含參量反常積分的一致收斂性的判別方法

1、學(xué)號(hào)：20105031005學(xué)年論文（本科）學(xué) 院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 專(zhuān) 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 年 級(jí) 2011級(jí) 姓 名 蔣麗 論文題目 含參量反常積分的一致收斂性的判別方法 指導(dǎo)教師 胡旺 職稱(chēng) 教授 成 績(jī) 2014年 3月 14日目 錄摘 要1關(guān)鍵詞1Abstract1Keywords1前 言11.定義12.含參量反常積分一致收斂性的判別法3結(jié)束語(yǔ)7參考文獻(xiàn)7含參量反常積分的一致收斂性的判別方法學(xué)生姓名:蔣麗 學(xué)號(hào)：20115031005數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)指導(dǎo)老師：胡旺 職稱(chēng)： 教授摘 要: 本文從含參量反常積分的定義及含參量反常積分的一致收斂的定義出發(fā),敘述了含參

2、量反常積分的一致收斂性的四種判別法,并且給出了一些例子.關(guān)鍵詞: 區(qū)域;收斂;一致收斂The judgement methods of uniform convergence on improper integrals with paramerAbstract:This article summarizs four kinds of judgement methods of uniform convergence on improper integrals with paramer according to the definitions of improper integrals with

3、aramer and uniform convergence on improper integrals,and give some examples.Key Words: region; convergence; uniform convergence前言含參量反常積分是微積分學(xué)中一類(lèi)重要的積分,研究含參量反常積分及其一致收斂性,可以為分析討論函數(shù)的性質(zhì)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).本文歸納了判別含參量反常積分的一致收斂性的五種方法:一致收斂定義、魏爾斯特拉斯M判別法、狄利克雷判別法和阿貝爾判別法,并且給出了典型例子以說(shuō)明每種判別法的特點(diǎn).1.定義定義1 設(shè)函數(shù)定義在無(wú)界區(qū)域上，若對(duì)每一個(gè)固定的,反常積分

4、 (1)都收斂,則它的值是在上取值的函數(shù),當(dāng)記這個(gè)函數(shù)為時(shí),則有 ，, (2) 稱(chēng)式(1)為定義在上的含參量的無(wú)窮反常積分,或簡(jiǎn)稱(chēng)含參量反常積分.2.含參量反常積分一致收斂性的判別法定義2 若含參量反常積分(1)與函數(shù)對(duì)任給的正數(shù),總存在某一實(shí)數(shù),使得當(dāng)時(shí),對(duì)一切,都有 ,即 ,則稱(chēng)含參量反常積分(1)在上一致收斂于.或簡(jiǎn)單的說(shuō)含參量積分(1)在上一致收斂.定義3 設(shè)函數(shù)在區(qū)域上有定義，若對(duì)的某些值, 為函數(shù)的瑕點(diǎn)，則稱(chēng) (3)為含參量的無(wú)界函數(shù)反常積分，或簡(jiǎn)稱(chēng)含參量反常積分。若對(duì)每一個(gè)，積分(3)都收斂，其積分值在上一致收斂的定義是定義4 對(duì)任給正數(shù),總存在某正數(shù),使得當(dāng)時(shí),對(duì)一切,都有,則

5、稱(chēng)含參量反常積分在上一致收斂.定理1（一致收斂的柯西準(zhǔn)則） 含參量反常積分(1)在一致收斂的充要條件是：對(duì)任給正數(shù),總存在某一實(shí)數(shù),使得當(dāng)時(shí),對(duì)一切,都有.例1 證明含參量反常積分 (4)在上一致收斂(其中),但在內(nèi)不一致收斂.證 做變量代換,得 , (5)其中.由于收斂,故對(duì)任給正數(shù),總存在正數(shù),使當(dāng)時(shí),就有 .取,則當(dāng)時(shí),對(duì)一切,由(5)式有,所以(4)在上一致收斂.現(xiàn)在證明(4)在內(nèi)不一致收斂.由一致收斂定義,只要證明存在某一正數(shù),使對(duì)任何實(shí)數(shù),總相應(yīng)地存在某個(gè)及某個(gè),使得.由于非正常積分收斂,故對(duì)任何正數(shù)與,總存在某個(gè),使得. 即 . (6)現(xiàn)令,由(5)及不等式(6)的左端就有 .所

6、以(4)在內(nèi)不一致收斂.定理2 含參量反常積分在上一致收斂的充要條件是：對(duì)任一趨于的遞增數(shù)列（其中）,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂.例2 證明：若在上連續(xù),又在上收斂,但在處發(fā)散,則在上不一致收斂.證 用反證法,假如積分在上一致收斂,則對(duì)于任給,總存在,當(dāng)時(shí)對(duì)一切恒有.由假設(shè)在上連續(xù),所以是的連續(xù)含數(shù).在上面不等式中令,得到當(dāng)時(shí),.而是任給的,因此在處收斂,這與假設(shè)矛盾,所以積分在上不一致收斂.魏爾斯特拉斯M判別法 設(shè)有函數(shù),使得,.若收斂,則在上一致收斂.例3 證明含參量反常積分 (7)在上一致收斂.證 由于對(duì)任何實(shí)數(shù)都有及反常積分收斂,故由魏爾斯特拉斯判別法,含參量反常積分(7)在上一致收斂.狄

7、利克雷判別法 設(shè)(i) 對(duì)一切實(shí)數(shù),含參量正常積分對(duì)參量在上一致有界,即存在正數(shù),對(duì)一切及一切,都有;(ii) 對(duì)每一個(gè),函數(shù)關(guān)于是單調(diào)遞減且當(dāng)時(shí),對(duì)參量一致地收斂于0,則含參量反常積分在上一致收斂.阿貝爾判別法 設(shè)(i)在上一致收斂;(ii) 對(duì)每一個(gè),函數(shù)關(guān)于是單調(diào)的單調(diào)函數(shù),對(duì)參量在上一致有界.則含參量反常積分在上一致收斂.例4證明含參量反常積分 (8) 在上一致收斂.證 由于反常積分收斂(當(dāng)然對(duì)于參量,它在上一致收斂),函數(shù)對(duì)每一個(gè)關(guān)于單調(diào),且對(duì)任何,都有.故由阿貝爾判別法即得含參量反常積分(8)在上一致收斂.例5 證明(i)在 上一致收斂;(ii)在上不一致收斂.證 (i) ,有 ,而收斂.故 在 上一致收斂.(ii) 因 在處不連續(xù),而 在內(nèi)連續(xù),由連續(xù)性定理知,在上不一致收斂.結(jié)束語(yǔ)本文介紹了含參量反常積分的定義、定理和一致收斂性的判別方法，對(duì)我們今后的學(xué)習(xí)將會(huì)有很大的幫助. 參考文獻(xiàn):1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編,數(shù)學(xué)分析(下冊(cè))北京:高等教育出版社,20012 錢(qián)吉林,數(shù)學(xué)分析題解精粹M,武漢：崇文書(shū)局,20033 武漢大學(xué)數(shù)學(xué)系