高中數(shù)學(xué)圓錐曲線解題技巧方法總結(jié)及高考試題和答案

1、圓錐曲線1. 圓錐曲線的兩定義 ：第一定義 中要 重視“括號(hào)” 內(nèi)的限制條件：橢圓中 ，與兩個(gè)定點(diǎn) F 1 ， F 2 的距離的和等于常數(shù)2a，且此 常數(shù) 2a 一定要大于F1 F2，當(dāng)常數(shù)等于 F1F2時(shí)，軌跡是線段 F 1 F 2 ，當(dāng)常數(shù)小于F1 F2 時(shí)，無軌跡； 雙曲線中，與兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a ，且此常數(shù)2a 一定要小于 | F 1 F 2 | ，定義中的 “絕對(duì)值”與 2a |F1 F 2 | 不可忽視 。若 2a |F1F2 | ，則軌跡是以 F1 ，F(xiàn)2為端點(diǎn)的兩條射線， 若 2a |F 1 F 2 | ，則軌跡不存在。 若去掉定義中的絕對(duì)值則軌跡僅

2、表示雙曲線的一支。如 方 程2y2228表示的( x 6 )(x 6) y形的面積最大值為1 時(shí)，則橢圓長(zhǎng)軸的最小值為_（答：2 2 ）（2）雙曲線 （以x2y2a21 （ a 0, b 0 ）為b2例）： 范圍 ： xa 或 xa, y R ； 焦點(diǎn)：兩個(gè)焦點(diǎn) ( c,0) ； 對(duì)稱性 ：兩條對(duì)稱軸 x 0, y 0 ，一個(gè)對(duì)稱中心（0,0 ），兩個(gè)頂點(diǎn) ( a,0) ，其中實(shí)軸長(zhǎng)為2 a ，虛軸長(zhǎng)為2b ，特別地，當(dāng)實(shí)軸和虛軸的長(zhǎng)相等時(shí)，稱為等軸雙曲線，其方程可設(shè)為x2y2k, k0 ； 準(zhǔn)線 ：兩條準(zhǔn)線 xa2； cc離 心 率 ： ee 1 ， 等 軸 雙 曲 線，雙曲線ae2 ， e

3、 越小，開口越小，e 越大，開口越大；于雙曲線 Sb2（1）短軸長(zhǎng)為5 ，。 如tan2y 2練習(xí)：點(diǎn) P 是雙曲線上 x 21 上一點(diǎn)， F1, F2 為12雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)， 且 PFPF2=24，求PF1 F2 的周1長(zhǎng)。8、拋物線中與焦點(diǎn)弦有關(guān)的一些幾何圖形的性質(zhì) ：（1）以過焦點(diǎn)的弦為直徑的圓和準(zhǔn)線相切； （2）設(shè) AB為焦點(diǎn)弦， M 為準(zhǔn)線與 x 軸的交點(diǎn)，則 AMF BMF；（3）設(shè) AB為焦點(diǎn)弦， A、 B 在準(zhǔn)線上的射影分別為 A1 ，B1 ，若 P 為 A1 B1 的中點(diǎn)，則 PAPB；（ 4）若 AO的延長(zhǎng)線交準(zhǔn)線于 C，則 BC平行于 x 軸，反之，若過 B 點(diǎn)平行于

4、x 軸的直線交準(zhǔn)線于 C 點(diǎn)，則 A， O， C三點(diǎn)共線。曲線是 _（答：雙曲線的左支）2. 圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 （標(biāo)準(zhǔn)方程是指中心 （頂點(diǎn)） 在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)位置的方程） ： 兩條漸近線 ： yb x 。9、弦長(zhǎng)公式 ：若直線 y kx b 與圓錐曲線相交于兩（ 3 ）拋物線 （以 y2a點(diǎn) A 、 B，且 x1, x2 分別為 A 、 B 的橫坐標(biāo)，則 AB 2 px( p 0) 為例）： 范圍 ：（ 1 ） 橢 圓 ： 焦 點(diǎn) 在 x 軸 上 時(shí) x 2y 21a 2b 2（ ab 0 ）， 焦 點(diǎn) 在y軸 上 時(shí) y 2x2 1a 2b2（ ab 0 ）。方程 Ax2By

