高中數(shù)學(xué)圓錐曲線詳解

1、優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載解圓錐曲線問題常用方法 +橢圓與雙曲線的經(jīng)典結(jié)論 +橢圓與雙曲線的對偶性質(zhì)總結(jié)解圓錐曲線問題常用以下方法：1、定義法（ 1）橢圓有兩種定義。第一定義中，r1+r 2=2a。第二定義中， r1=ed1r2=ed2 。（ 2）雙曲線有兩種定義。 第一定義中， r1r22a ，當(dāng) r1>r2 時，注意 r2 的最小值為c-a：第二定義中， r1=ed1，r 2=ed2，尤其應(yīng)注意第二定義的應(yīng)用，常常將半徑與“點(diǎn)到準(zhǔn)線距離”互相轉(zhuǎn)化。（ 3）拋物線只有一種定義，而此定義的作用較橢圓、雙曲線更大，很多拋物線問題用定義解決更直接簡明。2、韋達(dá)定理法因直線的方程是一次的，圓錐曲線的

2、方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點(diǎn)方法之一，尤其是弦中點(diǎn)問題，弦長問題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用。3、解析幾何的運(yùn)算中，常設(shè)一些量而并不解解出這些量，利用這些量過渡使問題得以解決，這種方法稱為“設(shè)而不求法” 。設(shè)而不求法對于直線與圓錐曲線相交而產(chǎn)生的弦中點(diǎn)問題，常用“點(diǎn)差法”，即設(shè)弦的兩個端點(diǎn)A(x 1,y1),B(x 2,y2),弦 AB 中點(diǎn)為 M(x 0,y0)，將點(diǎn) A 、 B 坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，作差后，產(chǎn)生弦中點(diǎn)與弦斜率的關(guān)系，這是一種常見的“設(shè)而不求”法，

3、具體有：x2y21(ab0) 與直線相交于x0y0k0 。（ 1）2b2A 、 B，設(shè)弦 AB 中點(diǎn)為 M(x 0,y0)，則有2b2aax2y21(a0,b0) 與直線 l 相交于 A 、 B，設(shè)弦 AB 中點(diǎn)為 M(x 0,y0)則有x0y0k0（ 2）2b2a2b2a（ 3） y2=2px （ p>0）與直線 l 相交于 A 、 B 設(shè)弦 AB 中點(diǎn)為 M(x 0,y0),則有 2y0k=2p, 即 y0k=p.【典型例題 】例 1、 (1) 拋物線 C:y2 =4x 上一點(diǎn) P 到點(diǎn) A(3,4 2 )與到準(zhǔn)線的距離和最小,則點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 _2。(2)拋物線 C: y =4x

4、 上一點(diǎn) Q 到點(diǎn) B(4,1) 與到焦點(diǎn) F 的距離和最小 ,則點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為分析：（1） A 在拋物線外，如圖，連PF，則 PHPF ，因而易發(fā)現(xiàn)，A當(dāng) A 、HQP、 F 三點(diǎn)共線時，距離和最小。PBF優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載（ 2）B 在拋物線內(nèi)，如圖，作 QR l 交于 R，則當(dāng) B 、 Q、 R 三點(diǎn)共線時，距離和最小。解：（ 1）（ 2， 2 ）連 PF，當(dāng) A 、P、F 三點(diǎn)共線時， AP PHAPPF 最小，此時 AF 的方程為 y4 20 ( x 1) 即31y=2 2 (x-1), 代入 y2=4x 得 P(2,2 2 )，（注：另一交點(diǎn)為(1 , 2 )，它為直線 AF

