勾股定理及逆定理證明

1、.1勾股定理與它的勾股定理與它的逆定理的證明逆定理的證明 開發(fā)區(qū)中學(xué) 王京春 2009、4.2駛向勝利的彼岸勾股定理如果直角三角形兩直角邊分別為如果直角三角形兩直角邊分別為a、b，斜邊為，斜邊為c，那么那么a2+b2=c2.即直角三角形兩直角邊的平方和即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方等于斜邊的平方.勾股定理在西方文獻(xiàn)中又稱為勾股定理在西方文獻(xiàn)中又稱為畢達(dá)哥拉斯定理（畢達(dá)哥拉斯定理（pythagoras theorem）.開啟 智慧acb勾勾弦弦股股.3駛向勝利的彼岸勾股定理的證明勾股定理的證明 我能行我能行l(wèi)方法一方法一: 拼圖計(jì)算拼圖計(jì)算l方法二：方法二：割補(bǔ)法割補(bǔ)法l方法三：方法

2、三：趙爽的弦圖趙爽的弦圖l方法四：方法四：總統(tǒng)證法總統(tǒng)證法l方法五：方法五：青朱出入圖青朱出入圖l方法六：方法六：折紙法折紙法l方法七：方法七：拼圖計(jì)算拼圖計(jì)算這些證法你還能記得多少這些證法你還能記得多少?你最喜歡哪種證法你最喜歡哪種證法?.4總統(tǒng)證法總統(tǒng)證法 回顧反思回顧反思這個(gè)證明方法出自一位總統(tǒng)這個(gè)證明方法出自一位總統(tǒng), 1881年，伽菲爾德年，伽菲爾德 (J.A. Garfield )就任美國(guó)第二十任總統(tǒng)就任美國(guó)第二十任總統(tǒng),在在 1876 , 利用了梯形面積公式。利用了梯形面積公式。圖中三個(gè)三角形面積的和是圖中三個(gè)三角形面積的和是梯形面積為梯形面積為(a+b)(a+b)/2;比較可得

3、比較可得:c2 = a2+b2 。ababcc2 2c c2 2a ab b2 22 2.5駛向勝利的彼岸勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 我能行我能行l(wèi)如果三角形兩邊的平方和等于第三邊如果三角形兩邊的平方和等于第三邊 平方平方, 那么這個(gè)三角形是直角三角形那么這個(gè)三角形是直角三角形.l已知已知: :如圖如圖(1),(1),在在ABCABC中中,AC,AC2 2+BC+BC2 2=AB=AB2 2. .l求證求證: :ABCABC是直角三角形是直角三角形. .acbABC(1).6逆定理的證明逆定理的證明 我能行我能行證明證明:作作Rt Rt ABCABC使使 CC90900 0，ACACAC

4、AC BC BCBC(BC(如圖如圖),),則則acbABC(1)acbBAC(2)ACAC2 2BCBC2 2ABAB2 2 ( (勾股定理勾股定理) )ACAC2 2BCBC2 2ABAB2 2( (已知已知), ), AC ACAC,AC, BC BCBC(BC(已作已作) ).7 ABC ABC ABC(SSS)ABC(SSS) C=C C=C 90900 0 ( (全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等) ) ABCABC是直角三角形是直角三角形 ( (直角三角形定義直角三角形定義).). AB AB2 2ABAB2 2( (等式性質(zhì)等式性質(zhì)) ) AB ABAB(AB(等式性

5、質(zhì)等式性質(zhì)) )acbABC(1)acbBAC(2).8幾何的幾何的三種語(yǔ)言三種語(yǔ)言 回顧反思回顧反思w勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理l如果三角形兩邊的平方和等于第三邊平方如果三角形兩邊的平方和等于第三邊平方, 那么這個(gè)三角形是直角三角形那么這個(gè)三角形是直角三角形這是判定直角三角形的根據(jù)之一l在在ABCABC中中ACAC2 2BCBC2 2ABAB2 2( (已知已知),),ABCABC是直角三角形是直角三角形( (如果三角形兩邊的如果三角形兩邊的 平方和等于第三邊平方平方和等于第三邊平方, 那么這個(gè)三角形那么這個(gè)三角形 是直角三角形是直角三角形).).acbABC(1).9駛向勝利的彼岸命

