自動控制原理第三章二階系統(tǒng)的數(shù)學模型及單位階躍響應

1、二、二階系統(tǒng)的數(shù)學模型及單位階躍響應二、二階系統(tǒng)的數(shù)學模型及單位階躍響應q定義：定義： 由二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階由二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。系統(tǒng)。二階系統(tǒng)數(shù)學模型二階系統(tǒng)數(shù)學模型二階系統(tǒng)的微分方程一般式為：二階系統(tǒng)的微分方程一般式為：阻尼比無阻尼振蕩頻率無阻尼振蕩頻率 n 2222( )( )2( )( )nnnd c tdc tc tr tdtdt(0)n二階系統(tǒng)的反饋結構圖二階系統(tǒng)的反饋結構圖)2(2nnss )(sR)(sC2(2)nns s二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù)：開環(huán)傳遞函數(shù)：222( )( )2nnnC sR sss2( )(2)nnG s

2、s s閉環(huán)傳遞函數(shù)：閉環(huán)傳遞函數(shù)：二階系統(tǒng)的特征方程為二階系統(tǒng)的特征方程為2220nnss解方程求得特征根：當輸入為階躍信號時，則微分方程解的形式為：12012( )s ts tc tAAeA e式中 為由r(t)和初始條件確定的待定的系數(shù)。 012,AAAs1,s2完全取決于完全取決于 ， n兩個參數(shù)。兩個參數(shù)。21,21nns q此時此時s1,s2為為一對共軛復一對共軛復根，且位于根，且位于復平面的左復平面的左半部。半部。01特征根分析 （欠阻尼）21,21nnssj 典型二階系統(tǒng)的暫態(tài)特性典型二階系統(tǒng)的暫態(tài)特性特征根分析（過阻尼）q此時此時s1,s2為兩個負為兩個負實根，且實根，且位于復

3、平位于復平面的負實面的負實軸上。軸上。21,21nns 1特征根分析（臨界阻尼）q此時此時s1,s2為為一對相等的一對相等的負實根。負實根。 s1=s2=- n21,21nnns 1特征根分析（無阻尼）q此時此時s1,s2為為一對純虛根，一對純虛根，位于虛軸上。位于虛軸上。qS1,2= j n21,21nnnsj 0特征根分析（負阻尼）q此時此時s1,s2為為一對實部為一對實部為正的共軛復正的共軛復根，位于復根，位于復平面的右半平面的右半部。部。21,21nnsj 10 特征根分析（負阻尼）q此時此時s1,s2為為兩個正實根，兩個正實根，且位于復平且位于復平面的正實軸面的正實軸上。上。21,2

4、1nns 1 二階系統(tǒng)單位階躍響應21111/nnsT 1. 過阻尼過阻尼 二階系統(tǒng)的單位階躍響應二階系統(tǒng)的單位階躍響應22211/nnsT 21212111( )()()(1)(1)nC ss s s ssTsTss 取C(s)拉氏反變換得：1211211211( )1,(0)/1/1ttTTh teetTTT T (1)222( )( )2nnnC sR sss由得過阻尼系統(tǒng)單位階躍響應t tc(t)c(t)0 0與一階系統(tǒng)階躍響應的比較t tc(t)c(t)0 0二階過阻尼系統(tǒng)二階過阻尼系統(tǒng)一階系統(tǒng)響應一階系統(tǒng)響應1 1過阻尼二階系統(tǒng)分析 衰減項的冪指數(shù)的絕對值一個大，一個小。絕對衰減項

5、的冪指數(shù)的絕對值一個大，一個小。絕對值大的離虛軸遠，衰減速度快，絕對值小的離虛值大的離虛軸遠，衰減速度快，絕對值小的離虛軸近，衰減速度慢；（指數(shù)關系）軸近，衰減速度慢；（指數(shù)關系） 衰減項前的系數(shù)一個大，一個??；衰減項前的系數(shù)一個大，一個?。?二階過阻尼系統(tǒng)的動態(tài)響應呈非周期性，沒有振二階過阻尼系統(tǒng)的動態(tài)響應呈非周期性，沒有振蕩和超調(diào)，但又不同于一階系統(tǒng)；蕩和超調(diào)，但又不同于一階系統(tǒng)； 離虛軸近的極點所決定的分量對響應產(chǎn)生的影響離虛軸近的極點所決定的分量對響應產(chǎn)生的影響大，離虛軸遠的極點所決定的分量對響應產(chǎn)生的大，離虛軸遠的極點所決定的分量對響應產(chǎn)生的影響小，有時甚至可以忽略不計。影響小，有時

