xmx-04彎曲內(nèi)力

1、火車的車軸火車的車軸受力特點(diǎn)：受力受力( (集中力、分布力集中力、分布力) )、力偶的作用、力偶的作用, ,力偶作用在通過軸線的平面內(nèi)，力偶作用在通過軸線的平面內(nèi)，力垂直于軸線。力垂直于軸線。變形特點(diǎn)：桿件的軸線由直線變?yōu)榍€。桿件的軸線由直線變?yōu)榍€。彎曲變形梁梁(beam)平面彎曲載荷作用在同一平面，并使梁的軸線在該平載荷作用在同一平面，并使梁的軸線在該平面內(nèi)彎曲時(shí)稱為面內(nèi)彎曲時(shí)稱為平面彎曲（對(duì)稱彎曲）平面彎曲（對(duì)稱彎曲）。4-4-1 彎曲彎曲(Bending)的概念的概念高速鐵路32M箱梁箱梁制梁梁生產(chǎn)線杭州灣跨海大橋巨型箱梁2FF2F工程中的梁橫截面一般都是對(duì)稱的。工程中的梁橫截面一般

2、都是對(duì)稱的。外載荷作用在外載荷作用在縱向?qū)ΨQ平面縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，梁的軸線在縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)彎內(nèi)，梁的軸線在縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)彎曲成一條平面曲線曲成一條平面曲線-撓曲線。梁發(fā)生撓曲線。梁發(fā)生平面彎曲.PPP縱向?qū)ΨQ面縱向?qū)ΨQ面撓曲線撓曲線簡(jiǎn)支梁簡(jiǎn)支梁外伸梁外伸梁懸臂梁懸臂梁幾何形狀簡(jiǎn)化：幾何形狀簡(jiǎn)化：不考慮截面形狀，用構(gòu)件的軸線來表示，簡(jiǎn)化為一直桿。不考慮截面形狀，用構(gòu)件的軸線來表示，簡(jiǎn)化為一直桿。載荷簡(jiǎn)化：載荷簡(jiǎn)化：集中載荷、分布載荷、集中力偶。集中載荷、分布載荷、集中力偶。支座簡(jiǎn)化：支座簡(jiǎn)化：可動(dòng)鉸支座、固定鉸支座、固定端支座?？蓜?dòng)鉸支座、固定鉸支座、固定端支座。4-2 4-2 梁的簡(jiǎn)化梁的簡(jiǎn)化懸

3、臂梁懸臂梁(外伸梁外伸梁(簡(jiǎn)支梁簡(jiǎn)支梁(梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖: :PRARB2l2lABC2aaqP = q aABDRARBql1.1.用截面法求內(nèi)力：用截面法求內(nèi)力：lIIxARxoQ剪力剪力(shear force)4-3 4-3 梁彎曲時(shí)橫截面上的內(nèi)力梁彎曲時(shí)橫截面上的內(nèi)力剪力和彎矩剪力和彎矩P2.2.內(nèi)力符號(hào)規(guī)定：內(nèi)力符號(hào)規(guī)定：+Q+ +MM剪力剪力“左上右下為正”彎矩彎矩: :“左順右逆為正”MARBRxPQM彎矩彎矩(Bending moment)MQQM+ +ARBR截面，取左側(cè)為研究對(duì)象：截面，取左側(cè)為研究對(duì)象：10:0AYQR1AQR 10:0oAMFMR x1AMR

4、xARBRlIIxARxo1Q1MP注意注意:對(duì)截面對(duì)截面O取力矩平衡取力矩平衡IIxII截面，取右側(cè)為研究對(duì)象：截面，取右側(cè)為研究對(duì)象：BRxl20:0BYQR2BQR 2( )0:()0oBMFMRlx2()BMR lx2M2QoBRxl oARxo1Q1M2M2QARBRlIIxPIIxII1AQR1AMR x 截面一側(cè)所有豎向分力的代數(shù)和截面一側(cè)所有豎向分力的代數(shù)和; ; 截面一側(cè)所有外力對(duì)截面形心之矩的代數(shù)和。截面一側(cè)所有外力對(duì)截面形心之矩的代數(shù)和。MQQM+ +內(nèi)力方向設(shè)正，求代數(shù)和。內(nèi)力方向設(shè)正，求代數(shù)和。外力的方向和內(nèi)力的方向相反，則取正號(hào)；反之取負(fù)。外力的方向和內(nèi)力的方向相反