6、題與逆命題命題與逆命題1、直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的、直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的 平方平方2、如果三角形兩邊的平方和等于第三邊平方如果三角形兩邊的平方和等于第三邊平方, 那么這個(gè)三角形是直角三角形那么這個(gè)三角形是直角三角形w觀察上面兩個(gè)命題觀察上面兩個(gè)命題,它們的條件與結(jié)論之間它們的條件與結(jié)論之間 有怎樣的關(guān)系有怎樣的關(guān)系?與同伴交流與同伴交流.開啟 智慧.10w再觀察下面三組命題再觀察下面三組命題:w如果兩個(gè)角是對(duì)頂角如果兩個(gè)角是對(duì)頂角,那么它們相等那么它們相等w如果兩個(gè)角相等如果兩個(gè)角相等,那么它們是對(duì)頂角那么它們是對(duì)頂角w如果小明患了肺炎如果小明患了肺炎,那么他一定會(huì)

7、發(fā)燒那么他一定會(huì)發(fā)燒w如果小明發(fā)燒如果小明發(fā)燒,那么他一定患了肺炎那么他一定患了肺炎w三角形中相等的邊所對(duì)的角相等三角形中相等的邊所對(duì)的角相等w三角形中相等的角所對(duì)的邊相等三角形中相等的角所對(duì)的邊相等.w上面每組中兩個(gè)命題的條件和結(jié)論之間也有上面每組中兩個(gè)命題的條件和結(jié)論之間也有 類似的關(guān)系嗎類似的關(guān)系嗎?與同伴進(jìn)行交流與同伴進(jìn)行交流.11駛向勝利的彼岸命題與逆命題命題與逆命題w在兩個(gè)命題中在兩個(gè)命題中,如果一個(gè)命題的如果一個(gè)命題的條件條件和和結(jié)論結(jié)論分分別是另一個(gè)命題的別是另一個(gè)命題的結(jié)論結(jié)論和和條件條件,那么這兩個(gè)命題那么這兩個(gè)命題稱為稱為互逆命題互逆命題,其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的其中

8、一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題逆命題.開啟 智慧你能寫出命題你能寫出命題“如果兩個(gè)有理數(shù)相等如果兩個(gè)有理數(shù)相等,那么它那么它們的平方相等們的平方相等”的逆命題嗎的逆命題嗎?w它們都是真命題嗎它們都是真命題嗎?.12駛向勝利的彼岸定理與逆定理定理與逆定理w一個(gè)一個(gè)命題命題是真命題是真命題, ,它逆命題卻它逆命題卻不一定不一定是真命題是真命題開啟 智慧w如果一個(gè)如果一個(gè)定理定理的逆命題經(jīng)過(guò)證明是真命題的逆命題經(jīng)過(guò)證明是真命題,那么它那么它 是一個(gè)是一個(gè)定理定理,這兩個(gè)定理稱為這兩個(gè)定理稱為互逆定理互逆定理,其中一個(gè)其中一個(gè) 定理稱另一個(gè)定理的定理稱另一個(gè)定理的逆定理逆定理.13 想一想想一想w互逆

9、命題與互逆定理有何關(guān)系互逆命題與互逆定理有何關(guān)系?w我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些互逆的定理我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些互逆的定理,如如:w勾股定理及其逆定理勾股定理及其逆定理w兩直線平行兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等內(nèi)錯(cuò)角相等;內(nèi)錯(cuò)角相等內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行兩直線平行.14蓄勢(shì)待發(fā)蓄勢(shì)待發(fā) 隋堂練習(xí)隋堂練習(xí)駛向勝利的彼岸說(shuō)出下列合理的逆命題說(shuō)出下列合理的逆命題, ,并判斷每對(duì)并判斷每對(duì)命題的真假命題的真假: :w四邊形是多邊形四邊形是多邊形;w兩直線平行兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)同旁內(nèi)角互補(bǔ);w如果如果ab=0,那么那么a=0,b=0.w請(qǐng)你舉出一些命題請(qǐng)你舉出一些命題,然后寫出它的逆命題然后寫出它的逆命題, 并判斷這些

