概率論(隨機(jī)變量的分布函數(shù))

1、第三節(jié) 隨機(jī)變量的分布函數(shù)一、概念的一、概念的引入引入需要知道需要知道 X 在任意有限區(qū)間在任意有限區(qū)間(a, b)內(nèi)取值的概率內(nèi)取值的概率.21xXxP 12xXPxXP )(2xF)(1xF21xXxP 分布分布函數(shù)函數(shù) ).()(12xFxF ?例如例如.,(21內(nèi)的概率內(nèi)的概率落在區(qū)間落在區(qū)間求隨機(jī)變量求隨機(jī)變量xxX |xX x二、定義二、定義設(shè)設(shè)X 是隨機(jī)變量，是隨機(jī)變量，x為任意實(shí)數(shù)，稱函數(shù)為任意實(shí)數(shù)，稱函數(shù))(xXPxF)(x為為X 的分布函數(shù)的分布函數(shù)(distribution function)記作記作 X F(x) 或或 FX(x) 如果將如果將 X 看作數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐

2、標(biāo)，那么分看作數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么分布函數(shù)布函數(shù) F(x) 的值就表示的值就表示 X落在區(qū)間落在區(qū)間,(x的概率的概率.三、分布函數(shù)的性質(zhì)三、分布函數(shù)的性質(zhì)1 1 單調(diào)不減單調(diào)不減即即 若若 x1 1 x2 2，則則F(F(x1 1) F() F(x2 2) )；0( ) 1,(),lim( )()0,lim( )()1xxF xxF xFF xF 且2.非負(fù)有界非負(fù)有界F(x+0)=F(x)3.右連續(xù)右連續(xù)性質(zhì)性質(zhì)1-3是鑒別一個函數(shù)是否是某隨機(jī)變量的是鑒別一個函數(shù)是否是某隨機(jī)變量的分布函數(shù)的分布函數(shù)的充分必要條件充分必要條件.例例1 1 一袋中有一袋中有6 6個球，個球，其中其中2 2

3、個個標(biāo)號為標(biāo)號為1 1，3 3個個標(biāo)號為標(biāo)號為2 2，1 1個個標(biāo)號為標(biāo)號為3, 3, 任取任取1 1個球，以個球，以X X表示取表示取出的出的球球的的標(biāo)號標(biāo)號，求，求X X的分布函數(shù)；并求的分布函數(shù)；并求 P P2 X 32 X 3解解：由已知由已知X X的可能值為的可能值為1, 2, 31, 2, 3 PX=1= 2/6, PX=2=3/6, PX=3=1/6.PX=1= 2/6, PX=2=3/6, PX=3=1/6.所以所以X X的分布律為的分布律為 X X 1 2 3 1 2 3 p pk k2/6 3/6 1/62/6 3/6 1/6 0 1 2 3F(x)xF(x)的圖形的圖形為

4、為 3 , 132 , 6521 , 6 21 , 0 xxxxxF)( 3 , 132 , 2X1X21 , 1X1 , 0 xxPPxPxxF )( 1 ）（643232 2 XPXPXP）（它的圖形是一條右連續(xù)的階梯型曲線它的圖形是一條右連續(xù)的階梯型曲線在隨機(jī)變量的每一個可能取值點(diǎn)在隨機(jī)變量的每一個可能取值點(diǎn) x=xk(k=1,2,),該圖形都有一個跳躍，跳躍高度為該圖形都有一個跳躍，跳躍高度為pk 一般地，對于離散型隨機(jī)變量一般地，對于離散型隨機(jī)變量X 來講，如果其概來講，如果其概率分布律為率分布律為 , , k=1,2, 其中其中x1x2則則X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為kkpxXPxx

