高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)解析幾何直線和圓教案

1、解析幾何直線和圓【考點(diǎn)審視】本章是解析幾何的基礎(chǔ)，也是高考對(duì)解析幾何進(jìn)行綜合考查的重要組成部分之一，因?yàn)橹本€和圓是最簡(jiǎn)單基本的幾何圖形。研究直線和圓的思想與方法也是解析幾何研究的基本思想與方法，同時(shí)也是后繼學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，所以直線和圓成為高考的必考內(nèi)容。 命題的特點(diǎn)： 1. 本章在高考中主要考查兩類(lèi)問(wèn)題：基本概念題和求在不同條件下的直線方程?；靖拍钪攸c(diǎn)考查（ 1）與直線方程特征值（主要指斜率、截距）有關(guān)的問(wèn)題； （ 2）直線的平行和垂直的條件；（3）與距離有關(guān)的問(wèn)題等。此類(lèi)題大都屬于中、低檔題，以選擇題和填空題形式出現(xiàn)。2. 直線與圓、 圓錐曲線的位置關(guān)系等綜合性試題， 此類(lèi)題難度較大， 一般以

2、解答題形式出現(xiàn)。3. 由于一次函數(shù)的圖象是一條直線，因此有關(guān)函數(shù)、數(shù)列、不等式等代數(shù)問(wèn)題往往借助直線方程進(jìn)行解決，考查學(xué)生的綜合能力及創(chuàng)新能力。4. 本章的線性規(guī)劃內(nèi)容是新教材中增加的新內(nèi)容，在高考中極有可能涉及，但難度不會(huì)大。應(yīng)試策略 ：首先是注重基礎(chǔ)，基本知識(shí)、基本題型要掌握好，不必做那些難的有關(guān)直線的問(wèn)題，高考中直線以解答題形式出現(xiàn)的可能性不大。解析幾何解答題大多是關(guān)于直線與圓錐曲線關(guān)系的綜合題，考查綜合運(yùn)用知識(shí)、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，尤其現(xiàn)在高考不要求兩圓錐曲線的交點(diǎn)來(lái)解決問(wèn)題后，直線和圓錐曲線的關(guān)系問(wèn)題更是重要，因此，在復(fù)習(xí)中要注意滲透本章知識(shí)在解答解析幾何綜合問(wèn)題時(shí)的運(yùn)用?！疽?/p>

3、難點(diǎn)拔】直線的斜率及直線方程的幾種形式是本章的重點(diǎn)，本章的難點(diǎn)是傾斜角及直線方程的概念，突破難點(diǎn)的方法之一是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，要注意直線方程幾種形式的適用性和局限性，直線方程中的各個(gè)參數(shù)都具有明顯的幾何意義，它對(duì)直線的位置、點(diǎn)與直線、直線與直線、直線與圓的各種關(guān)系的研究十分重要，高考中重點(diǎn)考查運(yùn)用上述知識(shí)解題的變通能力。在解答有關(guān)直線的問(wèn)題時(shí)，要注意：（ 1）在確定直線的斜率、傾斜角時(shí)，首先要注意斜率存在的條件，其次是傾斜角的范圍；（ 2）在利用直線的截距式解題時(shí)，要注意防止由于“零截距”而造成丟解的情況；（ 3）在利用直線的點(diǎn)斜式、斜截式解題時(shí)，要注意檢驗(yàn)不存在的情況，防止丟解；（ 4）直線方程

4、的三種形式各有適用范圍， 要能根據(jù)題中所給已知條件選用最恰當(dāng)?shù)谋硎拘问?，并能根?jù)問(wèn)題的需要靈活準(zhǔn)確地進(jìn)行互化，在求直線方程時(shí)，要注意需二個(gè)獨(dú)立的條件才能確定。常用的方法是待定系數(shù)法；（ 5）兩直線的平行與垂直是現(xiàn)實(shí)生活中最常見(jiàn)到的兩種特殊位置關(guān)系，故掌握它們的判斷方法就顯得非常重要，特別要提醒的是應(yīng)把它們的判定和平面兩向量共線與垂直的判定有機(jī)地結(jié)合在一起；（ 6）在由兩直線的位置關(guān)系確定有關(guān)參數(shù)的值或其范圍時(shí)，要充分利用分類(lèi)討論、 數(shù)形結(jié)合、特殊值檢驗(yàn)等基本的數(shù)學(xué)思想方法。(7) 直線方程問(wèn)題是 “解析幾何” 的基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意積累下面兩方面的經(jīng)驗(yàn)： 正確選擇各種直線方程解決各種問(wèn)題；通過(guò)直