10、逆命題的真假并判斷這些逆命題的真假.15學(xué)無(wú)止境學(xué)無(wú)止境 讀一讀讀一讀w勾股定理是數(shù)學(xué)上有證明方法最多的定理勾股定理是數(shù)學(xué)上有證明方法最多的定理 有四百多種說(shuō)明！有四百多種說(shuō)明！l古今中外有許多人探索勾股定理的證明方法，古今中外有許多人探索勾股定理的證明方法， 不但有數(shù)學(xué)家，還有物理學(xué)家，甚至畫家、政不但有數(shù)學(xué)家，還有物理學(xué)家，甚至畫家、政 治家。如趙爽（中）、梅文鼎（中）、歐幾里治家。如趙爽（中）、梅文鼎（中）、歐幾里 德（希臘）、辛卜松（英）、加菲爾德（美第德（希臘）、辛卜松（英）、加菲爾德（美第 二十屆總統(tǒng)）等等。其證明方法達(dá)數(shù)百種之二十屆總統(tǒng)）等等。其證明方法達(dá)數(shù)百種之 多，這在數(shù)學(xué)史

11、上是十分罕見的多，這在數(shù)學(xué)史上是十分罕見的.P18P18讀一讀讀一讀：勾股定理的證明勾股定理的證明. .16學(xué)無(wú)止境學(xué)無(wú)止境 讀一讀讀一讀歷時(shí)幾千年的兩個(gè)定理，牽動(dòng)著世界上不知多少代億歷時(shí)幾千年的兩個(gè)定理，牽動(dòng)著世界上不知多少代億萬(wàn)人們的心，前人以堅(jiān)韌的毅力，開拓創(chuàng)新的精神譜萬(wàn)人們的心，前人以堅(jiān)韌的毅力，開拓創(chuàng)新的精神譜寫了科學(xué)知識(shí)寶庫(kù)中探寶的光輝篇章，還有許多寶藏寫了科學(xué)知識(shí)寶庫(kù)中探寶的光輝篇章，還有許多寶藏等待后人開采。自然無(wú)限，創(chuàng)造永恒。同學(xué)們要努力等待后人開采。自然無(wú)限，創(chuàng)造永恒。同學(xué)們要努力學(xué)習(xí)，提高自身素質(zhì)，不辜負(fù)時(shí)代重托，將來(lái)為人類學(xué)習(xí)，提高自身素質(zhì)，不辜負(fù)時(shí)代重托，將來(lái)為人類作

12、出更大貢獻(xiàn)。作出更大貢獻(xiàn)。 駛向勝利的彼岸P18P18讀一讀讀一讀：勾股定理的證明勾股定理的證明. .17夢(mèng)想成真 試一試試一試P141.如圖如圖(單位：英尺單位：英尺),在一個(gè)長(zhǎng)方體的房間里在一個(gè)長(zhǎng)方體的房間里,一只蜘蛛一只蜘蛛 在一面墻的正中間離天花板在一面墻的正中間離天花板1英尺的英尺的A處處,蒼蠅則在對(duì)蒼蠅則在對(duì) 面墻的正中間離地板面墻的正中間離地板1英尺的英尺的B處處.試問試問:蜘蛛為了捕獲蒼蠅蜘蛛為了捕獲蒼蠅,需要爬行的最短距離是多少需要爬行的最短距離是多少?AB 301212.18回味無(wú)窮n勾股定理勾股定理:w如果直角三角形兩直角邊分別為如果直角三角形兩直角邊分別為a、b，斜邊為

13、，斜邊為c，那，那么么a2+b2=c2.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方的平方.勾股定理在西方文獻(xiàn)中又稱為畢達(dá)哥拉斯定理勾股定理在西方文獻(xiàn)中又稱為畢達(dá)哥拉斯定理（pythagoras theorem）.n勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理: :l如果三角形兩邊的平方和等于第三邊平方如果三角形兩邊的平方和等于第三邊平方, 那么這個(gè)那么這個(gè)三角形是直角三角形三角形是直角三角形.小結(jié) 拓展.19回味無(wú)窮小結(jié) 拓展命題與逆命題命題與逆命題 在兩個(gè)命題中在兩個(gè)命題中,如果一個(gè)命題的如果一個(gè)命題的條件條件和和結(jié)論結(jié)論分別是另分別是另 一個(gè)命題的一個(gè)命題的結(jié)論結(jié)論