5、，則取正號(hào)；反之取負(fù)。2BQR 2()BMR lx例題例題：簡(jiǎn)支梁，求：簡(jiǎn)支梁，求1-1，2-2截面上的內(nèi)力截面上的內(nèi)力ARBRm1m1m2Am5.1m311228PkN2qkN mB（1）求支反力）求支反力0,AM42 2 3 8 10BR 5BRkNRA82 2 + RB =0RA= 7kNY=0,2Q2MmkNq2Bm1BR22=,31BQqQKNR 22111,24BMRqMKN m ARBRm1m1m2Am5.1m311228PkN2qkN mB取取2-2截面的右側(cè)研究截面的右側(cè)研究5BRkN7ARkN（2）求內(nèi)力）求內(nèi)力m1kNP8m5.1AR1Q1MQ1=RA8；QQ1 1=1k

6、N=1kNM1=RA1.5-P0.5；M1=6.5kN.m取取1-1截面的左側(cè)研究截面的左側(cè)研究3. 3. 剛度條件：剛度條件：maxmax: pTGImax180max :pTGI單位單位:度度/米米; (o/m)pdTdxGI單位單位:弧度弧度/米米; (rad/m)2.2.單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角GIp抗扭剛度pTlG I1niiiiPiT lGI圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的變形、剛度圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的變形、剛度lP1P2BA彎矩和剪力mmaRAMQRBP2P1QMRBRAMQQM+ +剪力剪力Q：“左上右下為正”彎矩彎矩M：“左順右逆為正左順右逆為正”2Q2MmkNq2Bm1BR22=,

7、31BQqQKNR 22111,24BMRqMKN m m1m1m2Am5.1m311228PkN2qkN mB取取2-2截面的右側(cè)研究截面的右側(cè)研究5BRkN7ARkN（2）求內(nèi)力）求內(nèi)力m1kNP8m5.1AR1Q1MQ1=RA8；QQ1 1=1kN=1kNM1=RA1.5-P0.5；M1=6.5kN.m取取1-1截面的左側(cè)研究截面的左側(cè)研究 截面一側(cè)所有豎向分力的代數(shù)和截面一側(cè)所有豎向分力的代數(shù)和; ; 截面一側(cè)所有外力對(duì)截面形心之矩的代數(shù)和。截面一側(cè)所有外力對(duì)截面形心之矩的代數(shù)和。m截面一側(cè)所有截面一側(cè)所有豎向分力豎向分力的代數(shù)和。的代數(shù)和。截面一側(cè)所有截面一側(cè)所有外力對(duì)截面形心力矩外

8、力對(duì)截面形心力矩的代數(shù)和的代數(shù)和。 22=,31BQqQKNR 22111,24BMRqMKN m ARBRm1m1m2Am5.1m311228PkN2qkN mB2-2截面截面:5BRkN7ARkNMQQM+ +Q1=RA8；Q Q1 1=1kN=1kNM1=RA1.5-P0.5；M1=6.5kN.m1-1截面截面:剪力方程剪力方程 Q(x)Q(x): :描述剪力沿梁的軸線變化規(guī)律的方程描述剪力沿梁的軸線變化規(guī)律的方程4-4 4-4 剪力圖與彎矩圖剪力圖與彎矩圖彎矩方程彎矩方程 M(x):M(x):描述彎矩沿梁的軸線變化規(guī)律的方程描述彎矩沿梁的軸線變化規(guī)律的方程剪力方程剪力方程Q(x)Q(x

9、)的分段規(guī)定的分段規(guī)定: :(1)(1)在集中力在集中力( (包括約束反力包括約束反力) )作用處作用處; ;(2)(2)在分布載荷在分布載荷( (主要是均布載荷主要是均布載荷) )的作用起點(diǎn)和終點(diǎn)的作用起點(diǎn)和終點(diǎn)彎矩方程彎矩方程M(x)M(x)的分段規(guī)定的分段規(guī)定: :(1)(1)在剪力方程分段的位置在剪力方程分段的位置; ;(2)(2)在集中力偶在集中力偶( (包括約束反力偶包括約束反力偶) )作用處作用處; ;在區(qū)段內(nèi)用不同的方程表示在區(qū)段內(nèi)用不同的方程表示定義域定義域的表示規(guī)定的表示規(guī)定: : Q(x)Q(x), ,集中力作用處為開域集中力作用處為開域, ,其他為閉域其他為閉域. .