5、kxxkkkpxXPxXPxF)(例例2 2 一個靶子是半徑為一個靶子是半徑為2 2米米的圓盤的圓盤, ,設(shè)擊中設(shè)擊中靶上任一同心圓靶上任一同心圓盤盤上上的的點(diǎn)的點(diǎn)的概率與該圓盤的半徑平方成正比概率與該圓盤的半徑平方成正比, ,并設(shè)并設(shè)射擊都射擊都能中靶能中靶, ,以以X X表示彈著點(diǎn)與圓心的距離表示彈著點(diǎn)與圓心的距離. .試求試求（1 1） 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X X的分布函數(shù)的分布函數(shù).1212 XP）（解解 (1) (1) 求隨機(jī)變量求隨機(jī)變量X的分布函數(shù)的分布函數(shù)F(x)當(dāng)當(dāng)00 x22時，時，P0X x= =c cx2 2 (c (c為待定常數(shù)為待定常數(shù)) ) 又因?yàn)橛忠驗(yàn)?0X2X2為

6、必然事件為必然事件, ,故故 1= 1= P0X2P0X2 故故 于是于是 41c400)(2xxXPXPxXPxF 當(dāng)當(dāng)x022時時, , X X x為必然事件為必然事件, ,于是于是 F(F(x)= PX )= PX x=1=1綜上所述綜上所述 , 2 , 1 , 20 , 4, 0 , 0)(2xxxxxFx0 1 2 3F(x)的圖形的圖形F(x) 11/21634/1)2/1 (41)21() 1 (12122 FFXP）（.)()( xdttfxF可可證證 . , 020 , 2)(其其它它tttf【注【注】本例中分布函數(shù)】本例中分布函數(shù)F( (x) )的圖形是一條連續(xù)曲的圖形是一

7、條連續(xù)曲線，且線，且除除x=2=2外，外， 20 , 020 , 2)(xxtttF或或補(bǔ)充定義補(bǔ)充定義x=2=2處函數(shù)值為處函數(shù)值為0 0后，后，得到得到第四節(jié)第四節(jié) 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量及其及其 概率密度概率密度.,)(,d)()(, )(, )(簡稱概率密度簡稱概率密度密度函數(shù)密度函數(shù)的概率的概率稱為稱為其中其中為連續(xù)型隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量則稱則稱有有使對任意實(shí)數(shù)使對任意實(shí)數(shù)非負(fù)可積函數(shù)非負(fù)可積函數(shù)存在存在的分布函數(shù)的分布函數(shù)如果對于隨機(jī)變量如果對于隨機(jī)變量XxfXttfxFxxfxFXx一、一、定義定義probability density.注：注：(1)(1)由定義知道，

8、改變概率密度由定義知道，改變概率密度f (x) )在個別點(diǎn)的函數(shù)值在個別點(diǎn)的函數(shù)值不影響分布函數(shù)不影響分布函數(shù)F( (x) )的取值，因此的取值，因此概率密度不是唯一的概率密度不是唯一的. .(2)(2)連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量的的分布函數(shù)分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù). .)()()3(1221xFxFxXxP ;d)(21xxfxx 二、二、 性質(zhì)性質(zhì);0)()1( xf;1d)()2( xxf(1),(2)用于驗(yàn)證一個函用于驗(yàn)證一個函數(shù)是否為概率密度數(shù)是否為概率密度注注 (4)(4)式及連續(xù)性隨機(jī)變量分布函數(shù)的定義式及連續(xù)性隨機(jī)變量分布函數(shù)的定義表示表示了分布函數(shù)與概率密度間的兩個關(guān)系

9、利用這些了分布函數(shù)與概率密度間的兩個關(guān)系利用這些關(guān)系，可以根據(jù)分布函數(shù)和概率密度中的一個推關(guān)系，可以根據(jù)分布函數(shù)和概率密度中的一個推出另一個出另一個(4) (4) 若若f( (x) )在點(diǎn)在點(diǎn) x 處處連續(xù)連續(xù)，則則有有)()(xfxF連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)與概率密度的幾何連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)與概率密度的幾何意義：意義：3. 性質(zhì)性質(zhì)(3)表示表示Px10.1。 解解: (1): (1)由于由于 dxxf)(于是于是X的概率密度為的概率密度為 0003)(3xxexfx，解得，解得k=3.dxkex0313k(2)(2)從而從而 )(xF 0001)(3xxexFx即即1 . 0)(dx

