彈塑性力學(xué)04應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系

1、第四章 應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系一. 內(nèi)容介紹    前兩章分別從靜力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)的角度推導(dǎo)了靜力平衡方程，幾何方程和變形協(xié)調(diào)方程。由于彈性體的靜力平衡和幾何變形是通過具體物體的材料性質(zhì)相聯(lián)系的，因此，必須建立了材料的應(yīng)力和應(yīng)變的內(nèi)在聯(lián)系。應(yīng)力和應(yīng)變是相輔相成的，有應(yīng)力就有應(yīng)變； 反之，有應(yīng)變則必有應(yīng)力。對(duì)于每一種材料，在一定的溫度下，應(yīng)力和應(yīng)變之間有著完全確定的關(guān)系。這是材料的固有特性，因此稱為物理方程或者本構(gòu)關(guān)系。    對(duì)于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的實(shí)驗(yàn)測(cè)試是有困難的，因此本章首先通過能量法討論本構(gòu)關(guān)系的一般形式。分別討論廣義胡克定理；具

2、有一個(gè)和兩個(gè)彈性對(duì)稱面的本構(gòu)關(guān)系一般表達(dá)式；各向同性材料的本構(gòu)關(guān)系等。    本章的任務(wù)就是建立彈性變形階段的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。二. 重點(diǎn)    1. 應(yīng)變能函數(shù)和格林公式；    2. 廣義胡克定律的一般表達(dá)式；    3. 具有一個(gè)和兩個(gè)彈性對(duì)稱面的本構(gòu)關(guān)系；    4. 各向同性材料的本構(gòu)關(guān)系；    3. 材料的彈性常數(shù)。§4.1 彈性體的應(yīng)變能原理彈性體在外力作用下產(chǎn)生變形，因此外力在變形過程中作功。

3、同時(shí)，彈性體內(nèi)部的能量也要相應(yīng)的發(fā)生變化。借助于能量關(guān)系，可以使得彈性力學(xué)問題的求解方法和思路簡(jiǎn)化，因此能量原理是一個(gè)有效的分析工具。本節(jié)根據(jù)熱力學(xué)概念推導(dǎo)彈性體的應(yīng)變能函數(shù)表達(dá)式，并且建立應(yīng)變能函數(shù)表達(dá)的材料本構(gòu)方程。根據(jù)能量關(guān)系，容易得到由于變形而存儲(chǔ)于物體內(nèi)的單位體積的彈性勢(shì)能，即應(yīng)變能函數(shù)。探討應(yīng)變能的全微分，可以得到格林公式，格林公式是以能量形式表達(dá)的本構(gòu)關(guān)系。如果材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是線性彈性的，則單位體積的應(yīng)變能必為應(yīng)變分量的齊二次函數(shù)。因此由齊次函數(shù)的歐拉定理，可以得到用應(yīng)變或者應(yīng)力表示的應(yīng)變能函數(shù)。 學(xué)習(xí)要點(diǎn)：    1. 應(yīng)變能； &#

4、160;  2. 格林公式；    3. 應(yīng)變能原理。1. 應(yīng)變能彈性體發(fā)生變形時(shí)，外力將要做功，內(nèi)部的能量也要相應(yīng)的發(fā)生變化。本節(jié)通過熱力學(xué)的觀點(diǎn)，分析彈性體的功能變化規(guī)律。 根據(jù)熱力學(xué)的觀點(diǎn)，外力在變形過程中所做的功，一部分將轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，一部分將轉(zhuǎn)化為動(dòng)能；另外變形過程中，彈性體的溫度將發(fā)生變化，它必須向外界吸收或釋放熱量。設(shè)彈性體變形時(shí)，外力所做的功為dW，則dW=dW1+dW2 其中，dW1為表面力Fs所做的功，dW2 為體積力Fb所做的功。變形過程中，由外界輸入熱量為dQ，彈性體的內(nèi)能增量為dE，根據(jù)熱力學(xué)第一定律, dW1+dW2=dE -