6、甚至可以忽略不計。t tc(t)c(t)0 01211211211( )1,(0)/1/1ttTTh teetTTT T 過阻尼二階系統(tǒng)階躍響應指標分析0. 2 響響應應沒沒有有振振蕩蕩 0)()(lim. 1 tctretss誤差誤差對于過阻尼二階系統(tǒng)的響應指標，只著重討論對于過阻尼二階系統(tǒng)的響應指標，只著重討論 ，它反映了系統(tǒng)響應過渡過程的長短，是系統(tǒng)響應快它反映了系統(tǒng)響應過渡過程的長短，是系統(tǒng)響應快速性的一個方面，但確定速性的一個方面，但確定 的表達式是很困難的，的表達式是很困難的，一般取相對量一般取相對量 及及 經(jīng)計算機計算后制成曲線經(jīng)計算機計算后制成曲線或表格?；虮砀?。stst1/s

7、tT12/T Tt tc(t)c(t)0 02.欠阻尼欠阻尼 二階系統(tǒng)的單位階躍響應二階系統(tǒng)的單位階躍響應(01)21,21nnsj dj 222( )( )2nnnC sR sssn為根的實部的模值；21dn為阻尼振蕩角頻率欠阻尼欠阻尼二階二階系統(tǒng)單位響應系統(tǒng)的輸出系統(tǒng)單位響應系統(tǒng)的輸出2221( )2nnnc ssss22221()()nnndndssss拉氏反變換得：拉氏反變換得：2( )1cos(sin)1ntddc tett 21( )1sin(arccos )1ntdc tet 欠阻尼二階系統(tǒng)輸出分析q二階欠阻尼系統(tǒng)的單位階躍響應由穩(wěn)態(tài)分二階欠阻尼系統(tǒng)的單位階躍響應由穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)

8、分量組成。穩(wěn)態(tài)分量值等于量和暫態(tài)分量組成。穩(wěn)態(tài)分量值等于1，暫態(tài)分量為衰減過程，振蕩頻率為暫態(tài)分量為衰減過程，振蕩頻率為d。右圖為二階系統(tǒng)單位階躍響應的通用曲線21( )1sin(arccos )1ntdc tet 根據(jù)右圖分析系統(tǒng)的結構參數(shù) 、 對階躍響應的影響n 平穩(wěn)性（平穩(wěn)性（ ）21nteA暫態(tài)分量的振幅為：結論：結論： 越大，越大，d越小，幅值也越小，響應的越小，幅值也越小，響應的振蕩傾向越弱，超調(diào)越小，平穩(wěn)性越好。反之，振蕩傾向越弱，超調(diào)越小，平穩(wěn)性越好。反之， 越小，越小， d 越大，振蕩越嚴重，平穩(wěn)性越差。越大，振蕩越嚴重，平穩(wěn)性越差。21dn振蕩角頻率為：當當 0時，為零阻尼

9、響應，具有頻率為時，為零阻尼響應，具有頻率為 的不衰減的不衰減（等幅）振蕩。（等幅）振蕩。n阻尼比和超調(diào)量的關系曲線21dn在在 一定的情況下，一定的情況下， 越大，振蕩頻率越大，振蕩頻率 也越也越高，響應平穩(wěn)性也越差。高，響應平穩(wěn)性也越差。nd結論：對于欠阻尼二階系結論：對于欠阻尼二階系統(tǒng)而言，統(tǒng)而言， 大，大， 小，系小，系統(tǒng)響應的平穩(wěn)性好。統(tǒng)響應的平穩(wěn)性好。n 快速性快速性從圖中看出，對于5誤差帶，當 時，調(diào)節(jié)時間最短，即快速性最好。同時，其超調(diào)量5，平穩(wěn)性也較好，故稱 為最佳阻尼比。0.7070.707總結：總結： 越大，調(diào)節(jié)時間 越短；當 一定時， 越大，快速性越好。 nstn 穩(wěn)態(tài)

