電子測量與技術第二章 誤差處理

1、2021-11-18北京交通大學電氣工程學院 姜學東2-1 (一)、測量誤差的基本概念 ( (二)、測量誤差的分析及處理 ( (三三) )、測量誤差的合成與分配 (四)、測量數(shù)據(jù)處理 2021-11-18北京交通大學電氣工程學院 姜學東2-2（一）（一）測量誤差測量誤差是測量結果與被測量是測量結果與被測量真值真值的差別的差別。被測量所具有的真實大小，被測量所具有的真實大小，在一定時空條件下，是客觀在一定時空條件下，是客觀存在的確定的數(shù)值。存在的確定的數(shù)值。 誤差=M-T 偏差=M-T T為真值（得不到理想的） T 為約是真值，由更高級精密儀器得到。一般認為即 。一、誤差的定義2021-11-1

2、8北京交通大學電氣工程學院 姜學東2-3二、測量誤差產(chǎn)生的原因二、測量誤差產(chǎn)生的原因：人類對客觀規(guī)律認識的局限性；人類對客觀規(guī)律認識的局限性；測量器具不準確；測量器具不準確；測量手段不完善；測量手段不完善；測量條件發(fā)生變化；測量條件發(fā)生變化；測量人員疏忽或錯誤等。測量人員疏忽或錯誤等。 2021-11-18北京交通大學電氣工程學院 姜學東2-4 誤差的存在有必然性和普遍誤差的存在有必然性和普遍 。 正確認識誤差的性質(zhì)和來源以減小測量誤正確認識誤差的性質(zhì)和來源以減小測量誤差。差。 正確處理測量數(shù)據(jù)，以得到接近真值的結正確處理測量數(shù)據(jù)，以得到接近真值的結果。果。 合理制定測量方案，正確選擇測量儀器

3、。合理制定測量方案，正確選擇測量儀器。三、控制測量誤差的意義：三、控制測量誤差的意義： 2021-11-18北京交通大學電氣工程學院 姜學東2-5四、誤差的分類四、誤差的分類 按不同的特征分，可有四種分類方法。按不同的特征分，可有四種分類方法。1.系統(tǒng)誤差和隨機誤差系統(tǒng)誤差和隨機誤差系統(tǒng)誤差：在相同條件下分次測量同一量時，系統(tǒng)誤差：在相同條件下分次測量同一量時，誤差的絕對值及符號保持恒定，或在條件改變誤差的絕對值及符號保持恒定，或在條件改變時按條件中確定規(guī)律而改變的誤差。即包括恒時按條件中確定規(guī)律而改變的誤差。即包括恒值誤差和按一定規(guī)律變化的誤差，可進行修正。值誤差和按一定規(guī)律變化的誤差，可進

4、行修正。來源：儀表零點不準，刻度不準，所依據(jù)的理論來源：儀表零點不準，刻度不準，所依據(jù)的理論不嚴密，用了某些近似公式方法等等。不嚴密，用了某些近似公式方法等等。2021-11-18北京交通大學電氣工程學院 姜學東2-6關于關于系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差：（a a）、造成系統(tǒng)誤差的原因：）、造成系統(tǒng)誤差的原因： 測量設備的缺陷、測量儀器不準測量設備的缺陷、測量儀器不準例如電表零點例如電表零點沒調(diào)好。沒調(diào)好。測量儀器的安裝、放置和使用不當測量儀器的安裝、放置和使用不當測量環(huán)境變化測量環(huán)境變化使用的方法不完善，依據(jù)的理論不嚴密、采用使用的方法不完善，依據(jù)的理論不嚴密、采用近似公式。近似公式。系統(tǒng)誤差可分為系統(tǒng)

5、誤差可分為儀器誤差儀器誤差和和環(huán)境誤差環(huán)境誤差。例如溫度、濕度例如溫度、濕度電磁場變化電磁場變化2021-11-18北京交通大學電氣工程學院 姜學東2-7（c c）、種類：）、種類：恒值系差恒值系差變值系差變值系差周期性周期性累進性累進性 （b b）、特點）、特點具有一定的規(guī)律性。具有一定的規(guī)律性。對于儀器系統(tǒng)誤差可以采用一些方法避免對于儀器系統(tǒng)誤差可以采用一些方法避免：特定的測量應當選擇適當?shù)膬x器；特定的測量應當選擇適當?shù)膬x器；確定儀器誤差的大小后應用修正系數(shù)；確定儀器誤差的大小后應用修正系數(shù)；用一個標準儀器對儀器進行校準。用一個標準儀器對儀器進行校準。2021-11-18北京交通大學電氣工