10、M M(x)(x), ,集中力偶作用處為開域集中力偶作用處為開域, ,其他為閉域其他為閉域. .解：（解：（1 1）支反力）支反力2PRRBA( )2,(0,)2AlQ xRPx2,0, 2AlMR xPxx(2)(2)列列Q Q、M M方程方程例例1:梁，已知梁，已知 P，l。列。列 Q，M方程；方程；作作Q、M 圖圖。( )2,( , )2BlQ xRPxl ( )2, , 2BlM xRlxP lxxlPRARB2l2lABCACAC段段Q(x)M(x)xARACAC段段CBCB段段Q(x)M(x)BRlxCBCB段段42maxmaxPlMPQ2PQ2PM4Pl有集中力作用處，有集中力作

11、用處，Q圖有突變，圖有突變，M圖有折點(diǎn)圖有折點(diǎn).結(jié)構(gòu)對(duì)稱、載荷對(duì)稱，結(jié)構(gòu)對(duì)稱、載荷對(duì)稱，Q圖反對(duì)稱，圖反對(duì)稱，M圖對(duì)稱圖對(duì)稱.+_解：（解：（1 1）支反力）支反力lmRRBA Q(x)M(x)xAR,(0, )AmQRxll,0, )2AmlMR xx xlQ(x)M(x)BRlx（2）列）列Q、M方程方程( , 2BmlMRlxlxxll，例例2:梁，已知梁，已知 m，l。列。列Q，M方程；畫方程；畫Q，M圖。圖。RARB2l2lmABCABAB段段ACAC段段CBCB段段QlmM2m2m2,maxmaxmMlmQ 有集中力偶作用處，有集中力偶作用處，M圖有突變，圖有突變，Q圖不受影響圖不

12、受影響.結(jié)構(gòu)對(duì)稱、載荷反對(duì)稱，結(jié)構(gòu)對(duì)稱、載荷反對(duì)稱，Q圖對(duì)稱，圖對(duì)稱，M圖反對(duì)稱圖反對(duì)稱.+_+例題例題3 3：求梁的剪力方程，彎矩方程；：求梁的剪力方程，彎矩方程； 并作并作Q Q、M M 圖圖。解：解：(1)列列Q、M方程方程( )0,qQ xxxl2( )0,22xqM xqxxlx qlQ max22maxqlMQ(x)M(x)x(2)作作Q、M圖圖qlQqlM212ql M、Q、q存在微分關(guān)系存在微分關(guān)系解：（解：（1）支反力）支反力2qlRRBA Q(x)M(x)xAR2maxqlQ 82maxqlM qlRARB（2）列）列Q、M方程方程（3）作）作Q、M圖圖; 8:22qlMl

13、xM8/2ql2lQ2/ql2/ql例題例題4：簡(jiǎn)支梁，已知：簡(jiǎn)支梁，已知q、l， 試列試列Q，M方程；畫方程；畫Q，M圖。圖。 ,(0, )2qlQ xqx xl ,0, 22qlqxM xxx xl本題：若分別對(duì)本題：若分別對(duì)M（x），），Q（x）求一階導(dǎo)數(shù)，得：求一階導(dǎo)數(shù)，得：這個(gè)微分關(guān)系是這個(gè)微分關(guān)系是偶然？必然偶然？必然？Q(x)M(x)xARqlRARBQ、M方程方程 2qlQ xqx 22qlqxM xxx 2dM xqlqxQ xdx ,dQ xqdx 22d M xqdx M8/2ql2lQ2/ql2/ql4-1 (c)，(f) 4-2 (c)，(e)，(h), (j)dxQ

14、(x)M(x)Q(x)+dQ(x)q(x)M(x)+dM(x)cyBAxq(x)l取典型微段xdx4-4 4-4 彎矩、剪力、荷載集度間的微分關(guān)系彎矩、剪力、荷載集度間的微分關(guān)系列平衡方程列平衡方程( )( )dQ xq xdxdxQ(x)M(x)Q(x)+dQ(x)q(x)M(x)+dM(x)c0 dx)x(q)x(dQ)x(Q)x(Q:Y 0( )( )dM xQ xdx:Mc 002 dxdx)x(qdx)x(Q)x(M)x(dM)x(M高階微量對(duì)上式求導(dǎo)得：對(duì)上式求導(dǎo)得：22( )( )( )d M xdQ xq xdxdx)x( qdx)x(dQ )x(Qdx)x(dM )x(qdx

