機械優(yōu)化設計試題及答案

1、計算題1試用牛頓法求的最優(yōu)解，設。初始點為，則初始點處的函數(shù)值和梯度分別為 ，沿梯度方向進行一維搜索，有 為一維搜索最佳步長，應滿足極值必要條件 ，從而算出一維搜索最佳步長 則第一次迭代設計點位置和函數(shù)值，從而完成第一次迭代。按上面的過程依次進行下去，便可求得最優(yōu)解。2、試用黃金分割法求函數(shù)的極小點和極小值，設搜索區(qū)間（迭代一次即可）解：顯然此時，搜索區(qū)間，首先插入兩點，由式計算相應插入點的函數(shù)值。因為。所以消去區(qū)間，得到新的搜索區(qū)間，即。第一次迭代：插入點，相應插入點的函數(shù)值，由于，故消去所以消去區(qū)間，得到新的搜索區(qū)間，則形成新的搜索區(qū)間。至此完成第一次迭代，繼續(xù)重復迭代過程，最終可得到極小

2、點。3用牛頓法求目標函數(shù)+5的極小點，設。解：由 ，則 ，其逆矩陣為因此可得： ，從而經(jīng)過一次迭代即求得極小點，4.下表是用黃金分割法求目標函數(shù) 的極小值的計算過程，請完成下表。迭代序號a b比較0 0.2 11迭代序號a b比較0 0.2 0.50560.69441 40.0626 29.49621 0.5056 0.69440.81111 29.496225.46905、 求二元函數(shù)f(x1,x2)=x12+x22-4x1-2x2+5在x0=0 0t處函數(shù)變化率最大的方向和數(shù)值？解：由于函數(shù)變化率最大的方向是梯度方向，這里用單位向量p表示函數(shù)變化率最大和數(shù)值是梯度的模iiii 。求f(x1

3、,x2)在點處的梯度方向和數(shù)值，計算如下：=iiii =p=在平面上畫出函數(shù)等值線和（0,0）點處的梯度方向p，如圖2-1所示。從圖中可以看出，在點函數(shù)變化率最大的方向p即為等值線的法線方向，也就是同心圓的半徑方向。6、 用共軛梯度法求二次函數(shù)f(x1,x2)=x12+2x22-4x1-2 x1x2 的極小點及極小值？解： 取初始點 x0 則 g0=取 d0=-g0=沿d0方向進行一維搜索，得x1=x0+d0=其中的為最佳步長，可通過f（x1）=求得 =則 x1 = =為建立第二個共軛方向d1，需計算 x1 點處的梯度及系數(shù)值，得g1=f（x1）=從而求得第二個共軛方向d1=-g1+d0=再沿

4、d1進行一維搜索，得x2=x1+d1=其中的為最佳步長，通過f（x2）=求得 =1則 x2= =計算 x2點處的梯度g2=f（x2）=說明x2點滿足極值必要條件，再根據(jù)x2點的海賽矩陣g(x2)=是正定的，可知x2滿足極值充分必要條件。故x2為極小點，即而函數(shù)極小值為。7、求約束優(yōu)化問題minf(x)=(x1-2)2+(x2-1)2s.t. h(x)=x1+2x2-2=0的最優(yōu)解？解： 該問題的約束最優(yōu)解為。由圖4-1a可知，約束最優(yōu)點為目標函數(shù)等值線與等式約束函數(shù)（直線）的切點。用間接解法求解時，可取=0.8，轉換后的新目標函數(shù)為可以用解析法求min，即令，得到方程組解此方程組，求得的無約束最優(yōu)解為：其結果和原約