第六章-機(jī)械振動(dòng)

1、第六章第六章 機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng) 任一物理量在某一定值附近往復(fù)變化均稱為任一物理量在某一定值附近往復(fù)變化均稱為振動(dòng)振動(dòng). . 機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng) 物體在某一中心位置附近來回往復(fù)的運(yùn)物體在某一中心位置附近來回往復(fù)的運(yùn)動(dòng)動(dòng). . 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) 最簡(jiǎn)單、最基本的振動(dòng)最簡(jiǎn)單、最基本的振動(dòng). .簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)復(fù)雜振動(dòng)復(fù)雜振動(dòng)合成合成分解分解 簡(jiǎn)諧振動(dòng)：簡(jiǎn)諧振動(dòng)：物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，離開平衡位置的位移物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，離開平衡位置的位移( (或或角位移角位移) )按余弦按余弦( (或正弦或正弦) )規(guī)律隨時(shí)間變化。規(guī)律隨時(shí)間變化。6-1 簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)1.彈簧振子彈簧振子彈簧振子：彈簧振子： 連接在一起的一個(gè)忽略了

2、質(zhì)量的彈簧和一連接在一起的一個(gè)忽略了質(zhì)量的彈簧和一個(gè)不發(fā)生形變的物體系統(tǒng)。個(gè)不發(fā)生形變的物體系統(tǒng)。簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征及其表達(dá)式簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征及其表達(dá)式XOFFXOXO回復(fù)力：回復(fù)力：作簡(jiǎn)諧運(yùn)作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)所受的沿動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)所受的沿位移方向的合外力位移方向的合外力, , 該力與位移成正比該力與位移成正比且反向。且反向。kxF 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征: : 據(jù)牛頓第二定律，得據(jù)牛頓第二定律，得令令運(yùn)動(dòng)學(xué)特征運(yùn)動(dòng)學(xué)特征kxF , xmkmFa mk 2xdtxda222 0222 xdtxd或或位移位移 之解可寫為：之解可寫為：x或或)i(0etAx 0 tAxcos 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)

3、特征簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征: :物體的加速度與位移成正物體的加速度與位移成正 比而方向相反，比而方向相反，物體的位移按余弦規(guī)律變化。物體的位移按余弦規(guī)律變化。速度速度加速度加速度簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征及其表達(dá)式簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征及其表達(dá)式 0 tAdtdxvsin 0222 tAdtxdacos 0 tAxcost 簡(jiǎn)諧振動(dòng)中質(zhì)點(diǎn)位移、速度、加速度與時(shí)間的關(guān)系簡(jiǎn)諧振動(dòng)中質(zhì)點(diǎn)位移、速度、加速度與時(shí)間的關(guān)系: :42簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征及其表達(dá)式簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征及其表達(dá)式xtvta 0 tAxcos2cossin00tAtAv0202coscostAtAa 0 tAxcos 常量常量 和和 的確定的確定A0根據(jù)初始條件

4、：根據(jù)初始條件： 時(shí)，時(shí)， , , ，得得0 xx 0vv 0t00cosAx 00sinAv 22020vxA 000 xvarctan在在 到到 之間，通常之間，通常 存在兩個(gè)值，可根據(jù)存在兩個(gè)值，可根據(jù) 進(jìn)行取舍。進(jìn)行取舍。000sinAv 0sintAvcos0A2 0sin0Av2 0sin取取0, 0, 0vxt已知已知 求求討論討論xvo)2 cos(tAxAAxT2Tto00cosAx 00sinAv6.2 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅、周期和相位簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅、周期和相位(1)(1)振幅振幅: : 物體離開平衡位置的最大位移的絕對(duì)值。物體離開平衡位置的最大位移的絕對(duì)值。由初始條件確定由初始

