電磁場(chǎng)理論課件：電磁場(chǎng)數(shù)學(xué)習(xí)題解

1、2021-11-16Copy right By Dr.Fang1電磁場(chǎng)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)習(xí)題解電磁場(chǎng)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)習(xí)題解求（1） ；（2）矢量 的方向余弦；（3） ；（4） ；2021-11-16Copy right By Dr.Fang2AeABABA， （5）驗(yàn)證 ；32zyxeeeAzyeeB425yxeeCBACACBCBABACCABCBA1.1 ，（6）驗(yàn)證 解：解：AAeA（2 2）141cosAAx142cosAAy143cosAAz（3 3）111) 3()4(2zzyyxxBABABABA（1 1）123141414xyzeee2021-11-16Copy right By Dr.Fang

2、3 zyxzyxzyxBBBAAAeeeBAxyzzyyzxxzzxyyxBCeB CB CeB CB CeB CB CzyxeeeAC12156zyxeeeBA410 xyyxzzxxzyyzzyxBABAeBABAeBABAe，4860102CBA，4812600ACB480250BAC所以所以BACACBCBA32zyxeeeAzyeeB4，zyxeee410（4 4）25yxeeC2520 xyzeee（5 5）驗(yàn)證）驗(yàn)證BACACBCBA2021-11-16Copy right By Dr.Fang42052zyxzyxAAAeeeCBA B A CC A BA C BA B C A

3、B CB A CC A B 所以所以zyxeee2052zyxeee2655 （6 6）驗(yàn)證）驗(yàn)證zyxzyxzyxCCCBBBeeeCBxyyxzzxxzyyzzyxCBCBeCBCBeCBCBeAB CB A CC A B 32zyxeeeA25yxeeCzyeeB4，5526xyzeee11BC2021-11-16Copy right By Dr.Fang51.2 1.2 給定一未知矢量與一已知矢量的標(biāo)量積和矢量積，則可確定該給定一未知矢量與一已知矢量的標(biāo)量積和矢量積，則可確定該未知矢量。設(shè)未知矢量。設(shè)為已知矢量，已知和，求為已知矢量，已知和，求 AXABXXABXAAAXAXAA)()

4、(解：解： BAXAAXAABBA22ABAABXXAAXA2)(XAAB2根據(jù)矢量公式(1.1.40)AB CB A CC A B 2021-11-16Copy right By Dr.Fang6 zueyuexueuzyx解：解： 1.3 1.3 求標(biāo)量場(chǎng)在點(diǎn)（求標(biāo)量場(chǎng)在點(diǎn)（2,-1,1）處的梯度以及沿矢處的梯度以及沿矢量方向上的方向?qū)?shù)。量方向上的方向?qū)?shù)。 32yzxyuzyxeeel22zyxeeeu33)1 , 1, 2(zyxleeelle313232 )1 , 1, 2()1 , 1, 2(leulu2323)2(yzezxyeyezyx31)31()3(32)3(321202

5、1-11-16Copy right By Dr.Fang7 1.41.4計(jì)算對(duì)中心原點(diǎn)單位立方體計(jì)算對(duì)中心原點(diǎn)單位立方體表面的面積分，計(jì)算表面的面積分，計(jì)算 對(duì)此立方體的體積分，驗(yàn)證散度定理。對(duì)此立方體的體積分，驗(yàn)證散度定理。3222224zyxexyexeAzyxA解：解：zxeSyddd3zxeSyddd4，zyeSxddd1zyeSxddd2，yxeSzddd5yxeSzddd6，621621ddddSSSSSASASASA654321dd24dd24dddddddd3223222222SSSSSSyxzyxyxzyxzxxyzxxyzyxzyx單位立方體六個(gè)表面的面積微元： xyzP0

6、.5x 0.5y 0.5y 0.5z 0.5x 0.5z 0.50.50.50.50.50.520.50.50.50.50.50.50.25d d0.25d d0.25d dy zy zxx z0.50.50.50.50.50.5222220.50.50.50.50.50.50.25d d3d d3d dxx zx yx yx yx y2021-11-16Copy right By Dr.Fang8 5 . 05 . 05 . 05 . 022dd32dyxyxSASVzAyAxAVAzyvxvd)(d故故VSVASAddxyyxdd65 . 05 . 05 . 05 . 022xyxd316

