工程力學(xué)第四章

1、第第4 4章章 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)4.1 4.1 轉(zhuǎn)動(dòng)方程、角速度和線速度轉(zhuǎn)動(dòng)方程、角速度和線速度4.2 4.2 功率、轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)矩間的關(guān)系功率、轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)矩間的關(guān)系小小 結(jié)結(jié)返回第第4 4章章 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)形式很多，在機(jī)械中常見(jiàn)的有平動(dòng)、繞固定軸轉(zhuǎn)剛體的運(yùn)動(dòng)形式很多，在機(jī)械中常見(jiàn)的有平動(dòng)、繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和平面運(yùn)動(dòng)。動(dòng)和平面運(yùn)動(dòng)。 由于剛體的任何復(fù)雜運(yùn)動(dòng)都可以分解為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，所以平由于剛體的任何復(fù)雜運(yùn)動(dòng)都可以分解為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，所以平動(dòng)和繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)是剛體運(yùn)動(dòng)的基本形式。本章只研究剛體繞動(dòng)和繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)是剛體運(yùn)動(dòng)的基本形式。本章只研究剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。下一頁(yè) 返回4.

2、1 4.1 轉(zhuǎn)動(dòng)方程、角速度和線速度轉(zhuǎn)動(dòng)方程、角速度和線速度4.1.1 4.1.1 轉(zhuǎn)動(dòng)方程轉(zhuǎn)動(dòng)方程剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，體（或其延伸部分）有一條直線始終保持不動(dòng)，剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，體（或其延伸部分）有一條直線始終保持不動(dòng)，其余各點(diǎn)都繞此直線作圓周運(yùn)動(dòng)。這種運(yùn)動(dòng)稱為剛體繞固定其余各點(diǎn)都繞此直線作圓周運(yùn)動(dòng)。這種運(yùn)動(dòng)稱為剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，簡(jiǎn)稱轉(zhuǎn)動(dòng)。固定不動(dòng)的直線稱為轉(zhuǎn)動(dòng)軸。軸轉(zhuǎn)動(dòng)，簡(jiǎn)稱轉(zhuǎn)動(dòng)。固定不動(dòng)的直線稱為轉(zhuǎn)動(dòng)軸。為了確定剛體任一瞬時(shí)在空間的位置，現(xiàn)設(shè)某一剛體繞固定為了確定剛體任一瞬時(shí)在空間的位置，現(xiàn)設(shè)某一剛體繞固定軸軸OzOz轉(zhuǎn)動(dòng)，如轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖圖4-14-1所示。過(guò)剛體轉(zhuǎn)軸作平面所示。過(guò)剛體轉(zhuǎn)軸作平面和平面和

3、平面，平，平面面與固定參考體保持不動(dòng)，平面與固定參考體保持不動(dòng)，平面聯(lián)結(jié)在剛體上與剛體一聯(lián)結(jié)在剛體上與剛體一起繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，兩平面之間夾角起繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，兩平面之間夾角稱為轉(zhuǎn)角。顯然剛體在空稱為轉(zhuǎn)角。顯然剛體在空間的位置，可由轉(zhuǎn)角間的位置，可由轉(zhuǎn)角來(lái)確定，對(duì)應(yīng)一個(gè)轉(zhuǎn)角來(lái)確定，對(duì)應(yīng)一個(gè)轉(zhuǎn)角，剛體便有，剛體便有一個(gè)確定的位置。一個(gè)確定的位置。 下一頁(yè)上一頁(yè)返回4.1 4.1 轉(zhuǎn)動(dòng)方程、角速度和線速度轉(zhuǎn)動(dòng)方程、角速度和線速度剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)角剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)角隨時(shí)間而變化，是時(shí)間隨時(shí)間而變化，是時(shí)間t t的單值連續(xù)函數(shù)，的單值連續(xù)函數(shù)，即即 (4.1)(4.1)式式(4.1)(4.1)稱為剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)

4、動(dòng)方程，它反映了剛體的轉(zhuǎn)稱為剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)方程，它反映了剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律。動(dòng)規(guī)律。轉(zhuǎn)角的單位用弧度轉(zhuǎn)角的單位用弧度(rad(rad) )表示，規(guī)定從轉(zhuǎn)軸的正向朝負(fù)向看去，表示，規(guī)定從轉(zhuǎn)軸的正向朝負(fù)向看去，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，角為正；順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，角為正；順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，角為負(fù)。角為負(fù)。下一頁(yè)上一頁(yè)返回( ) t4.1 4.1 轉(zhuǎn)動(dòng)方程、角速度和線速度轉(zhuǎn)動(dòng)方程、角速度和線速度4.1.2 4.1.2 角速度和線速度角速度和線速度角速度是表示剛體轉(zhuǎn)動(dòng)快慢和轉(zhuǎn)動(dòng)方向的物理量。設(shè)在瞬時(shí)角速度是表示剛體轉(zhuǎn)動(dòng)快慢和轉(zhuǎn)動(dòng)方向的物理量。設(shè)在瞬時(shí)t t，剛體的轉(zhuǎn)角為；在瞬時(shí)剛體的轉(zhuǎn)角為；在瞬時(shí)t t ，

