：不妨取符合題意的函數(shù)f（x）=x及g（x）=|x|進(jìn)行比較，或一般地g（x）= f（0）=0，f（a）f（b）0.答案：d2.（2003年北京海淀區(qū)二模題）函數(shù)f（x）是定義域?yàn)閞的偶函數(shù)，又是以2為周期的周期函數(shù).若f（x）在1，0上是減函數(shù)，那么f（x）在2，3上是a.增函數(shù)b.減函數(shù)c.先增后減的函數(shù)d.先減后增的函數(shù)解析：偶函數(shù)f（x）在1，0上是減函數(shù)，f（x）在0，1上是增函數(shù).由周期為2知該函數(shù)在2，3上為增函數(shù).答案：a3.已知f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x（0，1）時(shí)，f（x）=lg，那么當(dāng)x（1，0）時(shí)，f（x

12、）的表達(dá)式是_.解析：當(dāng)x（1，0）時(shí)，x（0，1），f（x）=f（x）=lg=lg（1x）.答案：lg（1x）4.（2003年北京）函數(shù)f（x）=lg（1+x2），g（x）=h（x）=tan2x中，_是偶函數(shù).解析：f（x）=lg1+（x）2=lg（1+x2）=f（x），f（x）為偶函數(shù).又1°當(dāng)1x1時(shí)，1x1，g（x）=0.又g（x）=0，g（x）=g（x）.2°當(dāng)x1時(shí)，x1，g（x）=（x）+2=x+2.又g（x）=x+2，g（x）=g（x）.3°當(dāng)x1時(shí)， x1，g（x）=（x）+2=x+2.又g（x）=x+2，g（x）=g（x）.綜上，對(duì)任意xr都有

13、g（x）=g（x）.g（x）為偶函數(shù).h（x）=tan（2x）=tan2x=h（x），h（x）為奇函數(shù).答案：f（x）、g（x）5.若f（x）=為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值.解：xr，要使f（x）為奇函數(shù)，必須且只需f（x）+f（x）=0，即a+a=0，得a=1.6.（理）定義在2，2上的偶函數(shù)g（x），當(dāng)x0時(shí)，g（x）單調(diào)遞減，若g（1m）g（m），求m的取值范圍.解：由g（1m）g（m）及g（x）為偶函數(shù)，可得g（|1m|）g（|m|）.又g（x）在（0，+）上單調(diào)遞減，|1m|m|，且|1m|2，|m|2，解得1m.說(shuō)明：也可以作出g（x）的示意圖，結(jié)合圖形進(jìn)行分析.（文）（2005年北京西

14、城區(qū)模擬題）定義在r上的奇函數(shù)f（x）在（0，+）上是增函數(shù)，又f（3）=0，則不等式xf（x）0的解集為a.（3，0）（0，3）b.（，3）（3，+）c.（3，0）（3，+）d.（，3）（0，3）解析：由奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系結(jié)合圖象來(lái)解.答案：a培養(yǎng)能力7.已知f（x）x（）.（1）判斷f（x）的奇偶性；（2）證明f（x）0.（1）解：f（x）x·，其定義域?yàn)閤0的實(shí)數(shù).又f（x）x·x·x·f（x），f（x）為偶函數(shù).（2）證明：由解析式易見(jiàn)，當(dāng)x0時(shí)，有f（x）0.又f（x）是偶函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)x0，當(dāng)x0時(shí)f（x）f（x）0，即對(duì)于x0的任何實(shí)數(shù)

15、x，均有f（x）0.探究創(chuàng)新8.設(shè)f（x）=log（）為奇函數(shù)，a為常數(shù)，（1）求a的值；（2）證明f（x）在（1，+）內(nèi)單調(diào)遞增；（3）若對(duì)于3，4上的每一個(gè)x的值，不等式f（x）（）x+m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.（1）解：f（x）是奇函數(shù)，f（x）=f（x）.log=log=01a2x2=1x2a=±1.檢驗(yàn)a=1（舍），a=1.（2）證明：任取x1x21，x11x210.001+1+0loglog，即f（x1）f（x2）.f（x）在（1，+）內(nèi)單調(diào)遞增.（3）解：f（x）（）xm恒成立.令g（x）=f（x）（）x.只需g（x）minm，用定義可以證g（x）在3，4上是增函數(shù)

16、，g（x）min=g（3）=.m時(shí)原式恒成立.思悟小結(jié)1.函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，即自變量x在整個(gè)定義域內(nèi)任意取值.2.有時(shí)可直接根據(jù)圖象的對(duì)稱(chēng)性來(lái)判斷函數(shù)的奇偶性.教師下載中心教學(xué)點(diǎn)睛1.函數(shù)的奇偶性經(jīng)常與函數(shù)的其他性質(zhì)，如單調(diào)性、周期性、對(duì)稱(chēng)性結(jié)合起來(lái)考查.因此，在復(fù)習(xí)過(guò)程中應(yīng)加強(qiáng)知識(shí)橫向間的聯(lián)系.2.數(shù)形結(jié)合，以形助數(shù)是解決本節(jié)問(wèn)題常用的思想方法.3.在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)強(qiáng)調(diào)函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，而單調(diào)性是其局部性質(zhì).拓展題例【例1】 已知函數(shù)f（x）=（a、b、cz）是奇函數(shù)，又f（1）=2，f（2）3，求a、b、c的值.解：由f（x）=f（x），得bx+c=（bx+c）.c=

17、0.由f（1）=2，得a+1=2b.由f（2）3，得3，解得1a2.又az，a=0或a=1.若a=0，則b=，與bz矛盾.a=1，b=1，c=0.【例2】 已知函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)閞，對(duì)任意x、xr均有f（x+x）=f（x）+f（x），且對(duì)任意x0，都有f（x）0，f（3）=3.（1）試證明：函數(shù)y=f（x）是r上的單調(diào)減函數(shù)；（2）試證明：函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)；（3）試求函數(shù)y=f（x）在m，n（m、nz，且mn0）上的值域.分析：（1）可根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行論證，考慮證明過(guò)程中如何利用題設(shè)條件.（2）可根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行證明，應(yīng)由條件先得到f（0）=0后，再利用條件f（

18、x1+x2）=f（x1）+f（x2）中x1、x2的任意性，可使結(jié)論得證.（3）由（1）的結(jié)論可知f（m）、f（n）分別是函數(shù)y=f（x）在m、n上的最大值與最小值，故求出f（m）與f（n）就可得所求值域.（1）證明：任取x1、x2r，且x1x2，f（x2）=fx1+（x2x1），于是由題設(shè)條件f（x+x）=f（x）+f（x）可知f（x2）=f（x1）+f（x2x1）.x2x1，x2x10.f（x2x1）0.f（x2）=f（x1）+f（x2x1）f（x1）.故函數(shù)y=f（x）是單調(diào)減函數(shù).（2）證明：對(duì)任意x、xr均有f（x+x）=f（x）+f（x），若令x=x=0，則f（0）=f（0）+f（0）.f（0）=0.再令x=x，則可得f（0）=f（x）+f（x）.f（0）=0，f（x）=f（x）.故y=f（x）是奇函數(shù).（3）解：由函數(shù)y=f（x）是r上的單調(diào)減函數(shù)，y=f（x）在m，n上也為單調(diào)減函數(shù).y=f（x）在m，n