7、5 . 05 . 05 . 05 . 032 5 . 05 . 05 . 05 . 05 . 05 . 02222ddd7222zyxzyxyxx11117212121224 5 . 05 . 05 . 05 . 05 . 05 . 0222ddd72zyxzyxxx d12165 . 05 . 020.530.51 12 3x3222224zyxexyexeAzyxVzyxyxxvd)7222(22220.50.50.53220.50.50.5172d d3xy zy z 1242021-11-16Copy right By Dr.Fang9解：解： 4321ddd22llllLzzyyxx

8、xl dAzeyexelzyxdddd4321dddd22llllyxxxyxxx8d0dd4d02022020yxxyxxAxyz22l2l1l3l41.5 計(jì)算 沿(0,0,0)，(2,0,0)，(2,2,0)，(0,2,0)，(0,0,0)正方形閉合回路的線積分，再計(jì)算對(duì)此回路所包圍的表面積的積分，以驗(yàn)證斯托克斯定理。zyexexeAzyx22A2021-11-16Copy right By Dr.Fang10zyxxzyxeeeAzyx22d22d dxzzSSASeyzexe x y驗(yàn)證了斯托克斯定理驗(yàn)證了斯托克斯定理 lSlASAddxeyzezx228dd22020 yxxdd

9、dzSe x yzyexexeAzyx22xyz22l2l1l3l42021-11-16Copy right By Dr.Fang11 zfeyfexfefzeyexefzyxzyxzfeyfexfezeyexefzyxzyx1.6 f 為任意一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，求為任意一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，求 f解：解： 000222222yzfexzfezyfeyxfezxfeyxfexyxzyz02021-11-16Copy right By Dr.Fang12 1.7 1.7 為任意一個(gè)矢量函數(shù)，求為任意一個(gè)矢量函數(shù)，求 。)(AyAxAexAzAezAyAeAAAzyxeeeAxyzzxyyzxzyxzyxyAx

10、yAexAzAezAyAezeyexeAxyzzxyyzxzyx解：解： 0222222yzAxzAxyAyzAxzAxyAxyzxyzA2021-11-16Copy right By Dr.Fang13 1.8 1.8 證明：證明： AfAfAf)(zzyyxxzyxfAefAefAezeyexeAf證明：證明： zfAzAfyfAyAfxfAxAfzzyyxxfAAfAfAfyxzxxyyzzxyzAAAffffe Ae Ae AeeexyzxyzyxzxyzAAAffffffAAAxyzxyz2021-11-16Copy right By Dr.Fang14 1.12 1.12 , ,試

11、求試求 , , , , 。sincos),(32zeezAAAA2解：解： sincos133zA代入得：代入得： 3213231213213211uhhAuhhAuhhAhhhA圓柱坐標(biāo)系的拉梅系數(shù)：圓柱坐標(biāo)系的拉梅系數(shù)：21cosAsin33A20A , , , ,2uzu 31u, , ,3322113213322113211hAhAhAuuuuhuhuhhhhAsin0cos132zeeez11h2h13h，cos32021-11-16Copy right By Dr.Fang15 sin0cos132zeeeAzsinsin3cos22zeeeAAA2)(公式：公式：AAA)(2所以

12、所以333222111uhuuhuuhucos3 A，cos3)(eeAsinsin3cos22zeeeAsin3cos3ee()3cos3sinAee 2021-11-16Copy right By Dr.Fang16 3322113213322113211hAhAhAuuuuhuhuhhhhAsin8sincoszeeeAAA)(2sinsin3cos132zeeeAzsinsin3cos22zeeeA，sin8sincossin3cos3zeeeeesin8sin2cos2zeee()3cos3sinAee 2021-11-16Copy right By Dr.Fang171.15 1.

13、15 , ,試求試求 及及 。2sin),(rrfff2333222111uhuuhuuhu解：解： 球坐標(biāo)系的拉梅系數(shù)：球坐標(biāo)系的拉梅系數(shù)：，11hrh 2sin3rh 2u3uru 1, , ,33123223121132132121uhhhuuhhhuuhhhuhhh222sinsinsinsinrrrrfeeerrr ffrfrrrfsin1sinsinsin122233cossin2rerersin2cossin244rr22222sinsin2sin1rrrrsinsincossin24222rsin14r2021-11-16Copy right By Dr.Fang182sin),(rrf1.16 求求 , S為球心位于原點(diǎn)，半徑為為球心位于原點(diǎn)，半徑為5的球面。的球面。 解：解： 球坐標(biāo)系：球坐標(biāo)系