5、線方程問(wèn)題的解題，逐步認(rèn)識(shí)“解析幾何”問(wèn)題的解題思維策略，積累“方程” 、“坐標(biāo)”、“圖形”的解題經(jīng)驗(yàn)。線性規(guī)劃是直線方程在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，常通過(guò)二元一次不等式表示的平面區(qū)域來(lái)確定實(shí)際問(wèn)題的解，應(yīng)用極為廣泛。加強(qiáng)思想方法訓(xùn)練，培養(yǎng)綜合能力。平面解析幾何的核心是坐標(biāo)法，它需要運(yùn)用變化的觀點(diǎn)，運(yùn)用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題，因此在處理解析幾何問(wèn)題時(shí)， 從知識(shí)到思想方法上都需要與函數(shù)、方程、不等式、三角及平面幾何內(nèi)容相聯(lián)系。能夠判斷直線與圓、點(diǎn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系，解決直線與圓的有關(guān)問(wèn)題的基本方法是將直線和圓的方程組成的方程組通過(guò)消元，化成一元二次方程，然后靈活使用判別式或違達(dá)定理解題；同時(shí)要善

6、于利用直線和圓的幾何知識(shí)解題。直線與圓的位置關(guān)系是直線的一種重要應(yīng)用，在高考中每年都有重點(diǎn)的考查，因此在復(fù)習(xí)時(shí)一定注意知識(shí)間的橫向聯(lián)系，以達(dá)到融匯貫通?！局R(shí)網(wǎng)絡(luò)】斜率五種形式二元一次不等式傾斜角直線方程表示平面區(qū)域線性規(guī)劃直點(diǎn)與直線位置關(guān)系點(diǎn)到直線的距離線相 交交 點(diǎn)直夾 角線直線與直線位置關(guān)系平 行平行線間的距離和重 合圓求曲線的方程曲線的交點(diǎn)曲線與方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓圓的一般方程圓的參數(shù)方程直線與圓的位置關(guān)【經(jīng)典題例】例 1：不等式 3x ay 60 (a0) 表示的平面區(qū)域是在直線3xay 6 0 （）的點(diǎn)的集合。（ A）左上方（B）右上方（C）左下方（ D）右下方 思路分析 作出直線

7、3x ay60 ，又因?yàn)?3 0 a 060，所以原點(diǎn)在區(qū)域內(nèi)側(cè)表示直線的左下方，故選取C。 簡(jiǎn)要評(píng)述 用特殊值法解選擇題是常用的方法。例 2：若直線 yxk 與曲線 x1y 2 恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則k 的取值范圍是()（A ） k2 （B）2,2（C）2, 2 （D ） k2 或 (-1,1 思路分析 數(shù)形結(jié)合的思想， yxk表示一組斜率為 1 的平行直線， x1y 2表示 y 軸的右半圓。如圖可知，選（D） 簡(jiǎn)要評(píng)述 數(shù)形結(jié)合思想的靈活運(yùn)用，此題可以進(jìn)一步拓展， x1 y 2 ， y1x2 等。例 3：如果實(shí)數(shù) x、 y 滿(mǎn)足x2y23 ，那么 y 的最大值是。x 思路分析 解法一：設(shè)直線l

8、 ： ykx ，則 y 表示直線 l 的斜率，直線 l 與圓xx 2y 2 3 相切時(shí)，斜率為最大或最小，所以只要求圓心到直線距離為半徑即可。yx23 cosM解法二：設(shè)圓的參數(shù)方程：3 sinyC則 y3 sinOx據(jù)三角知識(shí)求解。x23 cos解法三：設(shè) y =t ，則 ( x2) 2y 23 只要解方程組，利用0 可得解。xytx解法四：如圖，聯(lián)結(jié)圓心C與切點(diǎn) M，則由 OMCM，又 Rt OMC中， OC=2，CM= 3所以， OM=1，得 yMC3xOM 簡(jiǎn)要評(píng)述 小題小做，選方法四最為簡(jiǎn)單，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想的靈活運(yùn)用。例 4：已知兩點(diǎn) A(m,2) ， B(3,1) ，求直線AB

