122組合（一）教學設(shè)計

1、選修2-3 §1.2.2組合(一)一、教學任務(wù)(1) 使學生正確理解組合的意義，正確區(qū)分排列、組合問題；(2) 使學生掌握組合數(shù)的計算公式，并能運用它解決一些簡單的應(yīng)用問題；(3) 通過學習組合知識，讓學生掌握類比的學習方法，并提高學生分析問題和解決問題的 能力。二、教學重點和難點(1) 重點：組合的定義、組合數(shù)及組合數(shù)的公式；(2) 難點：組合數(shù)公式的推導過程。三、教學情境設(shè)計(一) 問題情境問題1:從甲、乙、丙3名同學中選出2名去參加一項活動，其中1名同學參加上午的活動，1名同學參加下午的活動，有多少種不同的選法？答：種。變式1:從甲、乙、丙3名同學中選出2名去參加一項活動，有多

2、少種不同的選法？ 答：甲、乙；甲、丙；乙、丙，共3利l問題2:甌海中學高二(7)班54位同學中選出7位同學擔任不同的職務(wù)，問共有多少 種不同的選法？答：出4種。變式2:甌海中學高二(7)班54位同學中選7位同學組成班委，問共有多少種不同的選法?(設(shè)疑，探求新知)舍去具體背景，我們可以概況為：問題1:從3個不同元素中取出2個元素，按照一定的順序排成一列，一共有多少個不 同的排列方法？問題2:從54個不同元素中取出7個元素，按照一定的順序排成一列，一共有多少個 不同的排列方法？變式1:從3個不同元素中取出2個元素合成一組，一共有多少個不同的組？變式2:從54個不同元素中取出7個元素合成一組，一共有

3、多少個不同的組？問題1、2不但要求選出還要按照一定的順序“排列”，變式1、2只要求選出，與順序 無關(guān)。問題1、2抽象概括：一般地，從n個不同元素中取出m (mwn)個元素，按照一定的順序排成一列，一共有 多少個不同的排列方法？回顧復習排列的概念：一般地，從n個不同元素中取出m (mwn)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從 n個不同元素中取出m個元素的一個排列(arrangement).變式1、2抽象概括(學生回答):一般地，從n個不同元素中取出m （mwn）個元素合成一組，一共有多少個不同的組？ 引出課題：組合 （二）組合的概念生成（1）組合的概念一般地，從個不同元素中取出m （mwri）

4、個元素合成一組，叫做從”個不同元素中 取出0個元素的一個組合（combination）.類比辨析：排列與組合的概念有什么共同點與不同點？共同點：都要“從個不同元素中任取/個元素”不同點：排列與元素的順序有關(guān)，而組合則與元素的順序無關(guān).老師先舉例說明生活中的組合問題和排列問題，再啟發(fā)學生舉例，最后請二位學生回答, 師生辨析。教師參考選用： 6位同學每兩人之間發(fā)手機短信一條相互問候，求共發(fā)了多少條短信？（排列 問題） 6位同學聚會，每兩人之間握手相互問候，問共握手多少次？（組合問題） 平面內(nèi)有10個點，以其中每2個點為端點的線段共有多少條？（組合問題） 平面內(nèi)有10個點，以其中每2個點為端點的有向

5、線段共有多少條？（排列問題） 圓上有10點，過每3點畫一個圓內(nèi)接三角形,一共可以畫多少個圓內(nèi)接三角形？ （組合問題）歸納提升： 要解決的問題是排列問題還是組合問題，關(guān)鍵是看是否與順序有關(guān).排列與元素的 順序有關(guān)，而組合則與元素的順序無關(guān). 組合是選擇的結(jié)果，排列是選擇后再排序的結(jié)果.練一練：1. 甲、乙、丙、丁 4個足球隊舉行單循環(huán)賽；（1）列出所有各場比賽的雙方；（2）列出所有冠亞軍的可能情況。2. 已知平面內(nèi)a、b、c、d這四個點中任何3個點都不在一條直線上，寫出由其中3 點為頂點的所有三角形。（2）組合數(shù)概念類比排列問題，我們引入如下概念：從刀個不同元素中取出/（朋個元素的所有組合的個數(shù)

6、，叫做從個不同元素中取 出/個元素的組合數(shù)，用符號c?表示.問題再現(xiàn)：1. 從甲、乙、丙3名同學中選出2名去參加一項活動，其中1名同學參加上午的活動，1名同學參加下午的活動，有多少種不同的選法？答：a；=6。2. 從甲、乙、丙3名同學中選出2名去參加一項活動，有多少種不同的選法？答：=3種。3. 已知平面內(nèi)a、b、c、d這四個點中任何3個點都不在一條直線上，求由其中3 點為頂點的所有三角形的個數(shù)？ cl =4種。4. 甌海中學高二（7）班54位同學中選7位同學組成班委，問共有多少種不同的 選法？答：cl。如何求c呢？從簡單的開始，如c；=2, c；=l, c：=3,首先探究c"（三）

7、組合數(shù)公式的推導引出背景：求從集合修，b, c,團中取出3個元素組成三元子集, 共有多少不同的子集？（1）借助樹形圖用列舉法得出答案；組合排列abc->abc,bac,cab,acb,bca,cbaabdtabd,bad.dab,adb,bda,dbaacdtacd,cad,due.adc.eda,dcabedtbed.cbd,dbc,bdc.edb.debbed共4個。所有的組合為abc, abd, acd,2.不寫出所有組合，怎樣才能知道組合的種數(shù)?板書：思考：1 .你發(fā)現(xiàn)了什么？以“元素相同”為標準，可以把這24個排列分成有6個不同排列的4個組。上述等式有什么實際意義呢？ “等式”

8、的兩邊是對同一問題作出的兩個等價解釋。 歸納小結(jié)：每一個組合都對應(yīng)著6個不同的排列；排列是先組合再排列。求從4個不同元素中取出3個元素的排列數(shù)a：,可以分如下兩步: 考慮從4個不同元素中取出3個元素的組合，共有個; 對每一個組合的3個不同元素進行全排列，各有a；種方法.由分步乘法計數(shù)原理得:妒a： = c： ,所以 c4 = |人3（2） 一般地，求從個不同元素中取出/個元素的排列數(shù)a：,可以分如下兩步: 先求從個不同元素中取出歷個元素的組合數(shù)c：； 求每一個組合中/個元素全排列數(shù)a；,根據(jù)分布乘法計數(shù)原理得：a；' = c： a；：； oml所以 = a：一 1）（一 2）（一2 +

9、 1）這里n , tv*,并且mwn。這個公式叫組合數(shù)的公式。(四) 組合數(shù)公式的初步應(yīng)用例1.甌海中學高二(7)班54位同學中選7位同學組成班委，問共有多少種不同的選法? 答：54x53x52x51x50x49x48 =1773056。ix2x3x4x5x6x7舉例：計算c3 = 9x8x7=3x4x7 = 84； c5 = 7x6x5x4x3 = 7x6 = 21o1x2x3ix2x3x4x5 1x2學生練習：計算(1) c； (2) c,；o當組合數(shù)較大時，可用計算器來計算。按54回7日鍵，得177100560；例2.己知= 求n.例3.解：由 = 得 (一一 2) =(_),因為 23, nen 所以 一2 = 6, = 8。 3x2x1(1) 凸五邊形有多少條對角線？(2) 凸n (n>3)邊形有多少條對角線？解:(1) c；-5 = 5； (2) 1 = 2-盤一3)。(預備)：圓上有10點：