10、精度穩(wěn)態(tài)精度21( )1sin(arccos )1ntdh tet 從上式可看出，瞬態(tài)分量隨時間t的增長衰減到零，而穩(wěn)態(tài)分量等于1，因此，上述欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應穩(wěn)態(tài)誤差為零。補充說明：穩(wěn)態(tài)分量（steady state component）即周期性激勵作用于有損、線性和時不變的動態(tài)電路時，電路中所出現(xiàn)的與激勵周期相同的響應分量。瞬態(tài)分量（transient component）周期性激勵作用于有損、線性和時不變的動態(tài)電路時，從全響應中減去穩(wěn)態(tài)分量的剩余部分。穩(wěn)態(tài)分量就是時間趨向正無窮，也就是電路穩(wěn)定時的量。瞬態(tài)分量就是開關打開或閉合后瞬時值。欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應性能指標1.上升

11、時間上升時間 ：令 ，則st( )1rh t211sin(arccos )11ntdet所以：arccosrdt根據(jù)極值定理有：根據(jù)極值定理有：0)( pttdttdc該項不可能為零該項不可能為零2sin1npt21n ptne0 2.峰值時間：峰值時間：pt2sin10npt21(0 1, 2)nptnn，取n=1得:21pdnt3.超調(diào)量：超調(diào)量：%將峰值時間 代入下式/pdt 21( )1sin(arccos )1ntdh tet 得: 22/ 1/ 1max2( )( )1sin(arccos )11peh th te 所以:2/ 1()( )%100%100%( )ph theh4.

12、調(diào)節(jié)時間調(diào)節(jié)時間st寫出調(diào)節(jié)時間的表達式相當困難。在分析設計系統(tǒng)十，經(jīng)常采用下列近似公式。當阻尼比 時0.83.5(snt取5誤差帶）4.5(snt取2誤差帶）二階系統(tǒng)特征參數(shù)與暫態(tài)性能指標之間的關系 由阻尼比判斷一個二階系統(tǒng)的暫態(tài)品質：過阻尼時，單調(diào)線性，無超調(diào)，無振蕩，時間長。小于等于零時，有等幅振蕩或發(fā)散振蕩，系統(tǒng)不穩(wěn)。 一般欠阻尼工作。阻尼比過小，超調(diào)量大，振蕩次數(shù)多，調(diào)節(jié)時間長，品質差。最大超調(diào)量只與阻尼比有關，由其來選擇阻尼比。 調(diào)節(jié)時間與阻尼比和自然振蕩角頻率的乘機成反比。 阻尼比在0.4-0.8之間，此時超調(diào)量在1.5%-25% 三、 改善二階系統(tǒng)響應的措施1.誤差信號的比例微

13、分控制誤差信號的比例微分控制 系統(tǒng)開環(huán)傳函為：2(1)( )( )( )(2)ndnT sC sG sE ss s閉環(huán)傳函為：2222(1)( )( )( )(2)ndndnnT sC ssR ssTs等效阻尼比：12ddnT可見，引入了比例微分控制，使系統(tǒng)的等效阻尼可見，引入了比例微分控制，使系統(tǒng)的等效阻尼比加大了，從而抑制了振蕩，使超調(diào)減弱，可以改比加大了，從而抑制了振蕩，使超調(diào)減弱，可以改善系統(tǒng)的平穩(wěn)性。微分作用之所以能改善動態(tài)性能，善系統(tǒng)的平穩(wěn)性。微分作用之所以能改善動態(tài)性能，因為它產(chǎn)生一種早期控制（或稱為超前控制），能因為它產(chǎn)生一種早期控制（或稱為超前控制），能在實際超調(diào)量出來之前，