9、 的斜率與傾斜角。 思路分析 注意斜率存在的條件。當(dāng)m3 時(shí)， k 不存在。=，當(dāng) m3 時(shí)，2k tan211；當(dāng) m3 時(shí),arctan1，當(dāng) m3 時(shí) ,m3m 3m3arctan1m3 簡(jiǎn)要評(píng)述 此題涉及到分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，分類(lèi)討論在歷年的高考中，特別是綜合性題目中常常出現(xiàn)，是重點(diǎn)考查的數(shù)學(xué)思想方法之一。例 5：過(guò)點(diǎn) M (2,4) 作兩條互相垂直的直線， 分別交 x 、y 的正半軸于A 、B ，若四邊形 OAMB的面積被直線AB 平分，求直線AB 方程。 思路分析 命題有兩種設(shè)方程的方案：設(shè)MA 、 MB 的點(diǎn)斜式方程，然后求出k ；設(shè)AB 的截距式方程，經(jīng)過(guò)估算，應(yīng)選第方案更

10、好。設(shè)方程為xy1 （a>0,b>0 ）ab A(a,0) 、 B(0, b) 。 MA MB ( a2) (2)( 4)(b4) 0a10 2ba>0 0<b<5 AB 方程的一般式為 bxayab0 M 到 AB 的距離 d| 2 b4aab |a2b2MAB 的面積1|1| 2 4| |2820 |2820S12 dAB2bbb a abbb而OAB 的面積 S221 ab5bb2 ，直線 AB 平分四邊形 OAMB 的面積， S1S2， 可得b4b52a或2a5故所求 AB 方程為 x2y50 和 2 xy40 。 簡(jiǎn)要評(píng)述 若命題中的直線與兩坐標(biāo)軸均有交

11、點(diǎn)，應(yīng)首先考慮選用截距式方程是否有利。例 6：已知 x 2y 21，定點(diǎn) A(1,0)， B、 C 是圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，保持A、B、C 在圓上逆時(shí)針排列，且BOC(O 為坐標(biāo)原點(diǎn) ) ，求 ABC重心 G的軌跡方程。3思路分析設(shè) B(Cos, Sin) ，則(Cos(3),(3)；設(shè) G（x，y）CSin則 x11CosCos33y1SinSin332+2得3x1 23y 222Cos332即x1y 2105333 簡(jiǎn)要評(píng)述 適當(dāng)運(yùn)用圓的參數(shù)方程，設(shè)B、C 兩點(diǎn)坐標(biāo)，有利于尋求函數(shù)關(guān)系。例 7：過(guò)點(diǎn) P（-8 ，0），引圓 C：x2y2xy210 4 0 的割線，求被此圓截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程。

12、y 思路分析 方法一， x1 2y5 222P CM PM，弦 AB的中點(diǎn) M的軌跡是以xAMP（ -8 ， 0）、 C（ 1， -5 ）中點(diǎn)為圓心， |PC|B長(zhǎng)為直徑的圓。C225375（圓 C 的內(nèi)部）xy222方法二，設(shè)M（x，y）為 AB 中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P（ -8 ， 0）的直線y k x 8 ，又設(shè) A（ x1，y1），B（ x2， y2），由方程組 x2 y2 2x 10y 4 0yk x8可以得到1221621026428040kxkkxkk據(jù)韋達(dá)定理可以得解。方法三，M x, y ,CMx1, y5, PMx8, yCMPM ,CMPM0x -1 x8y y50化簡(jiǎn)得x27xy