15、)x(Md 22yBAxq(x)lqlRARBM8/2ql2lQ2/ql2/qlPQMmQM1. 1. q=0 q=0 的區(qū)間的區(qū)間, , Q Q 水平直線水平直線, , M M為斜直線為斜直線; ; Q0,MQ0,M的斜率為正的斜率為正( (向上斜向上斜), ), Q0,MQ0,M的斜率為負(fù)的斜率為負(fù)( (向下斜向下斜) )。 3. 3.集中力集中力 P P 作用點(diǎn)，作用點(diǎn)， 剪力圖有突變剪力圖有突變, , 突變值等于突變值等于 P ,P , 彎矩圖有折點(diǎn)。彎矩圖有折點(diǎn)。 4. 4.集中力偶集中力偶 M M 作用點(diǎn)作用點(diǎn), , 彎矩圖有突變彎矩圖有突變, , 突變值等于突變值等于m m。 剪

16、力圖無變化剪力圖無變化. .Q M qMQq2.q2.q為為常數(shù)常數(shù) ( (向下向下) )的區(qū)間的區(qū)間, , Q Q 為斜向下的直線為斜向下的直線, , M M為開口向下的拋物線。為開口向下的拋物線。 Q=0 Q=0 的位置對(duì)應(yīng)于的位置對(duì)應(yīng)于 MM圖圖 上的極值點(diǎn)位置上的極值點(diǎn)位置 。+_+_（1 1）整個(gè)梁左、右端點(diǎn)：）整個(gè)梁左、右端點(diǎn)： 集中力按照集中力按照“左上右下為正左上右下為正”的規(guī)則看作端部剪力直接畫出；的規(guī)則看作端部剪力直接畫出； 集中力偶按照集中力偶按照“左順右逆為正左順右逆為正”的規(guī)則看作端部彎矩直接畫出。的規(guī)則看作端部彎矩直接畫出。（2 2）中間的控制截面：用截面法（或微分

17、關(guān)系）中間的控制截面：用截面法（或微分關(guān)系）分段分段依次畫每段圖：依次畫每段圖： a a、確定各段內(nèi)力圖形狀（微分關(guān)系）；、確定各段內(nèi)力圖形狀（微分關(guān)系）； b b、求控制截面的內(nèi)力值；、求控制截面的內(nèi)力值；（1 1）集中力看作當(dāng)前端部剪力，按照）集中力看作當(dāng)前端部剪力，按照“左上右下為正左上右下為正”的規(guī)則，正剪力向的規(guī)則，正剪力向上突變，負(fù)剪力向下突變。上突變，負(fù)剪力向下突變。 （從左向右畫，遇到向上的集中力，向上突變；（從左向右畫，遇到向上的集中力，向上突變；）（2 2）集中力偶看作當(dāng)前端部彎矩，按照）集中力偶看作當(dāng)前端部彎矩，按照“左順右逆為正左順右逆為正”的規(guī)則，正彎矩的規(guī)則，正彎矩

18、向上突變，負(fù)彎矩向下突變。向上突變，負(fù)彎矩向下突變。 （從左向右畫，遇到順時(shí)針的集中力偶，向上突變；（從左向右畫，遇到順時(shí)針的集中力偶，向上突變；） c c、在集中力、集中力偶作用處，、在集中力、集中力偶作用處，內(nèi)力突變內(nèi)力突變PSPS：先畫剪力圖，后畫彎矩圖：先畫剪力圖，后畫彎矩圖例例: : 求下列各梁的剪力、彎矩求下列各梁的剪力、彎矩圖圖。解：解：(1)支反力支反力q2aaABCRARB22 24AqaqaRa45qaRqaRABQM22maxqaM qa(2)作剪力圖、彎矩圖作剪力圖、彎矩圖4qa22qaqaQ max+_解：（解：（1）支反力）支反力2PRRBA2maxPQ2maxPa