5、與拋物線的另一交點(diǎn)，舍去）21（ 2）（,1）過 Q 作 QR l 交于 R，當(dāng) B 、 Q、 R 三點(diǎn)共線時，BQQFBQQR 最小，此時 Q 點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 1，代入 y2=4x 得 x= 1 ， Q( 1 ,1)44點(diǎn)評：這是利用定義將“點(diǎn)點(diǎn)距離”與“點(diǎn)線距離”互相轉(zhuǎn)化的一個典型例題，請仔細(xì)體會。例 、F是橢圓 x 2y 21 的右焦點(diǎn)，A(1,1)為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，P為橢圓上一動點(diǎn)。243（1） PAPF 的最小值為yAPH（2） PA2 PF 的最小值為F 0 Fx分析： PF 為橢圓的一個焦半徑，常需將另一焦半徑PF 或準(zhǔn)線作出來考慮問題。解：（ 1） 4-5設(shè)另一焦點(diǎn)為F ，則 F

6、(-1,0)連 A F ,PFPAPFPA 2a PF 2a( PFPA ) 2a AF4 5當(dāng) P 是F A的延長線與橢圓的交點(diǎn)時, PAPF 取得最小值為 4-5 。（ 2） 3作出右準(zhǔn)線 l ，作 PH l 交于 H ，因 a2=4 ， b2=3，c2=1， a=2， c=1， e=1，2 PF1 PH ,即2 PFPH2 PA2PF PAPH當(dāng) A 、 P、 H 三點(diǎn)共線時，其和最小，最小值為a2xA 4 1 3c例 3、動圓 M 與圓 C1:(x+1) 2+y 2=36 內(nèi)切 ,與圓 C2:(x-1) 2+y 2=4 外切 ,求圓心 M 的軌跡方程。分析： 作圖時，要注意相切時的“圖

7、形特征”：兩個圓心與切點(diǎn)這三點(diǎn)y共線（如圖中的 A 、 M 、C 共線， B、 D、 M 共線）。列式的主要途徑是動圓的C“半徑MDA0B5x優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載等于半徑”（如圖中的MCMD ）。解：如圖，MCMD， ACMAMBDB即6MAMB2MAMB8（*）點(diǎn) M 的軌跡為橢圓，2x2y22a=8， a=4， c=1， b =15軌跡方程為11615點(diǎn)評：得到方程（* ）后，應(yīng)直接利用橢圓的定義寫出方程，而無需再用距離公式列式求解，即列出( x1) 2y 2(x1) 2y 24 ，再移項，平方，相當(dāng)于將橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)了一遍，較繁瑣！例 4、 ABC 中， B(-5,0),C(5,0),

8、 且 sinC-sinB= 3 sinA, 求點(diǎn) A 的軌跡方程。5分析： 由于 sinA 、sinB 、sinC 的關(guān)系為一次齊次式，兩邊乘以2R（ R 為外接圓半徑） ，可轉(zhuǎn)化為邊長的關(guān)系。解： sinC-sinB=3sinA2RsinC-2RsinB=3 · 2RsinA55AB AC3 BC5即AB AC 6（*）點(diǎn) A 的軌跡為雙曲線的右支（去掉頂點(diǎn)） 2a=6， 2c=10 a=3， c=5， b=4所求軌跡方程為x 2y21 （ x>3）916點(diǎn)評： 要注意利用定義直接解題，這里由（* ）式直接用定義說明了軌跡（雙曲線右支）例 5、定長為3 的線段 AB 的兩個端

9、點(diǎn)在y=x 2 上移動， AB 中點(diǎn)為 M ，求點(diǎn) M 到 x 軸的最短距離。分析：（ 1）可直接利用拋物線設(shè)點(diǎn)，如設(shè)22A(x 1,x1 )， B(x2，X 2 ) ，又設(shè) AB 中點(diǎn)為 M(x 0y0)用弦長公式及中點(diǎn)公式得出 y0 關(guān)于 x0 的函數(shù)表達(dá)式，再用函數(shù)思想求出最短距離。（ 2）M 到 x 軸的距離是一種“點(diǎn)線距離”，可先考慮 M 到準(zhǔn)線的距離，想到用定義法。解法一： 設(shè) A(x 1 ，x12)， B(x2 ，x22)， AB中點(diǎn) M(x 0， y0)( x1x2 )2( x12x22 ) 29 則 x1x22x0x12x222 y0由得 (x1-x2)21+(x 1+x 2