5、 2C 表示橢圓的充要條件是什么？（ ABC 0，且 A ， B ，C 同號(hào)， A B ）。若 x, yR ，且 3x22y26 ，則 xy 的最大值是 _， x2y2 的最小值是 _（答：5,2）（ 2）雙曲線 ：焦點(diǎn)在 x 軸上： x 2y 2=1 ，焦x0, y R ；焦點(diǎn)：一個(gè)焦點(diǎn)( p ,0) ，其中 p 的幾2何意義是： 焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離； 對(duì)稱性 ：一條對(duì)稱軸y0 ，沒有對(duì)稱中心，只有一個(gè)頂點(diǎn)（0,0）；準(zhǔn)線 ：一 條 準(zhǔn) 線 xpc； 離 心 率 ： e，拋物線2ae 1。如設(shè) a 0, a R，則拋物線 y 4ax2 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_ （答： ( 0,1 ) ）；16a1k2x

6、1x2，若 y1 , y2 分別為 A 、B 的縱坐標(biāo)，則AB 112y1 y2 ，若弦 AB 所在直線方程設(shè)為kxkyb ，則 AB 1 k2 y1 y2 。特別地，焦點(diǎn)弦（過焦點(diǎn)的弦） ：焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)的計(jì)算，一般不用弦長(zhǎng)公式計(jì)算，而是將焦點(diǎn)弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解。10、圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題：遇到中點(diǎn)弦問題常用“韋22a 2b 2點(diǎn) 在 y 軸 上 ： yx22 1 （ a 0, b0）。方程Ax2By2abC 表示雙曲線的充要條件是什么？（ ABC 0，且 A ，B 異號(hào)）。如 設(shè)中心在坐標(biāo)原點(diǎn) O ，焦點(diǎn) F1 、 F2 在坐標(biāo)軸上，離心率 e2 的雙曲線 C過點(diǎn) P

7、(4, 10)，則 C的方程為 _（答： x2y26）（ 3）拋物線 ：開口向右時(shí)y22 px( p0) ，開5 、點(diǎn) P( x0x 2y 2, y0 ) 和橢圓2b 2a關(guān)系 ：（ 1）點(diǎn) P( x , y ) 在橢圓外00點(diǎn) P( x0 , y0 ) 在 橢 圓 上x02a 2P( x0 , y0 ) 在橢圓內(nèi)x02y02a2b21（ ab 0 ）的x02y021；（2）a2b22y0b 2 1 ；（ 3 ） 點(diǎn)1達(dá)定理”或“點(diǎn)差法”求解。在橢圓 x2y 21中，以 P( x0 , y0 ) 為中點(diǎn)的弦所在a2b2直線的斜率k= b2 x0 ；a 2 y0弦所在直線的方程：垂直平分線的方程

8、：在雙曲線 x2y21 中，以 P( x0 , y0 ) 為中點(diǎn)的弦所在a2b22口 向 左 時(shí) y22 p x( p 0，) 開 口 向 上 時(shí)x22 py( p 0) ，開口向下時(shí) x22 py( p 0) 。6直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：（ 1）相交： 0 直線與橢圓相交； 0 直線與雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不一定有0 ，當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲直線的斜率 k= b x0 ；在拋物線 y 22 px( p 0) 中，a 2 y0以 P( x0 , y0 ) 為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k=p 。y3. 圓錐曲線焦點(diǎn)位置的判斷（首先化成標(biāo)準(zhǔn)方程， 然后線相交且只有一個(gè)交點(diǎn)，

9、故0 是直線與雙曲線相交再判斷）：的充分條件，但不是必要條件；0直線與拋物（ 1）橢圓 ：由 x 2 ,y 2 分母的大小決定，焦點(diǎn)在線相交，但直線與拋物線相交不一定有0，當(dāng)直線分母大的坐標(biāo)軸上。與拋物線的對(duì)稱軸平行時(shí)， 直線與拋物線相交且只有一個(gè)交點(diǎn)，故0也僅是直線與拋物線相交的充分條x 2y 2如已知方程1表示焦點(diǎn)在 y軸m12m件，但不是必要條件。（2）相切：0直線與橢圓相切；0直上的橢圓，則 m 的取值范圍是 _（答：,1)3)）線與雙曲線相切；0直線與拋物線相切；(1,（3）相離：0直線與橢圓相離；0直2（ 2）雙曲線 ：由 x2, y2線與雙曲線相離；0直線與拋物線相離。項(xiàng)系數(shù)的正