14、就產(chǎn)生一個修正作用。在實際超調(diào)量出來之前，就產(chǎn)生一個修正作用。前面圖的相應的等效結構由此知道：12( )( )( )c tc tc t2222(1)( )( )( )(2)ndndnnT sC ssR ssTs和 及 的大致形狀如下1( )c t2( )c t( )c t一方面，增加 項，增大了等效阻尼比 ，使 曲線比較平穩(wěn)。另一方面，它又使 加上了它的微分信號 ，加速了c(t)的響應速度，但同時削弱了等效阻尼比 的平穩(wěn)作用。dTd1( )c t1( )c t2( )c td2222(1)( )( )( )(2)ndndnnT sC ssR ssTs12ddnT總結：引入誤差信號的比例微分控制

15、，能否真正總結：引入誤差信號的比例微分控制，能否真正改善二階系統(tǒng)的響應特性，還需要適當選擇微分時改善二階系統(tǒng)的響應特性，還需要適當選擇微分時間常數(shù)間常數(shù) 。若。若 大一些，使大一些，使 具有過阻尼的具有過阻尼的形式，而閉環(huán)零點的微分作用，將在保證響應特性形式，而閉環(huán)零點的微分作用，將在保證響應特性平穩(wěn)的情況下，顯著地提高系統(tǒng)的快速性。平穩(wěn)的情況下，顯著地提高系統(tǒng)的快速性。dTdT1( )c t2.輸出量的速度反饋控制輸出量的速度反饋控制將輸出量的速度信號c(t)采用負反饋形式，反饋到輸入端并與誤差信號e(t)比較，構成一個內(nèi)回路，稱為速度反饋控制。如下圖示。閉環(huán)傳函為：2222( )( )(

16、)(2)nntnnC ssR ssKs等效阻尼比：12ttnK等效阻尼比增大了，振蕩傾向和超調(diào)量減小，改善了系統(tǒng)的平穩(wěn)性。3.比例微分控制和速度反饋控制比較比例微分控制和速度反饋控制比較從實現(xiàn)角度看，比例微分控制的線路結構比較簡單，成本低；而速度反饋控制部件則較昂貴。從抗干擾來看，前者抗干擾能力較后者差。從控制性能看，兩者均能改善系統(tǒng)的平穩(wěn)性，在相同的阻尼比和自然頻率下，采用速度反饋不足之處是其會使系統(tǒng)的開環(huán)增益下降，但又能使內(nèi)回路中被包圍部件的非線性特性、參數(shù)漂移等不利影響大大削弱。四、二階系統(tǒng)舉例四、二階系統(tǒng)舉例2 2q設位置隨動系統(tǒng)，其結構圖如圖所示，當給定輸入設位置隨動系統(tǒng)，其結構圖如

17、圖所示，當給定輸入為為單位階躍單位階躍時，試計算放大器增益時，試計算放大器增益KA200，1500，13.5時，輸出位置響應特性的性能指標：峰值時間時，輸出位置響應特性的性能指標：峰值時間tp，調(diào)節(jié)時間，調(diào)節(jié)時間ts和超調(diào)量和超調(diào)量，并分析比較之。，并分析比較之。)5 .34(5 ssKARC例題解析例題解析(1) 輸入：單位階躍輸入：單位階躍)(1)(ttr ssR1)( 閉環(huán)傳遞函數(shù)：閉環(huán)傳遞函數(shù)：AAKssKs55 .345)(2 )5 .34(5 ssKARC例題解析例題解析(2)當當KA 200時時10005 .341000)(2 sss 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)：與標準的二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)對照得：與標準的二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)對照得：34.50.5452n20.121pdnt峰值時間：秒2113%e超調(diào)量： 3.00.17snt調(diào)節(jié)時間：秒6 .311000 n 1rad s例題解析例題解析(3)當當KA 1500時時75005 .3415005)(2 sss 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)：與標準的二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)對照得：與標準的二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)對照得：6 .867500 n 34.50.22n20.03784.851pnt峰值時間：秒2152.7%e超調(diào)量： 3.00.17s