5、條件確定)cos(0tAx(2)(2)周期和頻率周期和頻率 周期：周期：物體作一次完全運(yùn)動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間。物體作一次完全運(yùn)動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間。頻率：頻率：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)物體所作完全運(yùn)動(dòng)的次數(shù)。單位時(shí)間內(nèi)物體所作完全運(yùn)動(dòng)的次數(shù)。21T22020vxA 2 T)(cos0tTA22T角頻率角頻率: : 物體在物體在 秒內(nèi)所作的完全運(yùn)動(dòng)的次數(shù)。秒內(nèi)所作的完全運(yùn)動(dòng)的次數(shù)。2對(duì)于彈簧振子，因有對(duì)于彈簧振子，因有 ，得，得: :mk,2kmTmk21利用上述關(guān)系式，得諧振動(dòng)表達(dá)式：利用上述關(guān)系式，得諧振動(dòng)表達(dá)式：02cosTtAx02costAx)cos(0tAx2 T21T(3)(3)相位和初相相位和初相 簡(jiǎn)諧振

6、動(dòng)的振幅、周期、頻率和相位簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅、周期、頻率和相位)sin(0tAv)cos(02tAa)cos(0tAx1 1） 存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系; ;),(vxt202 2）相位在相位在 內(nèi)變化，質(zhì)點(diǎn)內(nèi)變化，質(zhì)點(diǎn)無相同無相同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)； ) (2nn相差相差 為整數(shù)為整數(shù) 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)全同全同. .（周期性）周期性）相位相位 ：決定簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量。：決定簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量。)(0t初相位初相位 ：t =0 時(shí)的相位。時(shí)的相位。描述質(zhì)點(diǎn)初始時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)描述質(zhì)點(diǎn)初始時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài). . 0 以以 為為原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)矢原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)矢量量 的端點(diǎn)的端點(diǎn)在在 軸上

7、的軸上的投影點(diǎn)的運(yùn)投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)動(dòng). .xAoxoAcos0Ax 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)0t0 xxoAtt t)cos(tAx時(shí)時(shí)6.3 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的矢量表示法簡(jiǎn)諧振動(dòng)的矢量表示法 以以 為為原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)矢原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)矢量量 的端點(diǎn)的端點(diǎn)在在 軸上的軸上的投影點(diǎn)的運(yùn)投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)動(dòng). .xAoxoAtt t)cos(tAx時(shí)時(shí) 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的矢量圖示法簡(jiǎn)諧振動(dòng)的矢量圖示法振動(dòng)相位振動(dòng)相位逆時(shí)針方向逆時(shí)針方向 M 點(diǎn)在點(diǎn)在 x 軸上投影軸上投影( (P點(diǎn)點(diǎn)) )的運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律規(guī)律： 的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度A 旋轉(zhuǎn)的角速度旋轉(zhuǎn)的角速度A旋轉(zhuǎn)的方向旋轉(zhuǎn)的方向A與參考方向與參考方向x 的夾角的夾角

8、AXOM P xA0t振幅振幅A振動(dòng)圓頻率振動(dòng)圓頻率)cos(0 tAx 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的矢量圖示法簡(jiǎn)諧振動(dòng)的矢量圖示法Amv)2 cos(tAv)cos(2tAa2mAa2 tmvvxy0At)cos(tAxnaa用旋轉(zhuǎn)矢量圖畫簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的用旋轉(zhuǎn)矢量圖畫簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的 圖圖tx討論討論 相位差：表示兩個(gè)相位之差相位差：表示兩個(gè)相位之差 . .用旋轉(zhuǎn)矢量方便的比較簡(jiǎn)諧振動(dòng)狀態(tài)。用旋轉(zhuǎn)矢量方便的比較簡(jiǎn)諧振動(dòng)狀態(tài)。AAx2AtoabxAA0 1 1）對(duì)對(duì)同一同一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，相位差可以給出兩運(yùn)動(dòng)狀簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，相位差可以給出兩運(yùn)動(dòng)狀態(tài)間變化所需的時(shí)間。態(tài)間變化所需的時(shí)間。)()(12tt12tttat3 TTt612