10、負(fù)決定，焦點(diǎn)在系數(shù)為正的坐標(biāo)軸上；提醒 ：（ 1）直線與雙曲線、 拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)（ 3）拋物線 ：焦點(diǎn)在一次項(xiàng)的坐標(biāo)軸上，一次項(xiàng)時(shí)的位置關(guān)系有兩種情形：相切和相交。 如果直線與雙的符號(hào)決定開口方向。曲線的漸近線平行時(shí),直線與雙曲線相交,但只有一個(gè)交提醒 ：在橢圓中， a 最大， a2b2c2，在雙曲點(diǎn)；如果直線與拋物線的軸平行時(shí),直線與拋物線相交 ,線中， c 最大， c2a2b2。也只有一個(gè)交點(diǎn)； （ 2） 過雙曲線 x2y24. 圓錐曲線的幾何性質(zhì)：a2b2 1 外一點(diǎn)（1）橢圓（以x2y21（ ab0 ）為例）：P( x0 , y0 ) 的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的情況如a2b2

11、下： P 點(diǎn)在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí)，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相 范圍 ： a xa,byb ； 焦點(diǎn) ：兩個(gè)焦點(diǎn)切的兩條切線， 共四條； P 點(diǎn)在兩條漸近線之間且包( c,0) ； 對(duì)稱性 ：兩條對(duì)稱軸 x0, y0 ，一個(gè)對(duì)含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí)， 有兩條與漸近線平行的直線和只稱中心（ 0,0 ），四個(gè)頂點(diǎn) ( a,0),(0,b) ，其中長(zhǎng)軸長(zhǎng)與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條； P 在兩條漸為 2 a ，短軸長(zhǎng)為2 b ； 準(zhǔn)線 ：兩條準(zhǔn)線xa2；近線上但非原點(diǎn)， 只有兩條： 一條是與另一漸近線平行c的直線，一條是切線； P 為原點(diǎn)時(shí)不存在這樣的直線；c（

12、3）過拋物線外一點(diǎn)總有三條直線和拋物線有且只有，橢圓0e1， e 越小，橢圓一個(gè)公共點(diǎn)：兩條切線和一條平行于對(duì)稱軸的直線。 離心率 ： ea7、焦點(diǎn)三角形 （橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)越圓； e 越大，橢圓越扁。所構(gòu)成的三角形）問題： S2tanc | y0 | ，當(dāng)如（ 1）若橢圓 x2y210 ，則 mb21的離心率 e5m5| y0 | b 即 P 為短軸端點(diǎn)時(shí)，Smax 的最大值為 bc；對(duì)25的值是 _（答： 3 或）；3（ 2）以橢圓上一點(diǎn)和橢圓兩焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角0提醒 ：因?yàn)?0 是直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)的必要條件， 故在求解有關(guān)弦長(zhǎng)、 對(duì)稱問題時(shí)， 務(wù)必別忘了檢驗(yàn)0 ！11

13、了解下列結(jié)論（ 1）雙曲線 x2y21 的漸近線方程為xy0 ；22abab（ 2）以 yb x 為漸近線（即與雙曲線x2y 2ax 2y21共漸近線）的雙曲線方程為(a 2b 2a 2b 2 0）。為參數(shù)，（ 3）中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓、雙曲線方程可設(shè)為 mx2 ny2 1；（ 4）橢圓、雙曲線的通徑（過焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱2軸的弦）為2b，焦準(zhǔn)距（焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離）a2為 b，拋物線的通徑為2p ，焦準(zhǔn)距為p ；c（ 5）通徑是所有焦點(diǎn)弦（過焦點(diǎn)的弦）中最短的弦；（ 6）若拋物線 y22 px( p0) 的焦點(diǎn)弦為 AB，A( x1 , y1), B( x2 , y2 ) ，則

14、| AB |x1 x2 p ； x1 x2p2, y1 y2p24（ 7）若 OA、OB是過拋物線 y22 px( p 0) 頂點(diǎn)O的兩條互相垂直的弦，則直線AB 恒經(jīng)過定點(diǎn) (2 p,0)12.圓錐曲線中線段的最值問題：例 1、 (1)拋物線 C:y2 =4x 上一點(diǎn) P 到點(diǎn) A(3,42 )與到準(zhǔn)線的距離和最小,則點(diǎn) P的坐標(biāo)為故k的取值范圍為_(1,33(1,1)315)223(2) 拋物線 C: y 2=4x 上一點(diǎn) Q 到點(diǎn) B(4,1) 與到焦點(diǎn)13F 的距離和最小 ,則點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為。2、在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，已知點(diǎn) A(0,-1)，B 點(diǎn)在分析：（ 1 ） A 在拋物

