第六章-機械振動

1、第六章第六章 機械振動機械振動 任一物理量在某一定值附近往復變化均稱為任一物理量在某一定值附近往復變化均稱為振動振動. . 機械振動機械振動 物體在某一中心位置附近來回往復的運物體在某一中心位置附近來回往復的運動動. . 簡諧運動簡諧運動 最簡單、最基本的振動最簡單、最基本的振動. .簡諧運動簡諧運動復雜振動復雜振動合成合成分解分解 簡諧振動：簡諧振動：物體運動時，離開平衡位置的位移物體運動時，離開平衡位置的位移( (或或角位移角位移) )按余弦按余弦( (或正弦或正弦) )規(guī)律隨時間變化。規(guī)律隨時間變化。6-1 簡諧振動簡諧振動1.彈簧振子彈簧振子彈簧振子：彈簧振子： 連接在一起的一個忽略了

2、質量的彈簧和一連接在一起的一個忽略了質量的彈簧和一個不發(fā)生形變的物體系統(tǒng)。個不發(fā)生形變的物體系統(tǒng)。簡諧振動的特征及其表達式簡諧振動的特征及其表達式XOFFXOXO回復力：回復力：作簡諧運作簡諧運動的質點所受的沿動的質點所受的沿位移方向的合外力位移方向的合外力, , 該力與位移成正比該力與位移成正比且反向。且反向。kxF 簡諧振動的動力學特征簡諧振動的動力學特征: : 據(jù)牛頓第二定律，得據(jù)牛頓第二定律，得令令運動學特征運動學特征kxF , xmkmFa mk 2xdtxda222 0222 xdtxd或或位移位移 之解可寫為：之解可寫為：x或或)i(0etAx 0 tAxcos 簡諧振動的運動學

3、特征簡諧振動的運動學特征: :物體的加速度與位移成正物體的加速度與位移成正 比而方向相反，比而方向相反，物體的位移按余弦規(guī)律變化。物體的位移按余弦規(guī)律變化。速度速度加速度加速度簡諧振動的特征及其表達式簡諧振動的特征及其表達式 0 tAdtdxvsin 0222 tAdtxdacos 0 tAxcost 簡諧振動中質點位移、速度、加速度與時間的關系簡諧振動中質點位移、速度、加速度與時間的關系: :42簡諧振動的特征及其表達式簡諧振動的特征及其表達式xtvta 0 tAxcos2cossin00tAtAv0202coscostAtAa 0 tAxcos 常量常量 和和 的確定的確定A0根據(jù)初始條件

4、：根據(jù)初始條件： 時，時， , , ，得得0 xx 0vv 0t00cosAx 00sinAv 22020vxA 000 xvarctan在在 到到 之間，通常之間，通常 存在兩個值，可根據(jù)存在兩個值，可根據(jù) 進行取舍。進行取舍。000sinAv 0sintAvcos0A2 0sin0Av2 0sin取取0, 0, 0vxt已知已知 求求討論討論xvo)2 cos(tAxAAxT2Tto00cosAx 00sinAv6.2 簡諧振動的振幅、周期和相位簡諧振動的振幅、周期和相位(1)(1)振幅振幅: : 物體離開平衡位置的最大位移的絕對值。物體離開平衡位置的最大位移的絕對值。由初始條件確定由初始

5、條件確定)cos(0tAx(2)(2)周期和頻率周期和頻率 周期：周期：物體作一次完全運動所經(jīng)歷的時間。物體作一次完全運動所經(jīng)歷的時間。頻率：頻率：單位時間內物體所作完全運動的次數(shù)。單位時間內物體所作完全運動的次數(shù)。21T22020vxA 2 T)(cos0tTA22T角頻率角頻率: : 物體在物體在 秒內所作的完全運動的次數(shù)。秒內所作的完全運動的次數(shù)。2對于彈簧振子，因有對于彈簧振子，因有 ，得，得: :mk,2kmTmk21利用上述關系式，得諧振動表達式：利用上述關系式，得諧振動表達式：02cosTtAx02costAx)cos(0tAx2 T21T(3)(3)相位和初相相位和初相 簡諧振