13、25y80（圓C 的內(nèi)部）簡(jiǎn)要評(píng)述 方法一是據(jù)圓的定義得解的較為簡(jiǎn)單；方法二容易想到， 但計(jì)算量太大； 方法三是利用平面兩向量垂直的性質(zhì)與平面兩向量的數(shù)量積，使解題過(guò)程簡(jiǎn)單化。例 8：已知?dú)庀笈_(tái) A 處向西 300km處，有個(gè)臺(tái)風(fēng)中心，已知臺(tái)風(fēng)以每小時(shí) 40km的速度向東北方向移動(dòng)， 距臺(tái)風(fēng)中心 250km以?xún)?nèi)的地方都處在臺(tái)風(fēng)圈內(nèi)， 問(wèn)：從現(xiàn)在起， 大約多長(zhǎng)時(shí)間后，氣象臺(tái) A 處進(jìn)入臺(tái)風(fēng)圈？氣象臺(tái)A處在臺(tái)風(fēng)圈內(nèi)的時(shí)間大約多長(zhǎng)？ 思路分析 如圖建立直角坐標(biāo)系，B為臺(tái)風(fēng)中心，y處在臺(tái)風(fēng)圈內(nèi)的界線為以B 為圓心，半徑為250 的圈內(nèi)，若 t小時(shí)后，臺(tái)風(fēng)中心到達(dá) B 點(diǎn)，則B 11B1(-300+40

14、tCOS450,40tsin450) ，則以 B1 為圓心，BO(A)x250 為半徑的圓的方程為x 300202y20225022t2t那么臺(tái)風(fēng)圈內(nèi)的點(diǎn)就應(yīng)滿(mǎn)足x300 202t2y 20 2t22502 。若氣象臺(tái) A 處進(jìn)入臺(tái)風(fēng)圈，那么A 點(diǎn)的坐標(biāo)就應(yīng)滿(mǎn)足上述關(guān)系式，把A點(diǎn)的坐標(biāo) (0 ，0) 代入上面不等式，得300202t202t22502， 解 得152 5 7t152 5 7， 即 為2441.99t8.61；所以氣象臺(tái) A 處約在 2 小時(shí)后進(jìn)入臺(tái)風(fēng)圈，處在臺(tái)風(fēng)圈內(nèi)的時(shí)間大約6 小時(shí) 37分。 簡(jiǎn)要評(píng)述 學(xué)生怕做應(yīng)用題，幫助學(xué)生分析題意尤其重要。關(guān)鍵是尋求有效信息，建立函數(shù)關(guān)系

15、式，運(yùn)算到位。【熱身沖刺】一、選擇題：1 ABC 中，三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)A（2，4）、 B（ -1，2）、C（ 1， 0），點(diǎn) P（x，y）在內(nèi)部及其邊界運(yùn)動(dòng)， 則 z=x-y 的最大值及最小值是（）（A ）3，1（B ）-1，-3（ C） 1，-3（D） 3， -12已知點(diǎn) A（3，1）和 B（-4，6）在直線 3x2 ya 0 的兩側(cè)，則 a 的取值范圍 （）（A ）-7a24（ B）-24 a 7（ C）a7 或 a24（D） a=7 或 a=243如果直線 l1 ,l 2 的斜率分別是方程x 24x10 的兩根，則 l1 ,l 2 的夾角是（）（A ） /3（B ）/4（C）/6（D ）/8

16、4 平行直線 5x12 y30 與 10 x24 y50 的距離是（）（A ）2/13（ B）1/13（C） 1/26（D ）5/265等腰三角形 ABC ，若一腰的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（ 4， 2）、B（ -2， 0），A 為頂點(diǎn)，則點(diǎn) C 的軌跡方程是（）（A ） x2y 28x 4 y 0（ B）x2y284y200x2,y10x（ C） x 2y 28x 8 y 20 0 x2, y 10（D） x 2y 28x4 y20 0 x2, y106圓 x2y 22x4 y30 到直線 x y 10 的距離等于2 的點(diǎn)有（）（A）1 個(gè)（B）2 個(gè)（C）3 個(gè)（D）4 個(gè)7曲線 f (x,

17、y)0關(guān)于直線 x y20對(duì)稱(chēng)的 曲線方程式是（）（A ）（ B）（C）（ D）f ( y 2, x 2) 0f ( y 2, x) 0f ( y 2, x) 0f ( y 2, x 2) 08已知 A （3， 1），B （-1，2）若 ACB 的平分線方程為 yx1，則 AC 所在的直線方程為（）（ A ） y 2 x4 （B）13（C） x 2 y 10 （ D） 3x y 1 0yx29一條光線從點(diǎn)M（ 5， 3）射出，與光線所在直線方程為x 軸正向成 角，遇x 軸后反射，若tan =3，則反射（）（A ）y3x12（ B）y3x12 （C） y3x12（ D）y3x1210將直線 l沿