9、3v2Abt二者的二者的相位差相位差為：為： 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅、周期、頻率和相位簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅、周期、頻率和相位)cos(111tAx)cos(222tAx 12tt12 2 2）對(duì)于兩個(gè)對(duì)于兩個(gè)同同頻率頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，相位差表示它的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，相位差表示它們間們間步調(diào)步調(diào)上的上的差異差異. .采用旋轉(zhuǎn)矢量直觀表示為：采用旋轉(zhuǎn)矢量直觀表示為：XO121A2A 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅、周期、頻率和相位簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅、周期、頻率和相位討論討論: : (a) (a)當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), ,稱兩個(gè)振動(dòng)為同相；稱兩個(gè)振動(dòng)為同相；k2XO1A2Axto0同步同步(b)(b)當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), ,稱兩個(gè)振動(dòng)為反相；稱兩個(gè)振動(dòng)為反相；

10、) 12(kXO1A2Atxo反相反相(d)(d)當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), ,稱第二個(gè)振動(dòng)落后第一個(gè)振動(dòng)稱第二個(gè)振動(dòng)落后第一個(gè)振動(dòng) 。0(c)(c)當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), ,稱第二個(gè)振動(dòng)超前第一個(gè)振動(dòng)稱第二個(gè)振動(dòng)超前第一個(gè)振動(dòng) ；0 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅、周期、頻率和相位簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅、周期、頻率和相位xto為其它為其它超前超前落后落后XO121A2A 速度的相位比位移的相位超前速度的相位比位移的相位超前 ，加速度的相，加速度的相位比位移的相位超前位比位移的相位超前 。2 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅、周期、頻率和相位簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅、周期、頻率和相位 相位可以用來比較不同物理量變化的步調(diào)，對(duì)相位可以用來比較不同物理量變化的步調(diào)，對(duì)于簡(jiǎn)

11、諧振動(dòng)的位移、速度和加速度，存在于簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位移、速度和加速度，存在: :)cos(0 tAx 200 tvtvvmmcossin 00tataammcoscos例例6-1 6-1 一物體沿一物體沿X軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅振幅A=0.12m, ,周期周期T=2s。當(dāng)當(dāng)t=0t=0時(shí)時(shí), ,物體的位移物體的位移x= =0.06m, ,且向且向X軸正向運(yùn)動(dòng)軸正向運(yùn)動(dòng)。求求:(1):(1)簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式表達(dá)式；(2) (2) t = =T/4時(shí)物體的位置、速度和加速度時(shí)物體的位置、速度和加速度；(3)(3)物體從物體從 x =-0.06=-0.06m向向 X 軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，軸負(fù)方向運(yùn)

12、動(dòng)，第一次回到平衡位置所需時(shí)間。第一次回到平衡位置所需時(shí)間。解解: (1): (1)取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn), ,諧振動(dòng)方程寫為：諧振動(dòng)方程寫為：其中其中A=0.12m, T=2s, )(s21T初始條件：初始條件：t = 0, x0=0.06m,可得可得06. 0cos12. 0030據(jù)初始條件據(jù)初始條件 得得, 0sin00Av30 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的矢量圖示法簡(jiǎn)諧振動(dòng)的矢量圖示法)cos( tAx)cos(.3120 tx m在在t =T/4=0.5s時(shí)時(shí)，從前面所列的表達(dá)式可得從前面所列的表達(dá)式可得 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的矢量圖示法簡(jiǎn)諧振動(dòng)的矢量圖示法)sin(.3120 tdtdxv 1

13、 sm)cos(.31202 tdtdva 2 smmmx1040350120.).cos(. 11180350120 smsmv.).sin(.222031350120 smsma.).cos(.(2) t =T/4時(shí)物體的位置、速度和加速度；時(shí)物體的位置、速度和加速度；)cos(.3120 tx m當(dāng)當(dāng)x = -0.06m時(shí)時(shí)，該時(shí)刻設(shè)為該時(shí)刻設(shè)為t1 1, ,得得因該因該時(shí)刻速度為負(fù)時(shí)刻速度為負(fù)，應(yīng)舍去，應(yīng)舍去 ，設(shè)物體在設(shè)物體在t2 2時(shí)刻第一次回到平衡位置，相位是時(shí)刻第一次回到平衡位置，相位是因此從因此從x = -0.06m處第一次回到平衡位置的時(shí)間處第一次回到平衡位置的時(shí)間：另解另