5、dQ 因?yàn)?將上式代入功能關(guān)系公式，則 2. 格林公式如果加載很快，變形在極短的時(shí)間內(nèi)完成，變形過程中沒有進(jìn)行熱交換，稱為絕熱過程。絕熱過程中，dQ=0，故有 dW1+dW2=dE 對(duì)于完全彈性體,內(nèi)能就是物體的應(yīng)變能，設(shè)U0為彈性體單位體積的應(yīng)變能，則由上述公式，可得 即 設(shè)應(yīng)變能為應(yīng)變的函數(shù)，則由變應(yīng)能的全微分 對(duì)上式積分，可得U0=U0（eij），它是由于變形而存儲(chǔ)于物體內(nèi)的單位體積的彈性勢(shì)能，通常稱為應(yīng)變能函數(shù)或變形比能。在絕熱條件下，它恒等于物體的內(nèi)能。    比較上述公式，可得 以上公式稱為格林公式，格林公式是以能量形式表達(dá)的本構(gòu)關(guān)系。3. 應(yīng)變能原理

6、如果加載緩慢，變形過程中物體與外界進(jìn)行熱交換，但物體的溫度保持不變，稱為等溫過程。設(shè)等溫過程中，輸入物體的單位體積熱量為dQ，熵的增量為dS，對(duì)于彈性變形等可逆過程，根據(jù)熱力學(xué)第二定律，有 因?yàn)?，dQ=TdS，  所以， Q=TS。 上式中，T 為絕對(duì)溫度，TS為輸入單位體積的熱能。代入公式可得 所以。上式中，E0為物體單位體積的內(nèi)能，TS為輸入的熱能，即U0=E0 - TS 。所以在等溫條件下，功能公式仍然成立。    上述公式是從熱力學(xué)第一和第二定律出發(fā)得到的，因此它不受變形的大小和材料的性質(zhì)的限制。    如果材料的

7、應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是線性彈性的，則由格林公式，單位體積的應(yīng)變能必為應(yīng)變分量的齊二次函數(shù)。因此根據(jù)齊次函數(shù)的歐拉定理，可得 即用張量表示，寫作設(shè)物體的體積為V，整個(gè)物體的應(yīng)變能為§4.2 廣義胡克定義根據(jù)彈性體的應(yīng)變能函數(shù)，可以確定本構(gòu)方程的能量表達(dá)形式。本節(jié)的任務(wù)是利用應(yīng)變能函數(shù)推導(dǎo)應(yīng)力和應(yīng)變的一般關(guān)系。如果將應(yīng)力分量表達(dá)為應(yīng)變分量的函數(shù)，可以得到應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系的一般表達(dá)式。對(duì)于小變形問題，這個(gè)一般表達(dá)式可以展開為泰勒級(jí)數(shù)。對(duì)于各向同性材料，根據(jù)應(yīng)力與應(yīng)變的性質(zhì)，可以得到具有36個(gè)常數(shù)的廣義胡克定理。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：    1. 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的一般表達(dá)式； 

8、;   2. 廣義胡克定理。   1. 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的一般表達(dá)式由于應(yīng)變能函數(shù)的存在，通過格林公式就可求出應(yīng)力。本節(jié)將通過應(yīng)變能的推導(dǎo)應(yīng)力和應(yīng)變的一般關(guān)系。若將應(yīng)力表達(dá)為應(yīng)變的函數(shù)，則應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系的一般表達(dá)式為 這里的函數(shù)f i（i=1，2,，6）取決于材料自身的物理特性。對(duì)于均勻的各向同性材料，單向拉伸或壓縮時(shí)，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可以通過實(shí)驗(yàn)直接確定。但是對(duì)于復(fù)雜的應(yīng)力狀態(tài)，即使是各向同性的材料，也很難通過實(shí)驗(yàn)直接確定其關(guān)系。    這里不去討論如何建立一般條件下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，僅考慮彈性范圍內(nèi)的小變形問題。對(duì)于小變