6、動的振幅、周期、頻率和相位簡諧振動的振幅、周期、頻率和相位)sin(0tAv)cos(02tAa)cos(0tAx1 1） 存在一一對應的關系存在一一對應的關系; ;),(vxt202 2）相位在相位在 內變化，質點內變化，質點無相同無相同的運動狀態(tài)；的運動狀態(tài)； ) (2nn相差相差 為整數(shù)為整數(shù) 質點運動狀態(tài)質點運動狀態(tài)全同全同. .（周期性）周期性）相位相位 ：決定簡諧運動狀態(tài)的物理量。：決定簡諧運動狀態(tài)的物理量。)(0t初相位初相位 ：t =0 時的相位。時的相位。描述質點初始時刻的運動狀態(tài)描述質點初始時刻的運動狀態(tài). . 0 以以 為為原點旋轉矢原點旋轉矢量量 的端點的端點在在 軸上

7、的軸上的投影點的運投影點的運動為簡諧運動為簡諧運動動. .xAoxoAcos0Ax 當當 時時0t0 xxoAtt t)cos(tAx時時6.3 簡諧振動的矢量表示法簡諧振動的矢量表示法 以以 為為原點旋轉矢原點旋轉矢量量 的端點的端點在在 軸上的軸上的投影點的運投影點的運動為簡諧運動為簡諧運動動. .xAoxoAtt t)cos(tAx時時 簡諧振動的矢量圖示法簡諧振動的矢量圖示法振動相位振動相位逆時針方向逆時針方向 M 點在點在 x 軸上投影軸上投影( (P點點) )的運動的運動規(guī)律規(guī)律： 的長度的長度A 旋轉的角速度旋轉的角速度A旋轉的方向旋轉的方向A與參考方向與參考方向x 的夾角的夾角

8、AXOM P xA0t振幅振幅A振動圓頻率振動圓頻率)cos(0 tAx 簡諧振動的矢量圖示法簡諧振動的矢量圖示法Amv)2 cos(tAv)cos(2tAa2mAa2 tmvvxy0At)cos(tAxnaa用旋轉矢量圖畫簡諧運動的用旋轉矢量圖畫簡諧運動的 圖圖tx討論討論 相位差：表示兩個相位之差相位差：表示兩個相位之差 . .用旋轉矢量方便的比較簡諧振動狀態(tài)。用旋轉矢量方便的比較簡諧振動狀態(tài)。AAx2AtoabxAA0 1 1）對對同一同一簡諧運動，相位差可以給出兩運動狀簡諧運動，相位差可以給出兩運動狀態(tài)間變化所需的時間。態(tài)間變化所需的時間。)()(12tt12tttat3 TTt612

9、3v2Abt二者的二者的相位差相位差為：為： 簡諧振動的振幅、周期、頻率和相位簡諧振動的振幅、周期、頻率和相位)cos(111tAx)cos(222tAx 12tt12 2 2）對于兩個對于兩個同同頻率頻率的簡諧運動，相位差表示它的簡諧運動，相位差表示它們間們間步調步調上的上的差異差異. .采用旋轉矢量直觀表示為：采用旋轉矢量直觀表示為：XO121A2A 簡諧振動的振幅、周期、頻率和相位簡諧振動的振幅、周期、頻率和相位討論討論: : (a) (a)當當 時時, ,稱兩個振動為同相；稱兩個振動為同相；k2XO1A2Axto0同步同步(b)(b)當當 時時, ,稱兩個振動為反相；稱兩個振動為反相；

10、) 12(kXO1A2Atxo反相反相(d)(d)當當 時時, ,稱第二個振動落后第一個振動稱第二個振動落后第一個振動 。0(c)(c)當當 時時, ,稱第二個振動超前第一個振動稱第二個振動超前第一個振動 ；0 簡諧振動的振幅、周期、頻率和相位簡諧振動的振幅、周期、頻率和相位xto為其它為其它超前超前落后落后XO121A2A 速度的相位比位移的相位超前速度的相位比位移的相位超前 ，加速度的相，加速度的相位比位移的相位超前位比位移的相位超前 。2 簡諧振動的振幅、周期、頻率和相位簡諧振動的振幅、周期、頻率和相位 相位可以用來比較不同物理量變化的步調，對相位可以用來比較不同物理量變化的步調，對于簡