14、解：從從t1 1時(shí)刻到時(shí)刻到t2 2時(shí)刻所對(duì)應(yīng)的相差為時(shí)刻所對(duì)應(yīng)的相差為： 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的矢量圖示法簡(jiǎn)諧振動(dòng)的矢量圖示法2131 )cos(t343231, t34st11 232332 tst8312. sttt83012. 653223 st830. (3)物體從物體從 x = - 0.06m向向 X 軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，第一次回到平衡位置所需時(shí)間。軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，第一次回到平衡位置所需時(shí)間。)cos(.3120 tx m 幾種常見的簡(jiǎn)諧振動(dòng)幾種常見的簡(jiǎn)諧振動(dòng)(1) (1) 單擺單擺重物所受合外力矩：重物所受合外力矩：據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律，得到據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律，得到 很小時(shí)很小時(shí)( (小于小于 ) )，可取，可取5令

15、令 , ,lg2有有sinmglM !sin5353sin mglM lgmlmglJMdtd 222gmTOl0222dtd轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 的表達(dá)式可寫為：的表達(dá)式可寫為： 幾種常見的簡(jiǎn)諧振動(dòng)幾種常見的簡(jiǎn)諧振動(dòng))cos(0 tm0222dtdlgT22 lg2(2) (2) 復(fù)擺復(fù)擺一個(gè)可繞固定軸擺動(dòng)的剛體稱為復(fù)擺。一個(gè)可繞固定軸擺動(dòng)的剛體稱為復(fù)擺。OgmC 剛體的質(zhì)心為剛體的質(zhì)心為C, , 對(duì)過對(duì)過O 點(diǎn)的點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J, , O、C 兩點(diǎn)間兩點(diǎn)間距離的距離為距離的距離為l。所受合外力矩：所受合外力矩：sinmglM 令令據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律，得據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律，得若若 角度較小時(shí)角度較

16、小時(shí) 幾種常見的簡(jiǎn)諧振動(dòng)幾種常見的簡(jiǎn)諧振動(dòng)sindd22mgltJmgltJ22ddJmgl20222 tddmglJT22例例6-2 6-2 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m 的平底船，其平均水平截面積為的平底船，其平均水平截面積為S，吃水深度，吃水深度為為h，如不計(jì)水的阻力，求此船在豎直方向的振動(dòng)周期。，如不計(jì)水的阻力，求此船在豎直方向的振動(dòng)周期。解解: : 船靜止時(shí)浮力與重力平衡，船靜止時(shí)浮力與重力平衡，mghSg OyPPy在任一位置時(shí)船在任一位置時(shí)船的位移用的位移用y 表示。表示。 幾種常見的簡(jiǎn)諧振動(dòng)幾種常見的簡(jiǎn)諧振動(dòng)船的位移為船的位移為y 時(shí)船所受合力為：時(shí)船所受合力為：SgymgSgyhf)(

17、船在豎直方向作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。船在豎直方向作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。其角頻率和周期為其角頻率和周期為: :mSggSmT22因因,ShmghT2得得: : 幾種常見的簡(jiǎn)諧振動(dòng)幾種常見的簡(jiǎn)諧振動(dòng)Sgyf6.4 6.4 簡(jiǎn)諧振子的能量簡(jiǎn)諧振子的能量動(dòng)能動(dòng)能勢(shì)能勢(shì)能以水平彈簧振子為例討論簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)的能量。以水平彈簧振子為例討論簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)的能量。系統(tǒng)總的機(jī)械能：系統(tǒng)總的機(jī)械能：)(sin022222121 tAmmvEK)(cos02222121 tkAkxEPPKEEE )(cos)(sin02202222121 tkAtAmPKEEE 考慮到考慮到 ，系統(tǒng)總能量為，系統(tǒng)總能量為 ，表，表明簡(jiǎn)諧振動(dòng)的機(jī)械能守恒。明

