MATLAB 微分方程求解

1、數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 微微 分分 方方 程程微分方程的解析解微分方程的解析解 求微分方程（組）的解析解命令:dsolve(方程方程1, 方程方程2,方程方程n, 初始條件初始條件, 自變量自變量) 記號(hào): 在表達(dá)微分方程時(shí)，用字母 D 表示求微分，D2、D3 等表示求高階微分.任何 D 后所跟的字母為因變量，自變量可以指定或由系統(tǒng)規(guī)則選定為確省.例如，微分方程 022dxyd應(yīng)表達(dá)為：D2y=0.例例 1 求 21 udtdu 的通解.解解 輸入命令：dsolve(Du=1+u2,t)To Matlab（ff1） 結(jié) 果：u = tan(t-c)例例 2 求微分方程的特解. 1

2、5)0( , 0)0(029422yyydxdydxyd 解解 輸入命令: y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x)結(jié) 果 為 : y =3e-2xsin（5x）To Matlab（ff2） 例例 3 求微分方程組的通解. zyxdtdzzyxdtdyzyxdtdx244354332解解 輸入命令 ： x,y,z=dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z,Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z, t)； x=simple(x) % 將x化簡(jiǎn) y=simple(y) z=simple(z)結(jié) 果 為：x = (c1-c2+c3+

3、c2e -3t-c3e-3t)e2t y = -c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2t z = (-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t To Matlab（ff3）返 回微分方程的數(shù)值解微分方程的數(shù)值解（一）常微分方程數(shù)值解的定義（一）常微分方程數(shù)值解的定義 在生產(chǎn)和科研中所處理的微分方程往往很復(fù)雜且大多得不出一般解。而在實(shí)際上對(duì)初值問題，一般是要求得到解在若干個(gè)點(diǎn)上滿足規(guī)定精確度的近似值，或者得到一個(gè)滿足精確度要求的便于計(jì)算的表達(dá)式。因此，研究常微分方程的數(shù)值解法是十分必要的因此，研究常微分方程的數(shù)值解法是十分必要的。的相應(yīng)近似值求

4、出準(zhǔn)確值，值處，即對(duì)的若干離散的開始其數(shù)值解是指由初始點(diǎn)，：對(duì)常微分方程nnnyyxyxyxxxxxy,y )(,),(),y(x x )y(xy)f(x,y 2121210000返 回（二）建立數(shù)值解法的一些途徑（二）建立數(shù)值解法的一些途徑001i)y(xy)f(x,y , 1, 2 , 1 , 0 , xynihxi解微分方程：可用以下離散化方法求設(shè)1、用差商代替導(dǎo)數(shù)、用差商代替導(dǎo)數(shù) 若步長(zhǎng)h較小，則有hxyhxyxy)()()( 故有公式：1-n,0,1,2,i )(),(001xyyyxhfyyiiii此即歐拉法歐拉法。2、使用數(shù)值積分、使用數(shù)值積分對(duì)方程y=f(x,y), 兩邊由xi

5、到xi+1積分，并利用梯形公式，有：)(,()(,(2)(,()()(11111iiiiiixxiixyxfxyxfxxdttytfxyxyii實(shí)際應(yīng)用時(shí)，與歐拉公式結(jié)合使用：, 2 , 1 , 0 ),(),(2),()(11)1(1)0(1kyxfyxfhyyyxhfyykiiiiikiiiii的計(jì)算。然后繼續(xù)下一步，取時(shí)，當(dāng)滿足，對(duì)于已給的精確度）（ y y 2i111i)(1)1(1kikikiyyy此即改進(jìn)的歐拉法改進(jìn)的歐拉法。故有公式：)(),(),(200111xyyyxfyxfhyyiiiiii3、使用泰勒公式、使用泰勒公式 以此方法為基礎(chǔ)，有龍格龍格-庫塔法庫塔法、線性多步法

6、線性多步法等方法。4、數(shù)值公式的精度、數(shù)值公式的精度 當(dāng)一個(gè)數(shù)值公式的截?cái)嗾`差可表示為O（hk+1）時(shí)（k為正整數(shù)，h為步長(zhǎng)），稱它是一個(gè)k階公式階公式。k越大，則數(shù)值公式的精度越高。歐拉法是一階公式，改進(jìn)的歐拉法是二階公式。龍格-庫塔法有二階公式和四階公式。線性多步法有四階阿達(dá)姆斯外插公式和內(nèi)插公式。返 回（三）用（三）用Matlab軟件求常微分方程的數(shù)值解軟件求常微分方程的數(shù)值解t，x=solver（f,ts,x0,options）ode45 ode23 ode113ode15sode23s由待解方程寫成的m-文件名ts=t0，tf，t0、tf為自變量的初值和終值函數(shù)的初值ode23：組合

7、的2/3階龍格-庫塔-芬爾格算法ode45：運(yùn)用組合的4/5階龍格-庫塔-芬爾格算法自變量值函數(shù)值用于設(shè)定誤差限(缺省時(shí)設(shè)定相對(duì)誤差10-3, 絕對(duì)誤差10-6),命令為：options=odeset（reltol,rt,abstol,at）, rt，at：分別為設(shè)定的相對(duì)誤差和絕對(duì)誤差. 1、在解n個(gè)未知函數(shù)的方程組時(shí)，x0和x均為n維向量，m-文件中的待解方程組應(yīng)以x的分量形式寫成. 2、使用Matlab軟件求數(shù)值解時(shí)，高階微分方程必須等價(jià)地變換成一階微分方程組.注意注意:例例 4 0)0( ; 2)0(0)1 (1000222xxxdtdxxdtxd解解: 令 y1=x，y2=y1則微分

8、方程變?yōu)橐浑A微分方程組：0)0(, 2)0()1 (1000211221221yyyyyyyy1、建立m-文件vdp1000.m如下： function dy=vdp1000(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1000*(1-y(1)2)*y(2)-y(1); 2、取t0=0，tf=3000，輸入命令： T,Y=ode15s(vdp1000,0 3000,2 0); plot(T,Y(:,1),-)3、結(jié)果如圖050010001500200025003000-2.5-2-1.5-1-0.500.511.52To Matlab（ff4） 例例 5 解微分方程組. 1)0(, 1)0(, 0)0(51. 0321213312321yyyyyyyyyyyy解解 1、建立m-文件rigid.m如下： function dy=rigid(t,y) dy=zeros(3,1); dy(1)=y(2)*y(3); dy(2)=-y(1)*y(3); dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);2、取t0=0，tf=12，輸入命令： T,Y=ode45(rigid,0 12,0 1 1);