11、諧振動的位移、速度和加速度，存在于簡諧振動的位移、速度和加速度，存在: :)cos(0 tAx 200 tvtvvmmcossin 00tataammcoscos例例6-1 6-1 一物體沿一物體沿X軸作簡諧振動軸作簡諧振動，振幅振幅A=0.12m, ,周期周期T=2s。當當t=0t=0時時, ,物體的位移物體的位移x= =0.06m, ,且向且向X軸正向運動軸正向運動。求求:(1):(1)簡諧振動簡諧振動表達式表達式；(2) (2) t = =T/4時物體的位置、速度和加速度時物體的位置、速度和加速度；(3)(3)物體從物體從 x =-0.06=-0.06m向向 X 軸負方向運動，軸負方向運

12、動，第一次回到平衡位置所需時間。第一次回到平衡位置所需時間。解解: (1): (1)取平衡位置為坐標原點取平衡位置為坐標原點, ,諧振動方程寫為：諧振動方程寫為：其中其中A=0.12m, T=2s, )(s21T初始條件：初始條件：t = 0, x0=0.06m,可得可得06. 0cos12. 0030據(jù)初始條件據(jù)初始條件 得得, 0sin00Av30 簡諧振動的矢量圖示法簡諧振動的矢量圖示法)cos( tAx)cos(.3120 tx m在在t =T/4=0.5s時時，從前面所列的表達式可得從前面所列的表達式可得 簡諧振動的矢量圖示法簡諧振動的矢量圖示法)sin(.3120 tdtdxv 1

13、 sm)cos(.31202 tdtdva 2 smmmx1040350120.).cos(. 11180350120 smsmv.).sin(.222031350120 smsma.).cos(.(2) t =T/4時物體的位置、速度和加速度；時物體的位置、速度和加速度；)cos(.3120 tx m當當x = -0.06m時時，該時刻設為該時刻設為t1 1, ,得得因該因該時刻速度為負時刻速度為負，應舍去，應舍去 ，設物體在設物體在t2 2時刻第一次回到平衡位置，相位是時刻第一次回到平衡位置，相位是因此從因此從x = -0.06m處第一次回到平衡位置的時間處第一次回到平衡位置的時間：另解另

14、解：從從t1 1時刻到時刻到t2 2時刻所對應的相差為時刻所對應的相差為： 簡諧振動的矢量圖示法簡諧振動的矢量圖示法2131 )cos(t343231, t34st11 232332 tst8312. sttt83012. 653223 st830. (3)物體從物體從 x = - 0.06m向向 X 軸負方向運動，第一次回到平衡位置所需時間。軸負方向運動，第一次回到平衡位置所需時間。)cos(.3120 tx m 幾種常見的簡諧振動幾種常見的簡諧振動(1) (1) 單擺單擺重物所受合外力矩：重物所受合外力矩：據(jù)轉動定律，得到據(jù)轉動定律，得到 很小時很小時( (小于小于 ) )，可取，可取5令

15、令 , ,lg2有有sinmglM !sin5353sin mglM lgmlmglJMdtd 222gmTOl0222dtd轉角轉角 的表達式可寫為：的表達式可寫為： 幾種常見的簡諧振動幾種常見的簡諧振動)cos(0 tm0222dtdlgT22 lg2(2) (2) 復擺復擺一個可繞固定軸擺動的剛體稱為復擺。一個可繞固定軸擺動的剛體稱為復擺。OgmC 剛體的質心為剛體的質心為C, , 對過對過O 點的點的轉軸的轉動慣量為轉軸的轉動慣量為J, , O、C 兩點間兩點間距離的距離為距離的距離為l。所受合外力矩：所受合外力矩：sinmglM 令令據(jù)轉動定律，得據(jù)轉動定律，得若若 角度較小時角度較

16、小時 幾種常見的簡諧振動幾種常見的簡諧振動sindd22mgltJmgltJ22ddJmgl20222 tddmglJT22例例6-2 6-2 一質量為一質量為m 的平底船，其平均水平截面積為的平底船，其平均水平截面積為S，吃水深度，吃水深度為為h，如不計水的阻力，求此船在豎直方向的振動周期。，如不計水的阻力，求此船在豎直方向的振動周期。解解: : 船靜止時浮力與重力平衡，船靜止時浮力與重力平衡，mghSg OyPPy在任一位置時船在任一位置時船的位移用的位移用y 表示。表示。 幾種常見的簡諧振動幾種常見的簡諧振動船的位移為船的位移為y 時船所受合力為：時船所受合力為：SgymgSgyhf)(