9、形問題，上述一般表達(dá)式可以展開成泰勒級(jí)數(shù)，并且可以略去二階以上的高階小量。例如將的第一式展開，可得上式中（ f 1）0表達(dá)了函數(shù) f 1 在應(yīng)變分量為零時(shí)的值，根據(jù)應(yīng)力應(yīng)變的一般關(guān)系式可知，它代表了初始應(yīng)力。2. 廣義胡克定理根據(jù)無初始應(yīng)力的假設(shè)，（f 1）0應(yīng)為零。對(duì)于均勻材料，材料性質(zhì)與坐標(biāo)無關(guān)，因此函數(shù) f 1 對(duì)應(yīng)變的一階偏導(dǎo)數(shù)為常數(shù)。因此應(yīng)力應(yīng)變的一般關(guān)系表達(dá)式可以簡(jiǎn)化為上述關(guān)系式是胡克（Hooke）定律在復(fù)雜應(yīng)力條件下的推廣，因此又稱作廣義胡克定律。 廣義胡克定律中的系數(shù)Cmn（m，n=1，2，6）稱為彈性常數(shù)，一共有36個(gè)。 如果物體是非均勻材料構(gòu)成的，物體內(nèi)各點(diǎn)受力后將有不同的

10、彈性效應(yīng)，因此一般的講，Cmn 是坐標(biāo)x，y，z的函數(shù)。 但是如果物體是由均勻材料構(gòu)成的，那么物體內(nèi)部各點(diǎn)，如果受同樣的應(yīng)力，將有相同的應(yīng)變；反之，物體內(nèi)各點(diǎn)如果有相同的應(yīng)變，必承受同樣的應(yīng)力。 這一條件反映在廣義胡克定理上，就是Cmn 為彈性常數(shù)。 §4.3 各向異性彈性體的本構(gòu)關(guān)系 本節(jié)應(yīng)用應(yīng)變能函數(shù)推導(dǎo)各向異性材料的本構(gòu)關(guān)系。對(duì)于完全的各向異性彈性體，本構(gòu)關(guān)系有21個(gè)彈性常數(shù)，對(duì)于具有一個(gè)彈性對(duì)稱面的各向異性材料，本構(gòu)各向具有13個(gè)彈性常數(shù)。對(duì)于正交各向異性材料，彈性常數(shù)有9個(gè)。正交各向異性材料的本構(gòu)方程中，正應(yīng)力僅與正應(yīng)變有關(guān)，切應(yīng)力僅與對(duì)應(yīng)的切應(yīng)變有關(guān)，因此拉壓與剪切之間，

11、以及不同平面內(nèi)的剪切之間將不存在耦合作用。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：    1. 完全各向異性彈性體；    2. 有一個(gè)彈性對(duì)稱面的彈性體；    3. 有一個(gè)彈性對(duì)稱面的彈性體本構(gòu)關(guān)系；    4. 正交各向異性彈性體；    5. 正交各向異性彈性體本構(gòu)關(guān)系。下面從廣義胡克定理公式出發(fā)，用應(yīng)變能的概念建立常見的各向異性彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系。1.完全各向異性彈性體    根據(jù)格林公式和廣義胡克定律，有對(duì)于上式，如果對(duì)切應(yīng)變gx

12、y求偏導(dǎo)數(shù)，有同理，有 對(duì)于上式，如果對(duì)正應(yīng)變ex求偏導(dǎo)數(shù)，有      因此，C14=C41。對(duì)于其它的彈性常數(shù)可以作同樣的分析，則  Cmn=Cnm     上述結(jié)論證明完全各向異性彈性體只有21個(gè)彈性常數(shù)。其本構(gòu)方程為    2具有一個(gè)彈性對(duì)稱面的各向異性彈性體    如果彈性體內(nèi)每一點(diǎn)都存在這樣一個(gè)平面，和該面對(duì)稱的方向具有相同的彈性性質(zhì)，則稱該平面為物體的彈性對(duì)稱面。 垂直于彈性對(duì)稱面的方向稱為物體的彈性主方向。若設(shè)yz為彈性對(duì)稱面，則x軸為彈性主方向。

13、以下根據(jù)完全各向異性彈性體本構(gòu)方程，推導(dǎo)具有一個(gè)彈性對(duì)稱面的各向異性彈性體的本構(gòu)方程。將x軸繞動(dòng) z 軸轉(zhuǎn)動(dòng) 角度，成為新的 Ox'y'z'坐標(biāo)系。新舊坐標(biāo)系之間的關(guān)系為 xyzx'l1=-1m1=0n1=0y'l2=-1m2=0n2=0z'l3=-1m3=0n3=0根據(jù)彈性對(duì)稱性質(zhì)。關(guān)于x軸對(duì)稱的應(yīng)力和應(yīng)變分量在坐標(biāo)系變換時(shí)保持不變，而關(guān)于x軸反對(duì)稱的應(yīng)力和應(yīng)變分量在坐標(biāo)系變換時(shí)取負(fù)值。所以sx' =sx，sy' =sy，sz' =sz，tx'y' =txy，ty'z' =tyz，tz&#