18、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的機(jī)械能守恒。221kAE mk2 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量能量平均值能量平均值上述結(jié)果對(duì)任一諧振系統(tǒng)均成立。上述結(jié)果對(duì)任一諧振系統(tǒng)均成立。20022241211kAttAmTETK d)(sin2002241211kAttkATETP d)(cos2EEEPK 諧振子的動(dòng)能、勢(shì)能和總能量隨時(shí)間的變化曲線諧振子的動(dòng)能、勢(shì)能和總能量隨時(shí)間的變化曲線: :tAxcos221kAE PEkEE 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量ttOOx恒量 212122Ekxmv0 dtdxkxdtdvmvt求導(dǎo)等式兩邊對(duì)0 22kxvdtxdmv即0 22xmkdtxd6-5 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成

19、1.1.同方向同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成同方向同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成 設(shè)一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與沿同一方向設(shè)一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與沿同一方向(x 軸軸)的兩個(gè)獨(dú)立的的兩個(gè)獨(dú)立的同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，兩個(gè)振動(dòng)位移為：同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，兩個(gè)振動(dòng)位移為：)cos(111tAx)cos(222tAx合位移：合位移：)cos(21tAxxx)cos(212212221AAAAA合振動(dòng)仍然是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其方向和頻率與原來相同。合振動(dòng)仍然是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其方向和頻率與原來相同。22112211coscossinsintgAAAA矢量沿矢量沿X 軸之投影表征了合運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。軸之投影表征了合運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。旋轉(zhuǎn)矢量圖示法旋轉(zhuǎn)矢量圖示法同方

20、向同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成同方向同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成21AAA X1A2A212x1xxOA同方向同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成同方向同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成(1)當(dāng)當(dāng) 212k (k=0及正負(fù)及正負(fù)整數(shù)整數(shù))，cos(2 -1)=1, 有有同相迭加，合振幅最大同相迭加，合振幅最大。討論：討論：同方向同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成同方向同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成)cos(212212221AAAAAX2A1AOxxtoo212k)cos()(21tAAxA21AAA1A2AT21AAA (2)當(dāng)當(dāng) 21(2k+1) (k=0及正及正負(fù)整數(shù)負(fù)整數(shù)), cos(2 - 1)=0, 有有反相迭加，

21、合振幅最小反相迭加，合振幅最小。 當(dāng)當(dāng)A1=A2 時(shí)，時(shí)，A=0。同方向同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成同方向同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成X2A1AO21AAA xxtoo21AAA2T2A21AA)cos(212212221AAAAA同方向同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成同方向同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成(3)通常情況下，合振幅介于通常情況下，合振幅介于 和和 之間。之間。21AA 21AA 一般情況一般情況2121AAAAA21AAA相位差相位差相位差相位差21AAA212k)10( ， k相互加強(qiáng)相互加強(qiáng)相互削弱相互削弱) 12(12k)10( ， k2.2.同方向不同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成同方向不同

22、頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成得：兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成得： 當(dāng)兩個(gè)同方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率不同時(shí)，在旋轉(zhuǎn)矢當(dāng)兩個(gè)同方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率不同時(shí)，在旋轉(zhuǎn)矢量圖示法中兩個(gè)旋轉(zhuǎn)矢量的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度不相同，二者量圖示法中兩個(gè)旋轉(zhuǎn)矢量的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度不相同，二者的相位差與時(shí)間有關(guān)，合矢量的長(zhǎng)度和角速度都將隨的相位差與時(shí)間有關(guān)，合矢量的長(zhǎng)度和角速度都將隨時(shí)間變化。時(shí)間變化。兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率 和和 很接近，且很接近，且1212)2cos()2cos(201212ttAxx = x1+ x2)cos(),cos(022011tAxtAx同方向不同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成同方向不同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的