15、線外，如圖，連PF，則直線 y = -3上，AM點(diǎn) 滿 足HQPHPF ，因而易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)A 、 P、 F 三點(diǎn)共線時(shí)，MB/OA， MA?ABPB= MB?BA， M點(diǎn)的軌跡為曲F線 C。距離和最小。（）求 C 的方程；（） P（ 2） B 在拋物線內(nèi)，如圖，作QR l 交于 R，則為 C 上的動(dòng)點(diǎn)， l為 C 在 P 點(diǎn)處得切線，求O點(diǎn)到 l距當(dāng) B、 Q、 R 三點(diǎn)共線時(shí)，距離和最小。解：（ 1）（2，離的最小值。12 ）（ 2）（,1 ）( ) 設(shè) M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1).所以MA=41、已知橢圓 C1的方程為 x 2y21，雙曲線 C2的左、（-x,-1

16、-y）MB =(0,-3-y),AB =(x,-2).再由愿意4,右焦點(diǎn)分別為1 的左、右頂點(diǎn)，而2 的左、右頂點(diǎn)分得知（ MA +MB ）?AB =0,即 （ -x,-4-2y）CC別是 C 的左、右焦點(diǎn)。1(1)求雙曲線 C2 的方程；?(x,-2)=0.(2)若直線 l ： ykx12所以曲線 C的方程式為 y= 1 x2 -2.( ) 設(shè) P(x0,y0)2 與橢圓 C 及雙曲線 C4lAB11恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且與2 的兩個(gè)交點(diǎn)和滿C為曲線 C：y=x 2-2上一點(diǎn)， 因?yàn)?y ' =x, 所以 l 的足OA OB6 ( 其中 O為原點(diǎn) ) ，求 k 的取值范圍。42斜 率

17、 為 1 x因 此 直 線 l 的 方 程 為2202解：（）設(shè)雙曲線C2的方程為 x2y21，則aby y01 x0 (x x0 ) ，即 x x 2 y 2 y x20 。a 24 1 3, 再由 a 2b 2c 2 得 b22001.| 2 y0x02 |. 又 y01x2則 O 點(diǎn)到 l 的距離 dx022 ，故C2的方程為y21.（II） 將x0244312ykx2代入x2y21得(14k2) x28 2kx所以 d2x041 ( x0244) 2,440.2422x0x0 4由直線 l 與橢圓 C1 恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)得當(dāng) x02=0 時(shí)取等號(hào)，所以O(shè)點(diǎn)到 l 距離的最小值為2.1

18、(82) 2 k216(14k 2 )16(4k21)0,3 設(shè)雙曲線x2y21（ a 0,b 0）的漸近線與拋物a2b2即k 21 .線 y=x 2 +1 相切，則該雙曲線的離心率等于4()將 ykx2代入 x 2y21得 (1 3k 2 ) x26 2kx 9 0x2y21( ab0 )的左焦點(diǎn) F1 作 x 軸34 、過橢圓a2b2. 由直線 l 與雙曲線 C 恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B 得213k20,的垂線交橢圓于點(diǎn)P ，F(xiàn)2 為右焦點(diǎn)，若 F PF60 ，即k 21且 k21.122(62k) 236(13k 2 )36(1k2 )0.3 則橢圓的離心率為6 2k2 , xA xB5

19、 、已知雙曲線x 2y2 1(b0) 的左、右焦點(diǎn)分別設(shè) A( xA , yA ), B( xB , yB ),則 xAxB1922b213k3k由OA OB6得 xA xByA yB6, 而是 F1 、F2 ，其一條漸近線方程為yx ，點(diǎn) P( 3, y0 )xA xByA yBxA xB(kxA2)( kxB2)在雙曲線上 .則 PF · PF ( )012(k 21) xA xB2k( xAxB ) 26、已知直線 y kx 2k0 與拋物線 C : y28x(k 2 1)192k 6 2k2相交于 A、B兩點(diǎn)， F 為C的焦點(diǎn)，若3k 213k 2|F A|2|FB|3k27