14、39;x' =tzxex' =ex，ey' =ey，ez' =ez，gx'y' =gxy，gy'z' =gyz，gz'x' =gzx    根據(jù)彈性主方向性質(zhì)，作這一坐標(biāo)變換時(shí)，本構(gòu)關(guān)系將保持不變。    根據(jù)完全各向異性彈性體的本構(gòu)方程，將上述關(guān)系式代入廣義胡克定理，可得 將上式與廣義胡克定理相比較，要使變換后的應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系保持不變，則必有 C14=C16=C24=C26=C34=C36=C54=C56=0 這樣，對(duì)于具有一個(gè)彈性對(duì)稱面的彈性體，其彈性

15、常數(shù)由21個(gè)將減少為13個(gè)。具有一個(gè)彈性對(duì)稱面的彈性體的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為 3正交各向異性彈性體        若物體每一點(diǎn)有兩個(gè)彈性對(duì)稱面，稱為正交各向異性彈性體。以下根據(jù)完全具有一個(gè)彈性對(duì)稱面的各向異性彈性體本構(gòu)方程     推導(dǎo)具有兩個(gè)彈性對(duì)稱面的各向異性彈性體的本構(gòu)方程。設(shè)xz平面也是彈性對(duì)稱面，即y軸也是彈性主方向。在具有一個(gè)彈性對(duì)稱面的基礎(chǔ)上，將y軸繞動(dòng) z軸轉(zhuǎn)動(dòng)p角度，成為新的Ox'y'z'坐標(biāo)系,  如圖所示根據(jù)彈性對(duì)稱性質(zhì)。關(guān)于y 軸對(duì)稱的應(yīng)力和應(yīng)變分量在坐

16、標(biāo)系變換時(shí)也保持不變，而關(guān)于y 軸反對(duì)稱的應(yīng)力和應(yīng)變分量在坐標(biāo)系變換時(shí)取負(fù)值。所以，則新舊坐標(biāo)系下的應(yīng)力和應(yīng)變分量的關(guān)系為 sx' =sx，sy' =sy，sz' =sz，tx'y' =-txy，ty'z' =-tyz，tz'x' =tzx   ex' =ex，ey' =ey，ez' =ez，gx'y' =-gxy，gy'z' =-gyz，gz'x' =gzx   將上述關(guān)于y 軸彈性對(duì)稱的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系代入具有一個(gè)彈性對(duì)稱面的各向異

17、性材料本構(gòu)關(guān)系。為保持應(yīng)力和應(yīng)變?cè)谧鴺?biāo)變換后不變，則必有C15= C25= C35= C64=0這樣，對(duì)于具有二個(gè)彈性對(duì)稱面的彈性體， 如圖所示其彈性常數(shù)由13個(gè)將減少為9個(gè)。于是其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系簡(jiǎn)化為假如彈性體有3個(gè)彈性對(duì)稱面，也就是說，如果設(shè)xy平面也是彈性對(duì)稱面，z軸也為彈性主方向，則類似的推導(dǎo)可以證明，本構(gòu)方程不會(huì)出現(xiàn)有新的變化。 因此， 如果相互垂直的3個(gè)平面中有兩個(gè)彈性對(duì)稱面， 則第三個(gè)必為彈性對(duì)稱面。    二個(gè)彈性對(duì)稱面的彈性體本構(gòu)方程表明：如果坐標(biāo)軸與彈性主方向一致時(shí)，正應(yīng)力僅與正應(yīng)變有關(guān)，切應(yīng)力僅與對(duì)應(yīng)的切應(yīng)變有關(guān)，因此拉壓與剪切之間，以及不同平