23、合成 拍拍21122因因,21112或或,2有有 在兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位移合成表達(dá)式中，第一項(xiàng)隨在兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位移合成表達(dá)式中，第一項(xiàng)隨時(shí)間作緩慢變化時(shí)間作緩慢變化, , 第二項(xiàng)是角頻率近于第二項(xiàng)是角頻率近于 的簡(jiǎn)諧的簡(jiǎn)諧函數(shù)。合振動(dòng)可視為是角頻率為函數(shù)。合振動(dòng)可視為是角頻率為 、振幅為、振幅為 的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。1或或22)(212)(cos212tA 合振動(dòng)的振幅隨時(shí)間作緩慢的周期性的變化，振合振動(dòng)的振幅隨時(shí)間作緩慢的周期性的變化，振動(dòng)出現(xiàn)時(shí)強(qiáng)時(shí)弱的動(dòng)出現(xiàn)時(shí)強(qiáng)時(shí)弱的拍現(xiàn)象拍現(xiàn)象。拍頻拍頻: :單位時(shí)間內(nèi)強(qiáng)弱變化的次數(shù)。單位時(shí)間內(nèi)強(qiáng)弱變化的次數(shù)。)2cos()2cos(201212ttA

24、x同方向不同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成同方向不同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成 拍拍12122)2cos()2cos(201212ttAx拍頻拍頻: :單位時(shí)間內(nèi)強(qiáng)弱變化的次數(shù)。單位時(shí)間內(nèi)強(qiáng)弱變化的次數(shù)。振幅部分振幅部分)2cos(212tA振幅拍頻拍頻t1xt2xtx同方向不同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成同方向不同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成 拍拍相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成兩個(gè)同頻率的相互垂直的分運(yùn)動(dòng)位移表達(dá)式兩個(gè)同頻率的相互垂直的分運(yùn)動(dòng)位移表達(dá)式消時(shí)間參數(shù)，得消時(shí)間參數(shù)，得)cos(11tAx)(sin)cos(21221221222212AyAxAyAx)cos(22tAy 合運(yùn)動(dòng)

25、一般是在合運(yùn)動(dòng)一般是在 ( x 向向)、 ( y 向向)范圍內(nèi)的一范圍內(nèi)的一個(gè)橢圓。個(gè)橢圓。 12A22A 橢圓的性質(zhì)橢圓的性質(zhì)( (方位、長(zhǎng)短軸、左右旋方位、長(zhǎng)短軸、左右旋 ) )在在 A1 、A2確定之后確定之后, ,主要決定于主要決定于 。12用用旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)矢矢量量描描繪繪振振動(dòng)動(dòng)合合成成圖圖相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成(1) 2 10, , 兩個(gè)分振動(dòng)同相位，得兩個(gè)分振動(dòng)同相位，得xAAy12在任一時(shí)刻離開坐標(biāo)原點(diǎn)位移為：在任一時(shí)刻離開坐標(biāo)原點(diǎn)位移為：)cos(2221tAAs(2) 2 1 , 兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)反相位，得兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)反相位，得xAAy12幾種特殊情況：幾種特

26、殊情況：(3) 21/2，得，得1222212AyAx(4) 2 1 3/2，仍然得，仍然得1222212AyAx幾種特殊情況：幾種特殊情況：這是坐標(biāo)軸為主軸的橢圓，質(zhì)這是坐標(biāo)軸為主軸的橢圓，質(zhì)點(diǎn)的軌跡是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。點(diǎn)的軌跡是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。與與33相同，只是質(zhì)點(diǎn)的軌跡相同，只是質(zhì)點(diǎn)的軌跡沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成4相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成47幾種特殊情況：幾種特殊情況：120QP .4243452347相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成方向垂直的不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成方向垂直的不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成 兩分

27、振動(dòng)頻率相差很小兩分振動(dòng)頻率相差很小 可看作兩頻率相等而可看作兩頻率相等而 隨隨t 緩慢變化，合運(yùn)動(dòng)緩慢變化，合運(yùn)動(dòng)軌跡將按上頁圖依次緩慢變化軌跡將按上頁圖依次緩慢變化 軌跡稱為李薩如圖形軌跡稱為李薩如圖形-A2yxA1A2O- A1 兩振動(dòng)的頻率成兩振動(dòng)的頻率成整數(shù)比整數(shù)比t )(120,42:3:1020yx相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成1:21:32:3幾幅典型的利薩如圖形幾幅典型的利薩如圖形相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成0221:2:yx相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成42:3:yx相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成21