5、剛體的轉(zhuǎn)角為，剛體的轉(zhuǎn)角為 ，如，如圖圖4-24-2所示。則在所示。則在時(shí)間內(nèi)，剛體轉(zhuǎn)過(guò)了角，則比值的極值稱為剛體在時(shí)間內(nèi)，剛體轉(zhuǎn)過(guò)了角，則比值的極值稱為剛體在t t瞬時(shí)的瞬時(shí)瞬時(shí)的瞬時(shí)角速度，簡(jiǎn)稱角速度，以角速度，簡(jiǎn)稱角速度，以表示。有表示。有 (4.2)(4.2)式式(4.2)(4.2)表明，剛體的角速度等于轉(zhuǎn)角對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。角速表明，剛體的角速度等于轉(zhuǎn)角對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。角速度的正負(fù)號(hào)表示剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)方向。當(dāng)時(shí)，剛體往轉(zhuǎn)角的正向轉(zhuǎn)度的正負(fù)號(hào)表示剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)方向。當(dāng)時(shí)，剛體往轉(zhuǎn)角的正向轉(zhuǎn)動(dòng)，即逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)；當(dāng)時(shí)，剛體往轉(zhuǎn)角的負(fù)向轉(zhuǎn)動(dòng)，即順時(shí)針動(dòng)，即逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)；當(dāng)時(shí)，剛體往轉(zhuǎn)角的負(fù)向轉(zhuǎn)動(dòng)，即順

6、時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。角速度的單位為弧度轉(zhuǎn)動(dòng)。角速度的單位為弧度/ /秒秒(rad/s(rad/s) )或簡(jiǎn)寫為或簡(jiǎn)寫為1/1/秒秒(1/s)(1/s)。下一頁(yè)上一頁(yè)返回0lim( )tdttdt 4.1 4.1 轉(zhuǎn)動(dòng)方程、角速度和線速度轉(zhuǎn)動(dòng)方程、角速度和線速度工程上常用轉(zhuǎn)速工程上常用轉(zhuǎn)速n n表示轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢，轉(zhuǎn)速表示轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢，轉(zhuǎn)速n n的單位為轉(zhuǎn)的單位為轉(zhuǎn)/ /分分(rpm)(rpm)，n n與與之間的關(guān)系為之間的關(guān)系為物理學(xué)中曾學(xué)過(guò)，繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任意一點(diǎn)速度的大小，物理學(xué)中曾學(xué)過(guò)，繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任意一點(diǎn)速度的大小，等于角速度與該點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)半徑的乘積，其方向與轉(zhuǎn)動(dòng)半徑垂直，等于角速度與該點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)半徑的

7、乘積，其方向與轉(zhuǎn)動(dòng)半徑垂直，并與剛體轉(zhuǎn)向一致，如并與剛體轉(zhuǎn)向一致，如圖圖4-34-3所示。由于速度方向沿圓周切線，所示。由于速度方向沿圓周切線，所以又稱為線速度或圓周速度。線速度所以又稱為線速度或圓周速度。線速度v v與角速度與角速度的關(guān)系為的關(guān)系為 v v= =rr 式式(4.4)(4.4)中，中，r r為轉(zhuǎn)動(dòng)半徑。為轉(zhuǎn)動(dòng)半徑。下一頁(yè)上一頁(yè)返回26030nn(4.3)(4.3) (4.4)(4.4) 4.1 4.1 轉(zhuǎn)動(dòng)方程、角速度和線速度轉(zhuǎn)動(dòng)方程、角速度和線速度在工程中，一般知道輪子的轉(zhuǎn)速在工程中，一般知道輪子的轉(zhuǎn)速n n和直徑和直徑d d，則將式，則將式(4.3)(4.3)及及r r=

8、=d d/2/2代入式代入式(4.4)(4.4)得輪緣上一點(diǎn)的線速度為得輪緣上一點(diǎn)的線速度為 (4.5)(4.5)式式(4.5)(4.5)中中d d的單位為的單位為m m，n n的單位為的單位為rpmrpm。由于轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上各點(diǎn)速度的大小都與轉(zhuǎn)動(dòng)半徑成正比，所以由于轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上各點(diǎn)速度的大小都與轉(zhuǎn)動(dòng)半徑成正比，所以在轉(zhuǎn)動(dòng)半徑上各點(diǎn)速度分布規(guī)律呈如在轉(zhuǎn)動(dòng)半徑上各點(diǎn)速度分布規(guī)律呈如圖圖4-44-4所示的三角形分布，所示的三角形分布，即線性分布。即線性分布。上一頁(yè) 返回)m/s(6030dnrnv4.2 4.2 功率、轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)矩間的關(guān)系功率、轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)矩間的關(guān)系4.2.1 4.2.1 功率功率力在單位時(shí)間