6、程學院 姜學東2-8 隨機誤差：隨機誤差：在實際相同條件下多次測量同一量時，誤差在實際相同條件下多次測量同一量時，誤差的絕對值和符號以不可確定的方式變化著的的絕對值和符號以不可確定的方式變化著的誤差。誤差。 如偶然的不規(guī)則的電磁場輻射，噪聲如偶然的不規(guī)則的電磁場輻射，噪聲干擾等造成隨機誤差沒有規(guī)律，不可確定，干擾等造成隨機誤差沒有規(guī)律，不可確定，不能控制，也不能用實驗方法加以消除，但不能控制，也不能用實驗方法加以消除，但多次測量符合統(tǒng)計規(guī)律。多次測量符合統(tǒng)計規(guī)律。2021-11-18北京交通大學電氣工程學院 姜學東2-9關于關于隨機誤差隨機誤差：隨機誤差的絕對值隨機誤差的絕對值不會超過一定的界

7、限。不會超過一定的界限。絕對值相等的正負誤差絕對值相等的正負誤差出現(xiàn)的機會相同出現(xiàn)的機會相同* *在多次測量中，隨機在多次測量中，隨機誤差相互抵消誤差相互抵消（a a）、產(chǎn)生的原因）、產(chǎn)生的原因由影響微小、互不相關的多種因素造成。由影響微小、互不相關的多種因素造成。 例如：熱騷動、噪聲干擾，電磁場微變，空氣例如：熱騷動、噪聲干擾，電磁場微變，空氣擾動，大地微震，測量人員感覺器官的各種無擾動，大地微震，測量人員感覺器官的各種無規(guī)律的微小變化等。規(guī)律的微小變化等。2021-11-18北京交通大學電氣工程學院 姜學東2-10 （b b）、特點：）、特點：有界性，對稱性，抵償性。有界性，對稱性，抵償性

8、。（c c）、對測量值的影響。（后續(xù)章節(jié)再講）、對測量值的影響。（后續(xù)章節(jié)再講）有界性有界性：隨機誤差的絕對值不會超過一定界限。：隨機誤差的絕對值不會超過一定界限。對稱性對稱性：絕對值相等的正負誤差出現(xiàn)的機會相同。：絕對值相等的正負誤差出現(xiàn)的機會相同。抵償性抵償性：隨機誤差有相互抵消的特性。：隨機誤差有相互抵消的特性。2021-11-18北京交通大學電氣工程學院 姜學東2-11 絕對誤差相對真誤差分貝誤差引用誤差相對誤差測量誤差給出值：給出值：x x真值：真值：x x0 00 xxx0 xxx 2 2、絕對誤差和相對誤差絕對誤差和相對誤差2021-11-18北京交通大學電氣工程學院 姜學東2-

9、12絕對誤差絕對誤差 絕對誤差又叫絕對真誤差，是示值絕對誤差又叫絕對真誤差，是示值和真值之差。和真值之差。 x0=x-x0 (有量綱有量綱) 2021-11-18北京交通大學電氣工程學院 姜學東2-131、通過儀器儀表測得的值，例如電壓表測通過儀器儀表測得的值，例如電壓表測得的值。得的值。2 2、近似值，例如、近似值，例如 的值。的值。3 3、標稱值，例如電阻的標稱值。、標稱值，例如電阻的標稱值。1 1、理論上給出的值，例如三角形內(nèi)角和、理論上給出的值，例如三角形內(nèi)角和為為1801800 0。2 2、計量學上規(guī)定的值，例如秒的數(shù)值，、計量學上規(guī)定的值，例如秒的數(shù)值，它具有法律性，作為時間的基準

10、。它具有法律性，作為時間的基準。3 3、用高一等級的計量標準所測得的量值、用高一等級的計量標準所測得的量值, ,稱為實際值稱為實際值。4 4、修正后的值、修正后的值, ,稱為修正值。稱為修正值。修正值修正值C=x0-x 示值：示值： 真值：真值： 2021-11-18北京交通大學電氣工程學院 姜學東2-14 關于修正值：關于修正值：對于較好的儀器，常以表格、曲線或公式的方式隨儀對于較好的儀器，常以表格、曲線或公式的方式隨儀器帶給用戶。修正值：器帶給用戶。修正值：c=x0-x=-x0修正值通常在標準儀器中給出，修正值通常在標準儀器中給出，x0=x+c由得到實際值。由得到實際值。例如：下圖為某電流

11、表的修正值曲線例如：下圖為某電流表的修正值曲線當電流表示值為當電流表示值為10mA時，時，從曲線可知從曲線可知C=+0.04mA因此，實際值為因此，實際值為10.04mAIC10mA+0.042021-11-18北京交通大學電氣工程學院 姜學東2-15a a、相對真誤差即為通常所說的相對誤差，是絕對誤差、相對真誤差即為通常所說的相對誤差，是絕對誤差與真值的比值：與真值的比值： %100 x/x0= 相對誤差相對誤差示值相對誤差示值相對誤差%100 x/x=2021-11-18北京交通大學電氣工程學院 姜學東2-16lg1012PPdB 因RVP2 所以lg102122RVRVdB 可得lg20