10、)2=9優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載即 (x 1+x 2)2-4x1x2 · 1+(x 1+x2 )2=9由、得2x 1x2=(2x 0)2-2y 0=4x02-2y0代入得(2x2-(8x2-4y0) · 1+(2x20 )00) =9 4 y0 4x029，14x024y0 4x029(4x021)914x024x021291 5,5y04當(dāng) 4x02+1=3即 x02時， ( y0 ) min5此時 M(2,5)2424法二： 如圖，2MM 2 AA2BB2 AF BF AB 3313MM2，即MM1，2425A， 當(dāng) AB 經(jīng)過焦點(diǎn) F 時取得最小值。 MM1A142A5

11、M 到 x 軸的最短距離為4點(diǎn)評： 解法一是列出方程組，利用整體消元思想消x1， x2，從而形成yMB0MB1x122MBy0 關(guān)于 x0 的函數(shù)，這是一種“設(shè)而不求”的方法。而解法二充分利用了拋物線的定義，巧妙地將中點(diǎn)M 到 x 軸的距離轉(zhuǎn)化為它到準(zhǔn)線的距離，再利用梯形的中位線，轉(zhuǎn)化為A 、 B 到準(zhǔn)線的距離和，結(jié)合定義與三角形中兩邊之和大于第三邊（當(dāng)三角形“壓扁”時，兩邊之和等于第三邊）的屬性，簡捷地求解出結(jié)果的，但此解法中有缺點(diǎn)，即沒有驗證AB 是否能經(jīng)過焦點(diǎn)F，而且點(diǎn) M 的坐標(biāo)也不能直接得出。例 6、已知橢圓 x 2y 21( 2 m 5) 過其左焦點(diǎn)且斜率為1 的直線與橢圓及準(zhǔn)線從

12、左到右依次變于A 、mm1B 、 C、 D、設(shè) f(m)=ABCD ,（1）求 f(m), （ 2）求 f(m) 的最值。分析： 此題初看很復(fù)雜，對f(m) 的結(jié)構(gòu)不知如何運(yùn)算，因A、 B 來源于“不同系統(tǒng)” ， A 在準(zhǔn)線上， B 在橢圓上，同樣C 在橢圓上， D 在準(zhǔn)線上，可見直接求解較繁，將這些線段“投影”到x 軸上，立即可得防優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載f (m)( xBxA )2( xDxC )22 ( x Bx A )(xDX C )2 ( xBxC )( xAxD )yD2 (xB X C )CF0 F2x1此時問題已明朗化，只需用韋達(dá)定理即可。BA解：（ 1）橢圓x2y 21222mm

13、中， a =m ， b =m-1， c =1，左焦點(diǎn) F1(-1,0)1則 BC:y=x+1, 代入橢圓方程即(m-1)x 2+my 2-m(m-1)=0得 (m-1)x 2+m(x+1) 2-m2+m=0 (2m-1)x 2+2mx+2m-m 2=0設(shè) B(x 1,y1),C(x 2,y2),則 x1+x2 =-2m(2 m 5)2m1f (m)ABCD2 (xBx A )( xDxC )2 (x1x2 ) ( x AxC )2 x1x22m212m（ 2） f (m)2m112 (11)212m2m1當(dāng) m=5 時， f (m) min1029當(dāng) m=2 時， f (m) max423點(diǎn)評

