常微分方程練習試卷及答案

1、常微分方程練習試卷一、 填空題。 1. 方程是 階 （線性、非線性）微分方程.2. 方程經變換，可以化為變量分離方程 .3. 微分方程滿足條件的解有 個.4. 設常系數(shù)方程的一個特解，則此方程的系數(shù) ， ， .5. 朗斯基行列式是函數(shù)組在上線性相關的 條件.6. 方程的只與有關的積分因子為 .7. 已知的基解矩陣為的，則 .8. 方程組的基解矩陣為 9.可用變換 將伯努利方程 化為線性方程.   10 .是滿足方程 和初始條件          的唯一解.  11.方程 的待定特解可取

2、          的形式:       12. 三階常系數(shù)齊線性方程 的特征根是 二、 計算題1.求平面上過原點的曲線方程, 該曲線上任一點處的切線與切點和點(1,0)的連線相互垂直. 2求解方程. 3. 求解方程 。4用比較系數(shù)法解方程. .    5求方程 的通解. 6驗證微分方程是恰當方程，并求出它的通解. 7設 ， ，試求方程組的一個基解基解矩陣，求滿足初始條件的解. 8. 求方程 通過

3、點 的第二次近似解.9.求 的通解10.若 試求方程組的解 并求expat三、證明題1. 若是的基解矩陣，求證：存在一個非奇異的常數(shù)矩陣，使得.2. 設是積分方程的皮卡逐步逼近函數(shù)序列在上一致收斂所得的解，而是這積分方程在上的連續(xù)解，試用逐步逼近法證明：在上.3. 設 都是區(qū)間 上的連續(xù)函數(shù), 且 是二階線性方程的一個基本解組. 試證明: (i)  和 都只能有簡單零點(即函數(shù)值與導函數(shù)值不能在一點同時為零); (ii)  和 沒有共同的零點;(iii) 和 沒有共同的零點.4.試證：如果是滿足初始條件的解，那么.答案一.填空題。1. 二，非線性 2.， 3.無窮

4、多 4.5.必要 6. 7. 8. 9. 10. 11.12. 1, 二、計算題 1.求平面上過原點的曲線方程, 該曲線上任一點處的切線與切點和點(1,0)的連線相互垂直. 解: 設曲線方程為 , 切點為(x,y), 切點到點(1,0)的連線的斜率為 , 則由題意可得如下初值問題: .                            

5、;     分離變量, 積分并整理后可得 .             代入初始條件可得 , 因此得所求曲線為 .  2.求解方程. 解：由 求得 令 則有 令，解得,積分得,故原方程的解為 . 3. 求解方程 解  令，直接計算可得，于是原方程化為  ，故有或，積分后得，即，所以   就是原方程的通解，這里為任意常數(shù)。4.用比較系數(shù)法解方程. .  

6、0;解：特征方程為 , 特征根為 .  對應齊方程的通解為 .               設原方程的特解有形如                      代如原方程可得利用對應系數(shù)相等可得 , 故 .     

7、;             原方程的通解可以表示為( 是任意常數(shù)) . 5.求方程 的通解. 解：先解得通解為, 令為原方程的解， 代入得, 即有, 積分得 , 所以 為原方程的通解. 6驗證微分方程是恰當方程，并求出它的通解.解：由于，因為所以原方程為恰當方程. 把原方程分項組合得,或寫成, 故原方程的通解為.7設 ， ，試求方程組的一個基解基解矩陣，求滿足初始條件的解. 解：特征方程為 求得特征值,對應的特征向量分別為 可得一個基解矩陣 ，又因為 ， 于是，所求

8、的解為 8. 求方程 通過點 的第二次近似解.解: 令，于是 9.求 的通解解：方程可化為 ， 令則有（*），（*）兩邊對y求導得，即，由得，即.將y代入（*）得，即方程的 含參數(shù)形式的通解為：，p為參數(shù)；又由得代入（*）得 也是方程的解 . 10.若 試求方程組的解 并求expat解：特征方程，解得，此時 k=1,。， 由公式expat= 得三、證明題1. 若是的基解矩陣，求證：存在一個非奇異的常數(shù)矩陣，使得.證：是基解矩陣，故存在，令 ，則可微且，易知. 所以 而，所以, （常數(shù)矩陣），故 .2. 設是積分方程的皮卡逐步逼近函數(shù)序列在上一致收斂所得的解，而是這積分方程在上的連續(xù)解，試用逐步

9、逼近法證明：在上.證明：由題設，有，. 下面只就區(qū)間上討論，對于的討論完全一樣。因為 其中，所以其中, 設對正整數(shù)有,則有 ,故由歸納法，對一切正整數(shù)，有. 而上不等式的右邊是收斂的正項級數(shù)的通項，故當時，它,因而函數(shù)序列在上一致收斂于.根據(jù)極限的唯一性, 即得, . 3. 設 都是區(qū)間 上的連續(xù)函數(shù), 且 是二階線性方程的一個基本解組. 試證明: (i)  和 都只能有簡單零點(即函數(shù)值與導函數(shù)值不能在一點同時為零); (ii)  和 沒有共同的零點;(iii) 和 沒有共同的零點.證明: 和 的伏朗斯基行列式為    &

10、#160;                               因 和 是基本解組, 故.    若存在 , 使得 , 則由行列式性質可得 , 矛盾. 即  最多只能有簡單零點. 同理對 有同樣的性質, 故(i)得證.        若存在 , 使得 , 則由行列式性質可得 , 矛盾. 即  與 無共同