17、船在豎直方向作簡諧振動。船在豎直方向作簡諧振動。其角頻率和周期為其角頻率和周期為: :mSggSmT22因因,ShmghT2得得: : 幾種常見的簡諧振動幾種常見的簡諧振動Sgyf6.4 6.4 簡諧振子的能量簡諧振子的能量動能動能勢能勢能以水平彈簧振子為例討論簡諧振動系統(tǒng)的能量。以水平彈簧振子為例討論簡諧振動系統(tǒng)的能量。系統(tǒng)總的機械能：系統(tǒng)總的機械能：)(sin022222121 tAmmvEK)(cos02222121 tkAkxEPPKEEE )(cos)(sin02202222121 tkAtAmPKEEE 考慮到考慮到 ，系統(tǒng)總能量為，系統(tǒng)總能量為 ，表，表明簡諧振動的機械能守恒。明

18、簡諧振動的機械能守恒。221kAE mk2 簡諧振動的能量簡諧振動的能量能量平均值能量平均值上述結果對任一諧振系統(tǒng)均成立。上述結果對任一諧振系統(tǒng)均成立。20022241211kAttAmTETK d)(sin2002241211kAttkATETP d)(cos2EEEPK 諧振子的動能、勢能和總能量隨時間的變化曲線諧振子的動能、勢能和總能量隨時間的變化曲線: :tAxcos221kAE PEkEE 簡諧振動的能量簡諧振動的能量ttOOx恒量 212122Ekxmv0 dtdxkxdtdvmvt求導等式兩邊對0 22kxvdtxdmv即0 22xmkdtxd6-5 簡諧振動的合成簡諧振動的合成

19、1.1.同方向同頻率的兩個簡諧振動的合成同方向同頻率的兩個簡諧振動的合成 設一質點同時參與沿同一方向設一質點同時參與沿同一方向(x 軸軸)的兩個獨立的的兩個獨立的同頻率的簡諧振動，兩個振動位移為：同頻率的簡諧振動，兩個振動位移為：)cos(111tAx)cos(222tAx合位移：合位移：)cos(21tAxxx)cos(212212221AAAAA合振動仍然是簡諧振動，其方向和頻率與原來相同。合振動仍然是簡諧振動，其方向和頻率與原來相同。22112211coscossinsintgAAAA矢量沿矢量沿X 軸之投影表征了合運動的規(guī)律。軸之投影表征了合運動的規(guī)律。旋轉矢量圖示法旋轉矢量圖示法同方

20、向同頻率的兩個簡諧振動的合成同方向同頻率的兩個簡諧振動的合成21AAA X1A2A212x1xxOA同方向同頻率的兩個簡諧振動的合成同方向同頻率的兩個簡諧振動的合成(1)當當 212k (k=0及正負及正負整數(shù)整數(shù))，cos(2 -1)=1, 有有同相迭加，合振幅最大同相迭加，合振幅最大。討論：討論：同方向同頻率的兩個簡諧振動的合成同方向同頻率的兩個簡諧振動的合成)cos(212212221AAAAAX2A1AOxxtoo212k)cos()(21tAAxA21AAA1A2AT21AAA (2)當當 21(2k+1) (k=0及正及正負整數(shù)負整數(shù)), cos(2 - 1)=0, 有有反相迭加，

21、合振幅最小反相迭加，合振幅最小。 當當A1=A2 時，時，A=0。同方向同頻率的兩個簡諧振動的合成同方向同頻率的兩個簡諧振動的合成X2A1AO21AAA xxtoo21AAA2T2A21AA)cos(212212221AAAAA同方向同頻率的兩個簡諧振動的合成同方向同頻率的兩個簡諧振動的合成(3)通常情況下，合振幅介于通常情況下，合振幅介于 和和 之間。之間。21AA 21AA 一般情況一般情況2121AAAAA21AAA相位差相位差相位差相位差21AAA212k)10( ， k相互加強相互加強相互削弱相互削弱) 12(12k)10( ， k2.2.同方向不同頻率的兩個簡諧振動的合成同方向不同