14、和和條件條件,那么這兩個(gè)命題稱為那么這兩個(gè)命題稱為互逆命題互逆命題, 其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題逆命題.定理與逆定理定理與逆定理 如果一個(gè)如果一個(gè)定理定理的逆命題經(jīng)過(guò)證明是真命題的逆命題經(jīng)過(guò)證明是真命題,那么它是一那么它是一 個(gè)個(gè)定理定理,這兩個(gè)定理稱為這兩個(gè)定理稱為互逆定理互逆定理,其中一個(gè)定理稱另一其中一個(gè)定理稱另一 個(gè)定理的個(gè)定理的逆定理逆定理.20知識(shí)的升華獨(dú)立獨(dú)立作業(yè)作業(yè)P9習(xí)題1.4 1,2,3題.祝你成功！.21習(xí)題1.4 獨(dú)立作業(yè)獨(dú)立作業(yè)w1.如圖，在ABC中，AB=13cm,BC=10cm, BC邊上的中線AD=12cm. 求證:AB=AC

15、. 證明證明:BD=CD,BC=10cm(:BD=CD,BC=10cm(已知已知) ) BD=5cm( BD=5cm(等式性質(zhì)等式性質(zhì)).). 在在ABDABD中中, AD, AD2 2+BD+BD2 2=12=122 2+5+52 2144+25=169,144+25=169, AB AB2 2=13=132 2=169=169 AD AD2 2+BD+BD2 2=AB=AB2 2 ABCABC是直角三角形是直角三角形( (如果三角形兩邊的平方和等于第如果三角形兩邊的平方和等于第 三邊平方三邊平方, , 那么這個(gè)三角形是直角三角形那么這個(gè)三角形是直角三角形).). 在在RtRtADCADC中

16、中 ACAC2 2=DC=DC2 2+AD+AD2 2=12=122 2+5+52 2144+25=169144+25=169 AC AC2 2=AB=AB2 2 AB=AC( AB=AC(等式性質(zhì)等式性質(zhì)).). DBCA.22w2.2.房梁的一部分如圖所示房梁的一部分如圖所示, ,其中其中BCAC,A=30BCAC,A=300 0,AB=10m,CB,AB=10m,CB1 1AB, BAB, B1 1C C1 1AC,AC,垂足為垂足為B B1 1,C,C1 1, ,那么那么BCBC的長(zhǎng)是多少？的長(zhǎng)是多少？B B1 1C C1 1呢？呢？ 解解: :BCAC,A=30BCAC,A=300

17、0,AB=10m(,AB=10m(已知已知) ) BC=AB/2=10 BC=AB/2=102 25(5(在直角三角形中在直角三角形中, , 如果有一個(gè)銳角如果有一個(gè)銳角 等于等于30300 0, ,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半) ) 又又CBCB1 1AB,BCBAB,BCB1 1=90=900 0-60-600 0=30=300 0( (直角三角形兩銳角互余直角三角形兩銳角互余),),BBBB1 1=BC/2=5=BC/2=52 22.5(2.5(在直角三角形中在直角三角形中, , 如果有一個(gè)銳角如果有一個(gè)銳角 等于等于30300 0, ,那么它所對(duì)的直

18、角邊等于斜邊的一半那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半). ). BCA300B1C1ABAB1 1=AB-BB=AB-BB1 1=10-2.5=7.5(=10-2.5=7.5(等式性質(zhì)等式性質(zhì)). ). BB1 1C C1 1=AB=AB1 1/2=7.5/2=7.52 23.75(3.75(在直角三角形中在直角三角形中, , 如果有一如果有一 個(gè)銳角等于個(gè)銳角等于30300 0, ,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半). ). .23w3.3.如圖如圖, ,正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為5cm,5cm,側(cè)側(cè)棱長(zhǎng)為棱長(zhǎng)為8cm,8cm,一只螞蟻欲從正四棱柱的底一只螞蟻欲從正四棱柱的底面上的點(diǎn)面上的點(diǎn)A A沿棱柱側(cè)面到點(diǎn)沿棱柱側(cè)面到點(diǎn)C C1 1處吃食物處吃食物, ,那么