12、12VVdB 分貝的定義是依據(jù)兩種功率電平之比：分貝的定義是依據(jù)兩種功率電平之比：2021-11-18北京交通大學電氣工程學院 姜學東2-17 當傳輸函數(shù)當傳輸函數(shù)A A為電流或電壓時：為電流或電壓時：0dBdBAdBA AAA 0dBAAdBA)lg(200 dBdBA)1lg(200 （1 1）（2 2）（1 1）式與（）式與（2 2）式相比較，得到下式：）式相比較，得到下式：dBdB)1lg(20 分貝誤差分貝誤差2021-11-18北京交通大學電氣工程學院 姜學東2-18dBdB)1lg(20 dBdB)1lg(10 c c、引用誤差（滿度誤差）：用于連續(xù)刻度的儀表中，、引用誤差（滿度

13、誤差）：用于連續(xù)刻度的儀表中，表示整個量程內(nèi)儀表的準確程度。表示整個量程內(nèi)儀表的準確程度。mnxx/ 儀表的量程儀表的量程* *當傳輸函數(shù)為電壓和電流時當傳輸函數(shù)為電壓和電流時 因此，對于分貝誤差有以下兩種表示法：因此，對于分貝誤差有以下兩種表示法：* *當為功率傳輸函數(shù)時當為功率傳輸函數(shù)時2021-11-18北京交通大學電氣工程學院 姜學東2-19常用電工儀表根據(jù)引用相對誤差的不同分為七級：常用電工儀表根據(jù)引用相對誤差的不同分為七級：0 . 55 . 25 . 10 . 15 . 02 . 01 . 0 、分別表示引用相對誤差所不超過的百分比。分別表示引用相對誤差所不超過的百分比。儀表等級與

14、測量的相對誤差的關系儀表等級與測量的相對誤差的關系，有重要公式如下：有重要公式如下：00max/%/%/xsxxxsxxmmn 從上式可得到如下結論：從上式可得到如下結論：1 1、xm ，x0 ， n 引用相對誤差；引用相對誤差；maxn 最大值最大值2 2、不用過分強調(diào)、不用過分強調(diào)s s小。小。2021-11-18北京交通大學電氣工程學院 姜學東2-203 、靜態(tài)誤差與動態(tài)誤差靜態(tài)誤差與動態(tài)誤差 靜態(tài)相對誤差是指被測量在穩(wěn)態(tài)時，與其變靜態(tài)相對誤差是指被測量在穩(wěn)態(tài)時，與其變化速度無關的誤差。以上所述都屬靜態(tài)誤差。化速度無關的誤差。以上所述都屬靜態(tài)誤差。 動態(tài)誤差是指測量時動態(tài)值與靜態(tài)值之差。

15、動態(tài)誤差是指測量時動態(tài)值與靜態(tài)值之差。2021-11-18北京交通大學電氣工程學院 姜學東2-214 4、粗大誤差粗大誤差定義：超出規(guī)定條件下預期的誤差。即壞定義：超出規(guī)定條件下預期的誤差。即壞值，通常表示為值，通常表示為x xk k 2021-11-18北京交通大學電氣工程學院 姜學東2-22 在實際應用中在實際應用中系統(tǒng)誤差、隨機誤差、粗大誤差三種誤差的劃分系統(tǒng)誤差、隨機誤差、粗大誤差三種誤差的劃分并非一成不變；并非一成不變；粗大粗大誤差誤差系統(tǒng)系統(tǒng)誤差誤差隨機隨機誤差誤差較為隨機時較為隨機時有規(guī)律時有規(guī)律時較大時較大時較多時較多時較大時較大時較多時較多時2021-11-18北京交通大學電

16、氣工程學院 姜學東2-23五、測量誤差對測量結果的影響五、測量誤差對測量結果的影響 iiix niiniinxn11)(11 niixn11 1 1、系統(tǒng)誤差的影響：、系統(tǒng)誤差的影響： n2021-11-18北京交通大學電氣工程學院 姜學東2-24 niixxn10)(1 當當 n0)(xXM 確定性系差表達式確定性系差表達式當系差為當系差為0 0，則有，則有0)(xXM 2 2、隨機誤差的影響、隨機誤差的影響 iix)(XMxii 當系統(tǒng)誤差為零當系統(tǒng)誤差為零, ,有有0 xxii 結論：系統(tǒng)誤差使測量值的數(shù)學期望偏離被測量的真值結論：系統(tǒng)誤差使測量值的數(shù)學期望偏離被測量的真值結論：某次測量