18、 x 軸正方向平移兩個(gè)單位，再沿y 軸負(fù)方向平移 3 個(gè)單位，又回到了原來(lái)的位置，則 l 的斜率為（）3（B）322（A ）2（ C）（D）233二、填空題：x011不等式組y0表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)坐標(biāo)是。xy 3 012直線 m1 xy2m 10 恒過(guò)定點(diǎn)，則定點(diǎn)的坐標(biāo)是。13若實(shí)數(shù) x ， y滿(mǎn)足關(guān)系： x 2y 225 ，則 x + y 的最大值是。14若圓 x 2y 2DxEyF0，（D2E 24F 0 ）關(guān)于 x - y =0對(duì)稱(chēng)，則系數(shù)D、 E、 F 滿(mǎn)足關(guān)系。三、解答題：15直線 l 1 ： 5x4 y2m 1和 l 2 2 x3y0 相交于第四象限，求m 的取值范圍。x2y

19、20（1）若此方程組有實(shí)數(shù)解，求a 的范圍；16設(shè)實(shí)數(shù) a，考慮方程組2y 2xa1（2）此方程組有幾組不同的實(shí)數(shù)解？17有一種大型的商品，A 、B 兩地均有出售且價(jià)格相同，某地居民從兩地之一購(gòu)得商品后運(yùn)回來(lái)每公里的運(yùn)費(fèi)A 地是 B 地兩倍。若 A 、B 兩地相距 10 公里，顧客選擇A 地或 B地購(gòu)買(mǎi)這件商品的標(biāo)準(zhǔn)是：包括運(yùn)費(fèi)和價(jià)格的總費(fèi)用較低，那么，不同地點(diǎn)的居民應(yīng)如何選擇購(gòu)買(mǎi)此商品的地點(diǎn)？18已知點(diǎn) A（ -1，-4），試在 y 軸和直線 y=x 上各取一點(diǎn) B 、C，使 ABC 的周長(zhǎng)最小。222m 取何值，圓心在同一19已知圓 x +y -6mx-2（ m-1） y+10m -2m-

20、24=0。（1）求證：不論直線 l 1 上；（ 2）與 l1 平行的直線中，哪些與圓相交、相切、相離；（ 3）求證：不論 m 取何值，任何一條平行于l 1 且與圓相交的直線被圓截得的弦長(zhǎng)相等。20已知 ABC 的三邊長(zhǎng)分別為 3、 4、 5，點(diǎn) P 是它的內(nèi)切圓上一點(diǎn)，求分別以PA、PB、PC 為直徑的三個(gè)圓面積之和的最大值和最小值?！緹嵘頉_刺】參考答案110.CAACB CCCDB，11（1，1），12（-2 ， 3），1352 ，14D=E，15m-1/216因?yàn)?2 20 表示過(guò)原點(diǎn)的兩條互相垂直的直線：y=x， y=-x ，（x-a ） 2+y2=1 表示圓心為 C（a，0），半徑為

21、1 的動(dòng)圓，本題討論方程組有實(shí)數(shù)解的問(wèn)題即討論圓與直線有公共點(diǎn)的問(wèn)題。（1）-2 a2 ；（2）當(dāng) -2 a -1 或 -1 a1 或 1a2 時(shí)有四組實(shí)數(shù)解，當(dāng) a=± 1 時(shí)，有三組實(shí)數(shù)解， 當(dāng) a=±2 時(shí)，有兩組實(shí)數(shù)解， 當(dāng) a-2 或 a2 時(shí)無(wú)實(shí)數(shù)解。17以直線 AB 為 x 軸，線段 AB 的垂直平分線為y 軸建立直角坐標(biāo)系。設(shè)A（ -5 ， 0），則 B（5，0），在平面內(nèi)任取一點(diǎn) P（x，y），設(shè)從 A 運(yùn)貨物到 P 的運(yùn)費(fèi)為 2a 元/km，則從 B 運(yùn)到 P 的費(fèi)用是 a 元/km，若 P 地居民選擇在 A地購(gòu)買(mǎi)此商品，則222ax5 2y2ax5 2y 2 化簡(jiǎn)得x25y 220即 P點(diǎn)在圓 C3322x25y220的內(nèi)部 . 換言之 , 圓 C 內(nèi)部的居民應(yīng)在A 地購(gòu)買(mǎi) , 同理可推