22、頻率的兩個簡諧振動的合成兩個簡諧振動合成得：兩個簡諧振動合成得： 當兩個同方向簡諧振動的頻率不同時，在旋轉矢當兩個同方向簡諧振動的頻率不同時，在旋轉矢量圖示法中兩個旋轉矢量的轉動角速度不相同，二者量圖示法中兩個旋轉矢量的轉動角速度不相同，二者的相位差與時間有關，合矢量的長度和角速度都將隨的相位差與時間有關，合矢量的長度和角速度都將隨時間變化。時間變化。兩個簡諧振動的頻率兩個簡諧振動的頻率 和和 很接近，且很接近，且1212)2cos()2cos(201212ttAxx = x1+ x2)cos(),cos(022011tAxtAx同方向不同頻率的兩個簡諧振動的合成同方向不同頻率的兩個簡諧振動的

23、合成 拍拍21122因因,21112或或,2有有 在兩個簡諧振動的位移合成表達式中，第一項隨在兩個簡諧振動的位移合成表達式中，第一項隨時間作緩慢變化時間作緩慢變化, , 第二項是角頻率近于第二項是角頻率近于 的簡諧的簡諧函數(shù)。合振動可視為是角頻率為函數(shù)。合振動可視為是角頻率為 、振幅為、振幅為 的簡諧振動。的簡諧振動。1或或22)(212)(cos212tA 合振動的振幅隨時間作緩慢的周期性的變化，振合振動的振幅隨時間作緩慢的周期性的變化，振動出現(xiàn)時強時弱的動出現(xiàn)時強時弱的拍現(xiàn)象拍現(xiàn)象。拍頻拍頻: :單位時間內強弱變化的次數(shù)。單位時間內強弱變化的次數(shù)。)2cos()2cos(201212ttA

24、x同方向不同頻率的兩個簡諧振動的合成同方向不同頻率的兩個簡諧振動的合成 拍拍12122)2cos()2cos(201212ttAx拍頻拍頻: :單位時間內強弱變化的次數(shù)。單位時間內強弱變化的次數(shù)。振幅部分振幅部分)2cos(212tA振幅拍頻拍頻t1xt2xtx同方向不同頻率的兩個簡諧振動的合成同方向不同頻率的兩個簡諧振動的合成 拍拍相互垂直的簡諧振動的合成相互垂直的簡諧振動的合成兩個同頻率的相互垂直的分運動位移表達式兩個同頻率的相互垂直的分運動位移表達式消時間參數(shù)，得消時間參數(shù)，得)cos(11tAx)(sin)cos(21221221222212AyAxAyAx)cos(22tAy 合運動

25、一般是在合運動一般是在 ( x 向向)、 ( y 向向)范圍內的一范圍內的一個橢圓。個橢圓。 12A22A 橢圓的性質橢圓的性質( (方位、長短軸、左右旋方位、長短軸、左右旋 ) )在在 A1 、A2確定之后確定之后, ,主要決定于主要決定于 。12用用旋旋轉轉矢矢量量描描繪繪振振動動合合成成圖圖相互垂直的簡諧振動的合成相互垂直的簡諧振動的合成(1) 2 10, , 兩個分振動同相位，得兩個分振動同相位，得xAAy12在任一時刻離開坐標原點位移為：在任一時刻離開坐標原點位移為：)cos(2221tAAs(2) 2 1 , 兩個分運動反相位，得兩個分運動反相位，得xAAy12幾種特殊情況：幾種特

26、殊情況：(3) 21/2，得，得1222212AyAx(4) 2 1 3/2，仍然得，仍然得1222212AyAx幾種特殊情況：幾種特殊情況：這是坐標軸為主軸的橢圓，質這是坐標軸為主軸的橢圓，質點的軌跡是順時針旋轉。點的軌跡是順時針旋轉。與與33相同，只是質點的軌跡相同，只是質點的軌跡沿逆時針旋轉。沿逆時針旋轉。相互垂直的簡諧振動的合成相互垂直的簡諧振動的合成4相互垂直的簡諧振動的合成相互垂直的簡諧振動的合成47幾種特殊情況：幾種特殊情況：120QP .4243452347相互垂直的簡諧振動的合成相互垂直的簡諧振動的合成方向垂直的不同頻率的簡諧振動的合成方向垂直的不同頻率的簡諧振動的合成 兩分

