高中數(shù)學(xué)選修4—4坐標(biāo)系與參數(shù)方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、坐標(biāo)系與參數(shù)方程知識(shí)點(diǎn)1平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換設(shè)點(diǎn) P(x,y) 是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)xx(0),在變換 :y(的作用y0)下 , 點(diǎn) P(x,y)對(duì)應(yīng)到點(diǎn) P ( x , y ) , 稱為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換, 簡(jiǎn)稱伸縮變換.2. 極坐標(biāo)系的概念(1) 極坐標(biāo)系如圖所示, 在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O , 叫做極點(diǎn) , 自極點(diǎn) O 引一條射線 Ox , 叫做極軸 ; 再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位 , 一個(gè)角度單位 ( 通常取弧度 ) 及其正方向 ( 通常取逆時(shí)針方向 ), 這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系 .注 : 極坐標(biāo)系以角這一平面圖形為幾何背景, 而平面直角坐標(biāo)系以互相垂直的兩條數(shù)軸為

2、幾何背景 ; 平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)能建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系, 而極坐標(biāo)系則不可. 但極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系都是平面坐標(biāo)系.(2) 極坐標(biāo)設(shè) M是平面內(nèi)一點(diǎn) , 極點(diǎn) O 與點(diǎn) M的距離 |OM|叫做點(diǎn) M的極徑 , 記為; 以極軸 Ox 為始邊, 射線 OM 為終邊的角xOM 叫做點(diǎn) M的極角 , 記為. 有序數(shù)對(duì) (,) 叫做點(diǎn) M的極坐標(biāo),記作 M(,).一般地 , 不作特殊說明時(shí), 我們認(rèn)為0,可取任意實(shí)數(shù).特別地 , 當(dāng)點(diǎn) M 在極點(diǎn)時(shí) , 它的極坐標(biāo)為(0,)( R). 和直角坐標(biāo)不同, 平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)有無數(shù)種表示.如果規(guī)定0,02, 那么除極點(diǎn)外, 平面內(nèi)的點(diǎn)可用唯一的極

3、坐標(biāo)(,) 表示 ;同時(shí) , 極坐標(biāo) (, ) 表示的點(diǎn)也是唯一確定的.3. 極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化(1) 互化背景 : 把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn) ,x 軸的正半軸作為極軸 , 并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位 , 如圖所示 :(2) 互 化 公 式 : 設(shè) M 是 坐 標(biāo) 平 面 內(nèi) 任 意 一 點(diǎn) , 它 的 直 角 坐 標(biāo) 是 (x, y) , 極 坐 標(biāo) 是(,) (0), 于是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如表:點(diǎn) M直角坐標(biāo) ( x, y)極坐標(biāo) (, )xcos2x2y2互化公式y(tǒng) ( x 0)ysintanx在一般情況下 , 由 tan確定角時(shí) , 可根據(jù)點(diǎn) M 所在的象限最小正

4、角 .4. 常見曲線的極坐標(biāo)方程曲線圖形極坐標(biāo)方程圓心在極點(diǎn), 半徑r (02 )為 r 的圓圓心為 (r ,0) , 半徑2r cos ()為 r 的圓22圓 心 為 (r ,) , 半22r sin(0)徑為 r 的圓過極點(diǎn) , 傾斜角為(1)(R)或(R)的直線(2)(0)和(0)過點(diǎn) (a,0) , 與極軸cosa()垂直的直線22過 點(diǎn) (a,) , 與 極2sina(0)軸平行的直線注 :由于平面上點(diǎn)的極坐標(biāo)的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,), 都表示同一點(diǎn)的坐標(biāo), 這與點(diǎn)的直角坐標(biāo)的唯一性明顯不同 . 所以對(duì)于曲線上的點(diǎn)的極坐標(biāo)的多種表示形式, 只要求至少有一個(gè)

5、能滿足極坐標(biāo)方程即可.例如對(duì)于極坐標(biāo)方程,點(diǎn)M( ,)可以表示為44(,2 )或(,42 )或(-,5 )等多種形式 ,其中,只有 (,) 的極坐標(biāo)滿足方4444444程.二、參數(shù)方程1. 參數(shù)方程的概念一般地 , 在平面直角坐標(biāo)系中 ,如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x, y 都是某個(gè)變數(shù) t 的函數(shù)xf (t )M ( x, y) 都在這條曲線上 ,y , 并且對(duì)于 t 的每一個(gè)允許值 , 由方程組所確定的點(diǎn)g(t )那么方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程, 聯(lián)系變數(shù) x, y 的變數(shù) t叫做參變數(shù) , 簡(jiǎn)稱參數(shù) , 相對(duì)于參數(shù)方程而言, 直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程.2. 參數(shù)方程和普通方