14、：此題因最終需求xBxC ，而 BC 斜率已知為1，故可也用 “點(diǎn)差法” 設(shè) BC 中點(diǎn)為 M(x 0,y0),通過將 B、x0y0k0 ，將 y0=x 0+1 ， k=1x0x01， x0mC 坐標(biāo)代入作差，得m代入得m0，可見m1m12m 1xB2mxC12m當(dāng)然， 解本題的關(guān)鍵在于對f (m)ABCD 的認(rèn)識， 通過線段在 x 軸的“投影”發(fā)現(xiàn)f (m)xBxC優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載是解此題的要點(diǎn)?！就骄毩?xí) 】1、已知： F1， F2 是雙曲線 x2y21的左、右焦點(diǎn)，過F1 作直線交雙曲線左支于點(diǎn)A 、B，若 ABm ，a2b2 ABF 2 的周長為（）A 、 4aB、 4a+mC、

15、4a+2mD、 4a-m2、若點(diǎn) P 到點(diǎn) F(4,0) 的距離比它到直線x+5=0 的距離小 1，則 P 點(diǎn)的軌跡方程是（）A 、 y2=-16xB 、 y2 =-32xC、 y2=16xD、 y2=32x3、已知 ABC 的三邊 AB 、 BC、AC 的長依次成等差數(shù)列，且ABAC ，點(diǎn) B、C 的坐標(biāo)分別為 (-1，0)，(1 ，0) ，則頂點(diǎn) A 的軌跡方程是（）x2y21x2y21(x0)A 、3B 、344x2y21(x 0)x 2y21( x0且 y 0)C、3D、3444、過原點(diǎn)的橢圓的一個焦點(diǎn)為F(1， 0)，其長軸長為4，則橢圓中心的軌跡方程是（）A 、 (x1) 2y 2

16、9 ( x1)B 、 ( x1 )2y 29 (x1)2424C、 x2( y1) 29 ( x1)D 、 x2( y1) 29 (x1)24245、已知雙曲線x2y 291 上一點(diǎn) M 的橫坐標(biāo)為 4，則點(diǎn) M 到左焦點(diǎn)的距離是166、拋物線 y=2x2 截一組斜率為2 的平行直線，所得弦中點(diǎn)的軌跡方程是7、已知拋物線y2=2x 的弦 AB 所在直線過定點(diǎn)p(-2，0) ，則弦 AB 中點(diǎn)的軌跡方程是8、過雙曲線x2-y2=4 的焦點(diǎn)且平行于虛軸的弦長為9、直線 y=kx+1 與雙曲線 x2-y2 =1 的交點(diǎn)個數(shù)只有一個，則k=x 2y2sin F1PF2 的最大值。10、設(shè)點(diǎn) P 是橢圓

17、1上的動點(diǎn)， F1， F2 是橢圓的兩個焦點(diǎn)，求259優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載11、已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x 軸上，左焦點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)、右焦點(diǎn)、右準(zhǔn)線的距離依次成等差數(shù)列，若直線 l 與此橢圓相交于A 、B 兩點(diǎn)，且AB 中點(diǎn) M 為 (-2， 1)， AB4 3 ，求直線 l 的方程和橢圓方程。x2y21( a 0, b 0) 及其漸近線的交點(diǎn)從左到右依次為A 、B 、C、D。求證：12、已知直線 l 和雙曲線2b2aABCD 。【參考答案 】1、 CAF2AF12a, BF2BF12a ，4,42 ,選CBF2ABa AF2BF2 ABamAF22、 C點(diǎn) P 到 F 與到 x+4=0 等

18、距離， P 點(diǎn)軌跡為拋物線p=8 開口向右，則方程為y2 =16x，選 C3、 D AB AC 2 2，且 AB AC點(diǎn) A 的軌跡為橢圓在y 軸右方的部分、又A 、 B、 C 三點(diǎn)不共線，即y 0，故選 D 。4、 A設(shè)中心為 (x， y)，則另一焦點(diǎn)為(2x-1 ， 2y)，則原點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離和為4 得 1(2 x 1) 2(2 y)24 ，( x1) 2y 2924又 c<a,( x 1)2y 22 (x-1) 2+y 2<4 ，由，得 x -1，選 A295、3優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載左準(zhǔn)線為 x=- 9 ， M 到左準(zhǔn)線距離為 d 4 (9)29則 M 到左焦點(diǎn)的距離為 ed