18、面內(nèi)的剪切之間將不存在耦合作用。這種彈性體稱為正交各向異性彈性體，其獨(dú)立的彈性常數(shù)為9個(gè)。§4.4 各向同性彈性體各向同性彈性體，就物理意義來講，就是物體各個(gè)方向上的彈性性質(zhì)完全相同，即物理性質(zhì)的完全對(duì)稱。該物理意義在數(shù)學(xué)上的反映，就是應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系在所有方位不同的坐標(biāo)系中都一樣。對(duì)于各向同性材料，材料性質(zhì)不僅與坐標(biāo)軸的選取無關(guān)，而且與坐標(biāo)軸的任意變換方位也無關(guān)。根據(jù)這一原則，可以確定具有2個(gè)獨(dú)立彈性常數(shù)的本構(gòu)關(guān)系。各向同性材料的本構(gòu)關(guān)系可以通過拉梅(Lamé)彈性常數(shù)l，m 表示；也可以通過工程彈性常數(shù)E, n, G 表示。各彈性常數(shù)可由實(shí)驗(yàn)的方法測(cè)定。 學(xué)習(xí)要點(diǎn)：

19、    1. 各向同性彈性體；    2. 各向同性彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系；    3. 應(yīng)變表示的本構(gòu)關(guān)系；    4. 彈性常數(shù)與應(yīng)力表示的本構(gòu)關(guān)系。  1. 各向同性彈性體各向同性彈性體，就其物理意義來講，就是物體各個(gè)方向上的彈性性質(zhì)完全相同。這一物理意義在數(shù)學(xué)上的反映，就是應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系在所有方位不同的坐標(biāo)系中都一樣。    本節(jié)將從正交各向異性材料的應(yīng)力應(yīng)變公式出發(fā)，建立各向同性彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系。對(duì)于各向

20、同性材料，顯然其材料性質(zhì)應(yīng)與坐標(biāo)軸的選取無關(guān)，任意一個(gè)平面都是彈性對(duì)稱面。因此 C11=C22=C33,  C12=C23=C31,  C44=C55=C66于是其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系簡(jiǎn)化為 其獨(dú)立的彈性常數(shù)僅為C11，C12和C44。但是各向同性彈性體的彈性常數(shù)不但與坐標(biāo)軸的選取無關(guān)，而且與坐標(biāo)軸的任意變換方位也無關(guān)。為了簡(jiǎn)化分析，將坐標(biāo)系沿z 軸旋轉(zhuǎn)任一角度j。新舊坐標(biāo)系之間的關(guān)系如下所示： x y z x' l1=cos j m1=sin j n1=0 y' l2=-sin j m2=cos j n2=0 z' l3=0 m3=0 n3=1 2. 各向

21、同性彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系根據(jù)應(yīng)力分量轉(zhuǎn)軸公式，可得 根據(jù)應(yīng)變分量轉(zhuǎn)軸公式 將以上兩式代入應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系公式的第四式則 因?yàn)樗?#160;  根據(jù)應(yīng)力應(yīng)變表達(dá)式，可得比較上述兩個(gè)公式，可得，2C44 = C11-C12。所以各向同性彈性體的彈性常數(shù)只有兩個(gè)。其應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系為其中。3. 應(yīng)變表示的本構(gòu)關(guān)系為了使得各向同性材料的本構(gòu)關(guān)系公式表達(dá)簡(jiǎn)潔，令 則同性材料的本構(gòu)關(guān)系公式可以簡(jiǎn)化為 或?qū)懽鲝埩勘磉_(dá)式 上述公式即為各向同性彈性材料的廣義胡克（Hooke）定理，l，m稱為拉梅（Lamé）彈性常數(shù)。    如果將坐標(biāo)軸選取的與彈性體內(nèi)某點(diǎn)的應(yīng)力主方向重合，則對(duì)應(yīng)的切應(yīng)力分量均應(yīng)為零。根據(jù)各向同性材料的本構(gòu)關(guān)系的后三式可見，此時(shí)所有的切應(yīng)變分量也為零。 根據(jù)上述分析，對(duì)于各向同性彈性體內(nèi)的任一點(diǎn)， 應(yīng)力主方向和應(yīng)變主方向是一致的。 因此這三個(gè)坐標(biāo)軸，即應(yīng)力主軸同時(shí)又是應(yīng)變主軸方向，對(duì)于各向同性彈性體，應(yīng)力主方向和應(yīng)變主方向二者是重合的。 設(shè)體積應(yīng)力為將拉梅公式的前三式相