9、內(nèi)所做的功稱為功率，用符號(hào)力在單位時(shí)間內(nèi)所做的功稱為功率，用符號(hào)P P表示。根據(jù)物理表示。根據(jù)物理學(xué)知，不變力的功率等于力學(xué)知，不變力的功率等于力F F在其作用點(diǎn)速度在其作用點(diǎn)速度v v的乘積（設(shè)力的乘積（設(shè)力F F與速度方向一致），即與速度方向一致），即 P P= =FvFv對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，如在其上某點(diǎn)對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，如在其上某點(diǎn)A A作用一個(gè)切向力作用一個(gè)切向力F F，則，則A A點(diǎn)的點(diǎn)的線速度線速度v v= =rr，如，如圖圖4-54-5所示。則所示。則 P P= =FvFv= =F rF r= =MM (4.6)(4.6)下一頁(yè) 返回4.2 4.2 功率、轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)矩間的關(guān)系功率、轉(zhuǎn)速與

10、轉(zhuǎn)矩間的關(guān)系式式(4.6)(4.6)中中M M= =FrFr，為力，為力F F對(duì)剛體轉(zhuǎn)軸對(duì)剛體轉(zhuǎn)軸O O點(diǎn)之矩，即轉(zhuǎn)矩的功率點(diǎn)之矩，即轉(zhuǎn)矩的功率等于力對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸之矩與剛體的角速度的乘積。等于力對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸之矩與剛體的角速度的乘積。功率的單位為瓦特，代號(hào)為功率的單位為瓦特，代號(hào)為W W，1 W=1 J/s=1 Nm/s1 W=1 J/s=1 Nm/s。工程。工程中常用中常用kW(kW(千瓦千瓦) )作功率的單位，作功率的單位，1 kW=1000 W1 kW=1000 W。下一頁(yè)上一頁(yè)返回4.2 4.2 功率、轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)矩間的關(guān)系功率、轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)矩間的關(guān)系4.2.2 4.2.2 功率、轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)速之間的關(guān)系功

11、率、轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)速之間的關(guān)系在機(jī)械傳動(dòng)中常要根據(jù)給定的功率和轉(zhuǎn)速來(lái)計(jì)算轉(zhuǎn)矩的大小。在機(jī)械傳動(dòng)中常要根據(jù)給定的功率和轉(zhuǎn)速來(lái)計(jì)算轉(zhuǎn)矩的大小。將式將式(4.3)(4.3)代入式代入式(4.6),(4.6),則可導(dǎo)出轉(zhuǎn)動(dòng)物體的功率則可導(dǎo)出轉(zhuǎn)動(dòng)物體的功率P P(kW(kW) )、轉(zhuǎn)、轉(zhuǎn)速速n n(rpm(rpm) )與轉(zhuǎn)矩與轉(zhuǎn)矩M M(Nm(Nm) )的關(guān)系為的關(guān)系為 (4.7)(4.7)則有則有下一頁(yè)上一頁(yè)返回9550100030MnnMMPnPM9550(4.8)(4.8) 4.2 4.2 功率、轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)矩間的關(guān)系功率、轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)矩間的關(guān)系式式(4.8)(4.8)中，中，P P的單位為的單位為kWkW，M

12、 M的單位為的單位為NmNm，n n的單位為的單位為rpmrpm。由以上各式可見(jiàn)，當(dāng)功率由以上各式可見(jiàn)，當(dāng)功率P P一定時(shí)，一定時(shí)，F(xiàn) F與與v v成反比，或成反比，或M M與與成成反比。例如，汽車上坡時(shí)需要較大的驅(qū)動(dòng)力矩反比。例如，汽車上坡時(shí)需要較大的驅(qū)動(dòng)力矩M M或較大的牽引或較大的牽引力，駕駛員就用低速檔，使汽車的速度減小，以便在一定功力，駕駛員就用低速檔，使汽車的速度減小，以便在一定功率的情況下產(chǎn)生較大的牽引力。率的情況下產(chǎn)生較大的牽引力。上一頁(yè) 返回小小 結(jié)結(jié)(1) (1) 剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，體內(nèi)有一條直線始終保持不動(dòng)，其余各點(diǎn)剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，體內(nèi)有一條直線始終保持不動(dòng)，其余各點(diǎn)都繞此直線作圓周運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)稱為剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。都繞此直線作圓周運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)稱為剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。(2) (2) 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢用角速度或轉(zhuǎn)速表示，二者的關(guān)系是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢用角速度或轉(zhuǎn)速表示，二者的關(guān)系是(3) (3) 轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上任意一點(diǎn)速度等于該剛體角速度與該點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上任意一點(diǎn)速度等于該剛體角速度與該點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)半徑的乘積半徑的乘積( (v v= =rr) )，速度方向沿圓周切線方向。剛體定軸轉(zhuǎn)，速度方向沿圓周切線方向。剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體上各點(diǎn)速度與該點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)半徑成正比。輪緣上的一動(dòng)時(shí)，剛體上各點(diǎn)速度與該點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)半徑成正比。輪緣上的一點(diǎn)線速度點(diǎn)線