19、Ma2aaPPABCDRARBQ2P2P2Pa2Pa2PM(2)作剪力圖、彎矩圖作剪力圖、彎矩圖+_+_解：（解：（1）支反力）支反力2qaRA25qaRB2:0axQC82qaMC2aaqP = q aABDRARBQqaC23maxqaQ2maxqaM M2qa 82qa23qa2/qa(2)作剪力圖、彎矩圖作剪力圖、彎矩圖2.BMqa aqa _+_+_+_+x2aaqACB2qaRARBQqaqa2qaM解解:（1）支反力）支反力qaRRBA qaQ max2maxqaM 22qa222AaqaMRaq a x(2)作剪力圖、彎矩圖作剪力圖、彎矩圖022 aaqaRMACxa+_+xQ

20、qa232qaM解解:（1）支反力）支反力14ARqa max94Qqa2max52Mqa(2)作剪力圖、彎矩圖作剪力圖、彎矩圖2aaqABC2qaRARBqa174BRqa4qa2qa94qa252qa練習(xí)練習(xí): : 畫梁的剪力、彎矩畫梁的剪力、彎矩圖圖。_+_4-5（b）、（）、（e）、（）、（f）、（）、（h） P=3kNm=6kNmq=1kN/mDCBA3m2m4mYBYAQ=0Q=0位置：位置：x=2.5mx=2.5mMME E=25/8kN.m=25/8kN.m2.5 4 1 422()DMkN m 左3.532.5CBADE練習(xí)：利用練習(xí)：利用Q Q、MM之間的微分關(guān)系，作圖示梁

21、的之間的微分關(guān)系，作圖示梁的QQ、MM圖。圖。(2)作Q、M圖)kN( .Y )kN( .YBA5652 (1)(1)求約束反力求約束反力解解: :8/254292.5 6 1 6 369()BMkN m max3.5kNQmax9kNMQ/(kN)xM/(kN. m)4 m4 m4 m3m12 kNP 22 kNP 10 kNmDM1kN/mq ACDBEARBR7 kNAR 5kNBR Q/(kN)M/(kN. m)7313220166620.51m已知簡(jiǎn)支梁剪力圖，試畫出梁的荷載圖(假設(shè)無集中力偶作用)和彎矩圖。10kN2kN/m3kN3kN4m4m3kN5kN5kN3kNQ圖圖M圖圖4

22、kN.m4kN.m4kN.m4kN5kN3 kN6kN2m2m2m1kN4kN5kNQ圖圖M圖圖8kN.m10kN.m在支座C處有集中力作用（約束反力）剪力值將有突變；M圖在AB段不應(yīng)是直線而是折線（M圖在C點(diǎn)的斜率發(fā)生變化）。Q圖圖a/m 2mM圖圖m2aCBAQ圖圖a/m 2M圖圖mCB段Q=0，Q圖上不應(yīng)有數(shù)值；CB段Q=0，CB段的M圖應(yīng)是水平線（M是常數(shù)）;a/m 2a/m 2CBDAQ圖圖3/qa35/qaM圖圖18252qa1.5aqaQ圖圖32qa3/qa在B點(diǎn)剪力不應(yīng)有突變（因?yàn)闆]有集中力作用）；M圖在B點(diǎn)應(yīng)有突變（有集中力偶作用）；對(duì)應(yīng)于M最大點(diǎn)處，剪力為零。qa2aBAC2qa3/qa35/qaM圖圖35 /a3/a18252qa342qa32qaQ圖圖am 2maaDBaCAM圖圖2m2m2mQ圖圖am 2am 2mM圖圖BD段的剪力正負(fù)號(hào)有錯(cuò)；鉸B處沒有集中力，Q圖應(yīng)是連續(xù)的;在C處有集中力偶作用，M圖應(yīng)有突變;在中間鉸B處M應(yīng)等于零;am 2 Q圖的正負(fù)號(hào) “左上右下為 正, 且反對(duì)稱；M圖畫在受壓的一側(cè)，且BC段不為零在B、C點(diǎn)無集中力偶，M圖不應(yīng)有突變；又因?yàn)锽C段Q=0，所以該段 M=常量。PPQ圖圖PaPaM圖圖aaaDCBAPPxPPPPQ圖圖PaPaM圖圖剛架：剛架：由兩根