27、振動頻率相差很小兩分振動頻率相差很小 可看作兩頻率相等而可看作兩頻率相等而 隨隨t 緩慢變化，合運動緩慢變化，合運動軌跡將按上頁圖依次緩慢變化軌跡將按上頁圖依次緩慢變化 軌跡稱為李薩如圖形軌跡稱為李薩如圖形-A2yxA1A2O- A1 兩振動的頻率成兩振動的頻率成整數(shù)比整數(shù)比t )(120,42:3:1020yx相互垂直的簡諧振動的合成相互垂直的簡諧振動的合成1:21:32:3幾幅典型的利薩如圖形幾幅典型的利薩如圖形相互垂直的簡諧振動的合成相互垂直的簡諧振動的合成0221:2:yx相互垂直的簡諧振動的合成相互垂直的簡諧振動的合成42:3:yx相互垂直的簡諧振動的合成相互垂直的簡諧振動的合成21

28、:3:yx相互垂直的簡諧振動的合成相互垂直的簡諧振動的合成6-6 阻尼振動阻尼振動 受迫振動受迫振動 共振共振 振動物體不受任何阻力的影響，只在回復力作用振動物體不受任何阻力的影響，只在回復力作用下所作的振動，稱為下所作的振動，稱為無阻尼自由振動無阻尼自由振動。在回復力和阻力作用下的振動稱為在回復力和阻力作用下的振動稱為阻尼振動阻尼振動。阻尼：阻尼：消耗振動系統(tǒng)能量的原因消耗振動系統(tǒng)能量的原因。 阻尼種類：摩擦阻尼阻尼種類：摩擦阻尼 輻射阻尼輻射阻尼摩擦阻尼摩擦阻尼：由于摩擦阻力使系統(tǒng)能量逐漸變?yōu)闊崮?；：由于摩擦阻力使系統(tǒng)能量逐漸變?yōu)闊崮?；輻射阻尼輻射阻尼：由于振動系統(tǒng)引起臨近質點的振動，使振

29、動：由于振動系統(tǒng)引起臨近質點的振動，使振動系統(tǒng)的能量逐漸向四周輻射出去，轉變?yōu)椴▌拥哪芰浚幌到y(tǒng)的能量逐漸向四周輻射出去，轉變?yōu)椴▌拥哪芰浚?對在流體對在流體( (液體、氣體液體、氣體) )中運動的物體，當物體速中運動的物體，當物體速度較小時，阻力大小正比于度較小時，阻力大小正比于速度，且方向相反，表示速度，且方向相反，表示為為 txvFddf ：阻力系數(shù)：阻力系數(shù)在阻力作用下的彈簧振子在阻力作用下的彈簧振子 阻尼振動阻尼振動受力：受力：運動方程運動方程: :txkxtxmdddd22引入引入 阻尼因子阻尼因子 m2固有頻率固有頻率mk00dd2dd2022xtxtx在小阻尼條件下在小阻尼條件下

30、 ，微分方程的解為，微分方程的解為: :)(0) cos(e00tAxt220其中其中振幅振幅阻力阻力kx彈性恢復力彈性恢復力txFddf) cos(e00tAxt0A其中其中 和和 為積分常數(shù)為積分常數(shù), ,由初始條件決定。上式由初始條件決定。上式中的余弦項表征了在彈性力和阻力作用下的周期中的余弦項表征了在彈性力和阻力作用下的周期運動；運動； 反映了阻尼對振幅的影響。反映了阻尼對振幅的影響。0tetAe0txO減幅振動減幅振動220其中其中振幅振幅 阻尼振動不是周期阻尼振動不是周期性振動，更不是簡諧振性振動，更不是簡諧振動，因位移不是時間的動，因位移不是時間的周期函數(shù)。但阻尼振動周期函數(shù)。但阻尼振動有某種重復性。有某種重復性。 位移相繼兩次達到極大值的時間間隔叫做位移相繼兩次達到極大值的時間間隔叫做阻尼振阻尼振動的周期動的周期，有，有0220222T由于阻尼，振動變慢了。由于阻尼，振動變慢了。阻尼振動的振幅為：阻尼振動的振幅為：tAAe0 振幅隨時間作指數(shù)衰