10、xfdttfx)( 00013303xxedtexxt1 . 03XP）（3 . 01 . 033edxex的概率密度為知已X .,0,43,22,30,6)(其其他他xxxxxf練習(xí)練習(xí).x)F) 1 (（的分布函數(shù)求 X得得由由 xxxfxFd)()( . 4, 1, 43,d22d6, 30,d6, 0, 0)(3030 xxttttxttxxFxx . 4, 1, 43,423, 30,12, 0, 0)(22xxxxxxxxF即即解解(1)271)2( XP求271)2( XP)1()27(FF .4841 例例2:2: 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量X X的分布函數(shù)的分布函數(shù)00)(

11、xAeBxAexFxx（1 1）求）求A A，B B（2 2）求）求X X的概率密度（的概率密度（3 3）P-1X2 P-1X0,t0有有,|tXPsXtsXP則稱則稱X的分布具有無記憶性的分布具有無記憶性.指數(shù)分布具有無記憶性指數(shù)分布具有無記憶性 2. 指數(shù)分布有著重要應(yīng)用指數(shù)分布有著重要應(yīng)用.如動植物的壽命、無線電元件的壽命，以及如動植物的壽命、無線電元件的壽命，以及隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時間等都可用指數(shù)分隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時間等都可用指數(shù)分布來描述布來描述.例例4 4 設(shè)某種燈泡的使用壽命為設(shè)某種燈泡的使用壽命為X，其概率密度為，其概率密度為 求求(1)此種燈泡使用壽命超過此種燈泡使用壽

12、命超過100小時的概率小時的概率. (2)任取任取5只產(chǎn)品只產(chǎn)品, 求有求有2只壽命大于只壽命大于100小時的概率小時的概率.0 , 00 , 1001)(100 xxexfx解解: (1)1100010010001001 100111001100eedxeXPXPxx或或11001001001001001100eedxeXPxx(2)設(shè)設(shè)Y Y表示表示5 5只產(chǎn)品中壽命大于只產(chǎn)品中壽命大于100100小時的只數(shù)小時的只數(shù), , 則則), 5(1ebY故故312125)1 ()(2eeCYP解：分析：關(guān)鍵：解：分析：關(guān)鍵：t0t0時時,Tt=N(t)=0. 時間間隔大于時間間隔大于t t，在，

13、在00，tt時間內(nèi)未發(fā)生故障。時間內(nèi)未發(fā)生故障。 因?yàn)橐驗(yàn)門t=N(t)=0,Tt=N(t)=0,! 0)(0)(0tettNPtTP 所以所以)(1tFetTPt 0001)(ttetFt所以服從參數(shù)為服從參數(shù)為的指數(shù)分布。的指數(shù)分布。例例4 4 設(shè)設(shè)備在任何長為設(shè)設(shè)備在任何長為t t 時間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)時間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)N(t) (t) N(t) (t) 的的possionpossion分布分布, ,求相繼兩次故求相繼兩次故障間的時間間隔障間的時間間隔T T的分布函數(shù)。的分布函數(shù)。 .其中其中 , ( 0) 為常數(shù)為常數(shù), 則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 , 的正的正態(tài)分布，記為態(tài)分布，記為 . xexfx , 21)(222)( ),(2 NX顯然，顯然，f(x)0，且可以證明且可以證明參數(shù)參數(shù) 的意義將在后面的章節(jié)中給出的意義將在后面的章節(jié)中給出1)(dxxf,若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X的概率密度為的概率密度為u 正態(tài)分布的概率密度函數(shù)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)f( (x) )的性質(zhì)的性質(zhì)(1) 曲線關(guān)于直線曲線關(guān)于直線 x= 對稱對稱 .hXPXhP這表明這表明(2) 當(dāng)當(dāng) x= 時，時，f(x)取得最大值取得最大值;(3) 在在 x= 處處曲線有拐點(diǎn)，且以曲線有拐點(diǎn)，且以x軸為漸近線軸為漸近線 ;Of(x)x 21(4) 對固定的對固定的 ,改變