19、529295553536、 x1 ( y1 )22設(shè)弦為 AB ， A(x 1，y1)， B(x 2， y2)AB 中點(diǎn)為 (x， y)，則 y1=2x 12， y2=2x 22， y1-y2=2(x 12-x22)y1y22(x1x2 )1x2 2=2 ·2x， xx12將 x1代入 y=2x 2 得 y1，軌跡方程是 x1(y>1)22227、 y2=x+2(x>2)設(shè) A(x 1， y1)， B(x 2， y2)， AB 中點(diǎn) M(x ，y)，則y122x1 , y222x2 , y12y222( x1x2 ), y1y2 ( y1 y2 ) 2x1x2 k ABk

20、MPy0 ，y2y2 ，即 y2=x+2x2x2又弦中點(diǎn)在已知拋物線內(nèi)P，即 y2<2x ，即 x+2<2x ， x>28、 4a2b 24, c 28, c2 2，令 x2 2 代入方程得 8-y2=4 y2 =4， y= ± 2，弦長為 49、2或1y=kx+1 代入 x2-y2=1 得 x2-(kx+1) 2-1=0 (1-k2)x2-2kx-2=01 k 20得 4k22， k=2+8(1-k )=00 1-k2=0 得 k= ± 1222y10、解： a =25 ， b =9，c =16設(shè) F1、 F2 為左、右焦點(diǎn)，則F1(-4， 0)F2(4

21、， 0)P設(shè) PFr , PFr, F122PF2Fx1121F則 r1r2 2r12r222r1r2 cos(2c) 2 2-得 2r1r2(1+cos )=4b 24b22b 2 r1 +r2 2 r1 r2 ， r1r 2 的最大值為2 1+cos=r1r2a2r1 r2 1+cos的最小值為 2b2，即 1+cos18a 225優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載cos77時， sin 取值得最大值1， 0arccos 則當(dāng)25252即 sinF1PF2 的最大值為 1。11、設(shè)橢圓方程為x2y 21(a b 0)a 2b 2由題意： C、2C、 a2c 成等差數(shù)列，c 4c ca 2c即 a 22c

22、 2 ，c a2=2(a 2-b2), a2=2b2橢圓方程為x 2y 21，設(shè) A(x1， y1)， B(x 2， y2)b22b2則 x12y121x22y2212b2b22b2b2 -得 x12x22y12y2202b2b2 xmymk02b2b 2即2k0 k=12直線 AB方程為 y-1=x+2 即 y=x+3 ， 代入橢圓方程即x2+2y2-2b2=0 得 x2+2(x+3) 2-2b2=0 3x2+12x+18-2b 2=0，ABx1x2 11112 212(18 2b 2 ) 2 4 332橢圓方程為x 2y 21 ，直線 l 方程為 x-y+3=0解得 b =12，24121

23、2、證明：設(shè) A(x1， y1)， D(x2， y2)， AD 中點(diǎn)為 M(x 0， y0)直線 l 的斜率為 k，則x12y121 -得2x02 y0k0a 2b 2a 2b2x222y21a 2b 2設(shè) B(x1 , y1 ), C (x2 , y2 ), BC中點(diǎn)為 M ( x0 , y0 ) ，x112y11 20 則 a 2b21212x2y20 a 2b 2 -得 2x12 y01k 0 a 2b2優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載2x2 y0 上，而 M 、 M 又在直線 l 上 ，由、知M 、 M 均在直線 l :2b2 ka若 l 過原點(diǎn)，則 B、 C 重合于原點(diǎn)，命題成立若 l 與 x