28、:3:yx相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成6-6 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng) 受迫振動(dòng)受迫振動(dòng) 共振共振 振動(dòng)物體不受任何阻力的影響，只在回復(fù)力作用振動(dòng)物體不受任何阻力的影響，只在回復(fù)力作用下所作的振動(dòng)，稱為下所作的振動(dòng)，稱為無阻尼自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)。在回復(fù)力和阻力作用下的振動(dòng)稱為在回復(fù)力和阻力作用下的振動(dòng)稱為阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)。阻尼：阻尼：消耗振動(dòng)系統(tǒng)能量的原因消耗振動(dòng)系統(tǒng)能量的原因。 阻尼種類：摩擦阻尼阻尼種類：摩擦阻尼 輻射阻尼輻射阻尼摩擦阻尼摩擦阻尼：由于摩擦阻力使系統(tǒng)能量逐漸變?yōu)闊崮?；：由于摩擦阻力使系統(tǒng)能量逐漸變?yōu)闊崮?；輻射阻尼輻射阻尼：由于振?dòng)系統(tǒng)引起臨近質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)，使振

29、動(dòng)：由于振動(dòng)系統(tǒng)引起臨近質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)，使振動(dòng)系統(tǒng)的能量逐漸向四周輻射出去，轉(zhuǎn)變?yōu)椴▌?dòng)的能量；系統(tǒng)的能量逐漸向四周輻射出去，轉(zhuǎn)變?yōu)椴▌?dòng)的能量； 對(duì)在流體對(duì)在流體( (液體、氣體液體、氣體) )中運(yùn)動(dòng)的物體，當(dāng)物體速中運(yùn)動(dòng)的物體，當(dāng)物體速度較小時(shí)，阻力大小正比于度較小時(shí)，阻力大小正比于速度，且方向相反，表示速度，且方向相反，表示為為 txvFddf ：阻力系數(shù)：阻力系數(shù)在阻力作用下的彈簧振子在阻力作用下的彈簧振子 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)受力：受力：運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程: :txkxtxmdddd22引入引入 阻尼因子阻尼因子 m2固有頻率固有頻率mk00dd2dd2022xtxtx在小阻尼條件下在小阻尼條件下

30、 ，微分方程的解為，微分方程的解為: :)(0) cos(e00tAxt220其中其中振幅振幅阻力阻力kx彈性恢復(fù)力彈性恢復(fù)力txFddf) cos(e00tAxt0A其中其中 和和 為積分常數(shù)為積分常數(shù), ,由初始條件決定。上式由初始條件決定。上式中的余弦項(xiàng)表征了在彈性力和阻力作用下的周期中的余弦項(xiàng)表征了在彈性力和阻力作用下的周期運(yùn)動(dòng)；運(yùn)動(dòng)； 反映了阻尼對(duì)振幅的影響。反映了阻尼對(duì)振幅的影響。0tetAe0txO減幅振動(dòng)減幅振動(dòng)220其中其中振幅振幅 阻尼振動(dòng)不是周期阻尼振動(dòng)不是周期性振動(dòng)，更不是簡(jiǎn)諧振性振動(dòng)，更不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，因位移不是時(shí)間的動(dòng)，因位移不是時(shí)間的周期函數(shù)。但阻尼振動(dòng)周期函數(shù)。但阻尼振動(dòng)有某種重復(fù)性。有某種重復(fù)性。 位移相繼兩次達(dá)到極大值的時(shí)間間隔叫做位移相繼兩次達(dá)到極大值的時(shí)間間隔叫做阻尼振阻尼振動(dòng)的周期動(dòng)的周期，有，有0220222T由于阻尼，振動(dòng)變慢了。由于阻尼，振動(dòng)變慢了。阻尼振動(dòng)的振幅為：阻尼振動(dòng)的振幅為：tAAe0 振幅隨時(shí)間作指數(shù)衰