6、程的互化(1) 曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式, 一般地可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程 .(2) 如果知道變數(shù) x, y 中的一個(gè)與參數(shù)t 的關(guān)系 , 例如 xf (t) , 把它代入普通方程 , 求出另一個(gè)變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系y g(t) , 那么xf (t )y就是曲線的參數(shù)方程 , 在參數(shù)方程與g(t )普通方程的互化中, 必須使 x, y 的取值范圍保持一致.注： 普通方程化為參數(shù)方程，參數(shù)方程的形式不一定唯一。應(yīng)用參數(shù)方程解軌跡問題，關(guān)鍵在于適當(dāng)?shù)卦O(shè)參數(shù)，如果選用的參數(shù)不同， 那么所求得的曲線的參數(shù)方程的形式也不同。3圓的參數(shù)如圖所示，設(shè)圓O 的半徑為 r ，點(diǎn)

7、M 從初始位置 M 0 出發(fā)，按逆時(shí)針方向在圓O 上作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè) M ( x, y) ，則xr cos為參數(shù))。y(r sin這就是圓心在原點(diǎn)O ，半徑為 r 的圓的參數(shù)方程，其中的幾何意義是 OM 0 轉(zhuǎn)過的角度。圓心為 (a, b) ，半徑為 r 的圓的普通方程是( x a)2( yb) 2r 2 ，xar cos它的參數(shù)方程為：ybr sin( 為參數(shù))。4橢圓的參數(shù)方程以坐標(biāo)原點(diǎn) O 為中心， 焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y21(a b0), 其參a2b2數(shù)方程為xa cos(為參數(shù) ) ，其中參數(shù)稱為離心角； 焦點(diǎn)在 y 軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方y(tǒng)b sin程是 y2x2x

8、b cos1(ab( 為參數(shù) ), 其中參數(shù)0), 其參數(shù)方程為a sin仍為離心a2b2y角，通常規(guī)定參數(shù)的范圍為0，2 ）。注： 橢圓的參數(shù)方程中，參數(shù)的幾何意義為橢圓上任一點(diǎn)的離心角，要把它和這一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角區(qū)分開來，除了在四個(gè)頂點(diǎn)處，離心角和旋轉(zhuǎn)角數(shù)值可相等外（即在0 到 2的范圍內(nèi)） ，在其他任何一點(diǎn)，兩個(gè)角的數(shù)值都不相等。但當(dāng)0時(shí)，相應(yīng)地也有20，在其他象限內(nèi)類似。25雙曲線的參數(shù)方程以坐標(biāo)原點(diǎn) O為中心，焦點(diǎn)在x 軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)議程為x2y21(a 0, b 0),a2b2xa sec為參數(shù) ) ，其中0, 2 )且,3 .其參數(shù)方程為y(b tan22焦 點(diǎn) 在 y 軸 上

9、的 雙 曲 線 的 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 是 y2x21(a0, b0),其參數(shù)方程為a2b2xb cot(為參數(shù)，其中(0,2且.ya csc)e以上參數(shù)都是雙曲線上任意一點(diǎn)的離心角。6拋物線的參數(shù)方程以 坐 標(biāo) 原 點(diǎn) 為 頂 點(diǎn) ， 開 口 向 右 的 拋 物 線 y22px( p0)的參數(shù)方程為x2 pt 2y(t為參數(shù) ).2 pt7直線的參數(shù)方程經(jīng)過點(diǎn) M 0 ( x0, y0 ) ，傾斜角為() 的直線 l的普通方程是 yy0tan ( x x0 ),2而過 M 0 ( x0 , y0 ) ，傾斜角為的直線 l 的參數(shù)方程為xx0t cos(t為參數(shù) ) 。yy0t sin注：直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義：過定點(diǎn) M 0 ( x0 , y0 ) ，傾斜角為的直線 l 的參數(shù)xx0tcost 表示直線lM 0 為起點(diǎn)，任一點(diǎn)方程為y0(t為參數(shù) ) ，其中上以定點(diǎn)ytsinM (x, y) 為終點(diǎn)