24、軸垂直，則由對稱性知命題成立若 l 不過原點(diǎn)且與 x 軸不垂直，則 M 與 M 重合 AB CD橢圓與雙曲線的對偶性質(zhì)總結(jié)橢圓1.點(diǎn) P 處的切線PT 平分 PF1F2 在點(diǎn) P 處的 外角 .優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載2.PT 平分 PF1F2 在點(diǎn) P 處的外角， 則焦點(diǎn)在直線PT 上的射影H 點(diǎn)的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點(diǎn) .3. 以焦點(diǎn)弦 PQ 為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線 相離 .4. 以焦點(diǎn)半徑 PF1 為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切 .5.若 P0 (x0 , y0 )在橢圓x2y21上，則過 P0x0 xy0 y1.a2b2的橢圓的切線方程是b2a26.若 P0 (x0

25、 , y0 ) 在橢圓x2y21外 ，則過 Po 作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為P1、 P2，則切點(diǎn)弦a2b2是 x0xy0 y1.a2b27.x2y21 (a b 0)的左右焦點(diǎn)分別為1，F(xiàn)2，點(diǎn) P 為橢圓上任意一點(diǎn)F1PF2橢圓b2Fa2角形的面積為 S F PF2b2 tan .12x2y28.1（ a b 0）的焦半徑公式：橢圓 a2b2| MF1 | aex0 , | MF2 |a ex0 ( F1 ( c,0) ,F2 (c,0)M ( x0 , y0 ) ).P1P2 的直線方程，則橢圓的焦點(diǎn)9.設(shè)過橢圓焦點(diǎn)F 作直線與橢圓相交P、Q 兩點(diǎn)， A 為橢圓長軸上一個頂點(diǎn)，連結(jié) AP 和

26、AQ 分別交相應(yīng)于焦點(diǎn) F 的橢圓準(zhǔn)線于 M 、N 兩點(diǎn)，則 MF NF.10.過橢圓一個焦點(diǎn)F 的直線與橢圓交于兩點(diǎn)P、 Q, A 1、 A 2 為橢圓長軸上的頂點(diǎn)，A 1P 和 A2Q 交于點(diǎn) M，A2P和 A 1Q 交于點(diǎn) N，則 MF NF.11.x2y21 的不平行于對稱軸的弦， M (x0 , y0 ) 為 AB 的中點(diǎn)，則kOMkABb2AB 是橢圓2b2a2，a即 KABb2 x0。a 2 y012.若 P0 (x0, y0 ) 在橢圓 x2y21內(nèi)，則被 Po 所平分的中點(diǎn)弦的方程是x0 xy0 yx02y02.a2b2a2b2a2b213.若 P0 (x0, y0 ) 在橢

27、圓x2y2x2y2x0 x y0 y2b21內(nèi)，則過 Po 的弦中點(diǎn)的軌跡方程是2b2a2b2 .aa雙曲線1. 點(diǎn) P 處的切線 PT 平分 PF1F2 在點(diǎn) P 處的 內(nèi)角 .2.PT 平分 PF1F2 在點(diǎn) P 處的內(nèi)角， 則焦點(diǎn)在直線PT 上的射影 H 點(diǎn)的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點(diǎn).3. 以焦點(diǎn)弦 PQ 為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線 相交 .4.以焦點(diǎn)半徑PF1 為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓相切 .（內(nèi)切： P 在右支；外切：P 在左支）x 25. 若 P0 ( x0 , y0 ) 在雙曲線 a2x 26. 若 P0 ( x0 , y0 ) 在雙曲線 a2切點(diǎn)弦 P1P2

28、 的直線方程是y21（ a 0,b 0）上，則過 P0x0 xy0 y1.b2的雙曲線的切線方程是b2a2y21（ a 0,b 0）外 ，則過 Po 作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為P1、 P2 ，則2bx0 xy0 y1.a2b2優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載7.x2y21（ a 0,b o）的左右焦點(diǎn)分別為F1， F 2，點(diǎn) P 為雙曲線上任意一點(diǎn)F1PF2，雙曲線b2a2則雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為 S F1 PF2b2co t .28.x2y21（ a 0,b o）的焦半徑公式： ( F1(c,0), F2 (c,0)雙曲線b2a2當(dāng) M ( x0 , y0 ) 在右支上時， | MF1 | ex0a ,