20、，則 k().3k21于是3k 276,即15k 2137 、已知直線 l1 : 4x3y60 和直線 l2 : x1 ，拋3k 213k 20.解此不等式得1物線 y24x 上一動(dòng)點(diǎn) P 到直線 l1 和直線 l 2 的距離之k 213 或 k 21 .15311或13和的最小值是（）由、得k 2k 21.43158、設(shè)已知拋物線 C 的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F(1，0)，直線 l與拋物線 C 相交于 A， B 兩點(diǎn)。若 AB 的中13, 1).點(diǎn)為（ 2， 2），則直線 l 的方程為(,)(15x2y21的焦點(diǎn)為 F1, F2 ，點(diǎn) P 在橢圓上，9、橢圓29若 |PF1|4，則 |PF2

21、 |；F1PF2 的大小為.10、過拋物線y22 px( p0) 的焦點(diǎn)F 作傾斜角為45 的直線交拋物線于 A、B 兩點(diǎn)，若線段 AB 的長(zhǎng)為 8，則 p _【解析】設(shè)切點(diǎn) P( x0 , y0 ) ，則切線的斜率為y' |x x02x0 .由題意有y02x0又y0x0 21解 得 :x0x 21,b2,e1( b ) 250aa雙曲線 x2y 21 的 一條 漸近線 為 yb x , 由方程 組a 2b2abb xya x, 消去y, 得 x210 有唯一解, 所以yx21a=( b )240,所以ab2 , eca2b21 ( b ) 25aaaa由漸近線方程為yx 知雙曲線是等

22、軸雙曲線，雙曲線方程是 x2y 22 ，于是兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是 （ 2，0）和（2，0），且P(3,1)或P(3, 1).不妨去P(3,1)，則PF1(23,1)，PF2(23,1). PF1 · PF2 (23,1)(23,1)(23)(23)10【解析】設(shè)拋物線 C : y 28x 的準(zhǔn)線為 l : x2 直線ykx2 k0恒過定點(diǎn)P2,0.如圖過 A、B分別作 AMl于 M ,BNl 于 N ,由|FA |2|FB |,則| AM |2|BN |,點(diǎn) B 為 AP的中點(diǎn) .連結(jié) OB ,則|OB |1|AF |,2|OB | BF | 點(diǎn) B 的橫坐標(biāo)為 1, 故點(diǎn) B 的坐標(biāo)為

23、(1,22)22022k(2),故選D1328.(全國(guó)卷 II)雙曲線x2y21 的漸近線方程是 ( C)A x , y , B x , y,則有 xx ， y14x14 92112124x2y22(A)y2(B)y4(C)xx22y1y2439兩式相減得，y3 x(D)y9 xy1y2 4 x1 x2 ，x1x21y1 y22已知雙曲線 x2y24直線 l 的方程為 y-2=x-2,即 y=x9.(全國(guó)卷 II)1的焦點(diǎn)為F1 F2，63、17. （湖北卷）雙曲線x 2y21(mn 0) 離心率為mn2，有一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y 24x 的焦點(diǎn)重合，則mn的值為高考全國(guó)試題分類解析（圓錐曲線）一

24、、選擇題：1重慶卷)若動(dòng)點(diǎn) ( x, y) 在曲線 x2y 21( b>0) 上變4b 2化，則 x22y 的最大值為 (A )(A)b24(0 b4)；(B)4(b4)2bb22) ； (C)b24( 0 b4 ；(D)442b(b2)2b；22. ( 浙江 ) 函數(shù) y ax 1 的圖象與直線 y x 相切，則a ( B)111(A)(B)(C)(D)1點(diǎn) M 在雙曲線上且MF1 x 軸，則 F1到直線 F2M 的距離為 (C )36(B)56(C)(A)566(D)55624 y 上一點(diǎn) A 的縱坐標(biāo)為4，則點(diǎn) A 與10. 拋物線 x拋物線焦點(diǎn)的距離為(D )(A) 2(B) 3

25、(C) 411. ( 全國(guó)卷 III) 設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 F1、F2，過F2 作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若 F1PF2 為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是（D）（ A）2（ B）21（ C）222 2 （D）2112.（遼寧卷） 已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，離心率為 3 .若它的一條準(zhǔn)線與拋物線y 24x的準(zhǔn)線重合， 則該雙曲線與拋物線y 24x 的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是（ B）(D) 58423. （天津卷）設(shè)雙曲線以橢圓x2y2長(zhǎng)軸的兩2519個(gè)端點(diǎn)為焦點(diǎn)， 其準(zhǔn)線過橢圓的焦點(diǎn)， 則雙曲線的漸近線的斜率為A 241BC324（天津卷）從集合 1,2,3， 11 中任選兩個(gè)元素作為橢圓方程x 2y