29、 | MF 2 |ex0a .當(dāng) M ( x0 , y0 ) 在左支上時， | MF1 |ex0a ,| MF2 |ex0a9.設(shè)過雙曲線焦點(diǎn)F 作直線與雙曲線相交P、Q 兩點(diǎn)， A 為雙曲線長軸上一個頂點(diǎn)， 連結(jié) AP 和 AQ 分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F 的雙曲線準(zhǔn)線于 M 、 N 兩點(diǎn)，則 MF NF.10.過雙曲線一個焦點(diǎn)F 的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)P、 Q, A 1、 A2 為雙曲線實軸上的頂點(diǎn)，A1P和 A2Q 交于點(diǎn) M，A2P 和 A1Q 交于點(diǎn) N，則 MF NF.11.AB是雙曲線x2y21 （ a 0,b 0 ）的不平行于對稱軸的弦，M ( x0 , y0 ) 為 AB 的中點(diǎn)，則

30、a2b2KOM K ABb2 x0 ，即 K ABb 2 x0 。a 2 y0a2 y012.若 P0 ( x0 , y0 )在雙曲線x2y21 （ a 0,b 0 ） 內(nèi) ， 則 被 Po 所 平 分 的 中 點(diǎn) 弦 的 方 程 是a2b2x0 x y0 y x0 2y0 2a2b2a2b2 .13.若 P0 (x0, y0 )在雙曲線x2y21 （ a 0,b 0 ） 內(nèi) ， 則 過Po 的 弦 中 點(diǎn) 的 軌 跡 方 程 是a2b2x2y2x0 xy0 ya22a2b2 .b橢圓與雙曲線的經(jīng)典結(jié)論橢圓1.x2y21（ a b o）的兩個頂點(diǎn)為 A1 (a,0), A2 ( a,0) ，與

31、 y 軸平行的直線交橢圓于P1 、P2 時橢圓2b2aA 1P1 與 A 2P2 交點(diǎn)的軌跡方程是x2y21.a2b2x222.過橢圓y1(a 0, b 0)上任一點(diǎn) A(x0 , y0 ) 任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于B,C 兩點(diǎn)，a2b2b2 x0 （常數(shù)） .則直線 BC 有定向且 kBCa2 y03.若 P為橢圓x2y21 （ a b 0 ）上 異于長軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1, F 2 是焦點(diǎn),PF1 F2,a2b2優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載PF2 F1acco t.，則tanac224.設(shè)橢圓x2y21（ a b 0）的兩個焦點(diǎn)為F1、F2,P（異于長軸端點(diǎn)）為橢圓上任意一點(diǎn)，在PF1F

32、2a2b2F1PF,PF1 F2,F1 F2Psinc中，記2，則有sinsine.a5.若橢圓x2y 21（ a b0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、 F2，左準(zhǔn)線為L ，則當(dāng)0 e21時，可a2b2在橢圓上求一點(diǎn)P，使得 PF1 是 P 到對應(yīng)準(zhǔn)線距離d 與 PF2 的比例中項 .6. P 為橢圓x2y21 （ a b 0 ） 上 任 一 點(diǎn) ,F1,F2為二焦點(diǎn)，A 為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，則a2b22a | AF2 |PA| PF1 | 2a | AF1 |,當(dāng)且僅當(dāng) A, F2 , P 三點(diǎn)共線時，等號成立 .7.橢 圓(x x0 ) 2( y y0 ) 21 與 直 線 AxBy C 0 有 公 共 點(diǎn) 的 充 要 條 件 是a2b2A2 a2B2b2( Ax0By0C)2.8.已知橢圓x2y21 （ a b 0 ）， O為坐標(biāo)原點(diǎn)， P、 Q為橢圓上兩動點(diǎn)，且OPOQ .（ 1）a2b2111122的最大值為4a2b2a2b22222 ; （ 2）|OP| +|OQ|2