17、的隨機誤差體現(xiàn)測量值對數(shù)學期望的偏離。結論：某次測量的隨機誤差體現(xiàn)測量值對數(shù)學期望的偏離。2021-11-18北京交通大學電氣工程學院 姜學東2-25 精密度精密度: :是用來表示測量結果中隨機誤差大小的程度是用來表示測量結果中隨機誤差大小的程度. .也可以簡稱為精度也可以簡稱為精度. .精確度精確度: :是用來同時表示測量結果中系統(tǒng)誤差和隨機是用來同時表示測量結果中系統(tǒng)誤差和隨機誤差大小的程度誤差大小的程度. .準確度準確度：是表示測量結果中系統(tǒng)誤差大小的程度：是表示測量結果中系統(tǒng)誤差大小的程度. .定義：定義：測量值的精確度、精密度和準確度測量值的精確度、精密度和準確度iiix 描述測量數(shù)

18、據(jù)的分散程度。描述測量數(shù)據(jù)的分散程度。3.測量誤差的評定2021-11-18北京交通大學電氣工程學院 姜學東2-26 舉例：舉例：打靶打靶2021-11-18北京交通大學電氣工程學院 姜學東2-27 (a)(a)圖準確度高而精密度低圖準確度高而精密度低(b)(b)圖精密度高而準確度低圖精密度高而準確度低(c)(c)圖精確度高圖精確度高(a)(a)(b)(b)(c)(c)x x0 02021-11-18北京交通大學電氣工程學院 姜學東2-28 目的：目的：用概率論和數(shù)理統(tǒng)計的方法研究測量數(shù)據(jù)的分布用概率論和數(shù)理統(tǒng)計的方法研究測量數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，及測量數(shù)據(jù)平均值的性質(zhì)；規(guī)律，及測量數(shù)據(jù)平均值的性質(zhì)

19、；用統(tǒng)計平均的方法克服或處理隨機誤差。用統(tǒng)計平均的方法克服或處理隨機誤差。 采用的方法：采用的方法：概率論和數(shù)理統(tǒng)計的方法。概率論和數(shù)理統(tǒng)計的方法。（二）（二）測量誤差的分析與處理測量誤差的分析與處理2021-11-18北京交通大學電氣工程學院 姜學東2-29數(shù)學期望數(shù)學期望 對被測量對被測量x進行進行n次測量，得到次測量，得到x1xn稱為隨機變量，稱為隨機變量， 則測量值則測量值x的數(shù)學期望為的數(shù)學期望為 niixnxM11lim xMxii 則易知：隨機誤差：則易知：隨機誤差：系統(tǒng)誤差：系統(tǒng)誤差： 絕對誤差：絕對誤差： )(00為真值為真值AAxM iiAx0ix2021-11-18北京交

20、通大學電氣工程學院 姜學東2-30 niixMxnX122)(1)( i 測量值的方差反映了測量值的離散程度，也就是隨機誤差測量值的方差反映了測量值的離散程度，也就是隨機誤差對測量值的影響。對測量值的影響。1 1、 n（1 1）、數(shù)據(jù)為離散時）、數(shù)據(jù)為離散時 niixnXM11)(相當于算術平均值相當于算術平均值測量值的數(shù)學期望反映了測量值平均的結果；測量值的數(shù)學期望反映了測量值平均的結果；2021-11-18北京交通大學電氣工程學院 姜學東2-31 （2 2）、數(shù)據(jù)為連續(xù)時）、數(shù)據(jù)為連續(xù)時xxxXxPxx )()(lim0 dxxxXM)()( dxxxMxX)()()(22 2021-11

21、-18北京交通大學電氣工程學院 姜學東2-32 2 2、n n為有限次時為有限次時)()(XMXM)()(XX （1 1）、有限次測量時平均值的數(shù)學期望和方差）、有限次測量時平均值的數(shù)學期望和方差21XMxMxMxMn 21Xxxxn 對于一系列等精密度的測量，當測量系統(tǒng)、測量條件對于一系列等精密度的測量，當測量系統(tǒng)、測量條件和被測量不變，則具有相同的數(shù)學期望和標準偏差。和被測量不變，則具有相同的數(shù)學期望和標準偏差。2021-11-18北京交通大學電氣工程學院 姜學東2-33 概率論中兩個定理：概率論中兩個定理：一、幾個隨機變量一、幾個隨機變量之和的數(shù)學期望之和的數(shù)學期望等于各隨機變量等于各隨

22、機變量的的數(shù)學期望之和數(shù)學期望之和。二、幾個相互獨立的隨機變量二、幾個相互獨立的隨機變量之和的方差之和的方差等于各個等于各個隨機變量隨機變量方差之和方差之和。 當我們對某被測量進行一系列當我們對某被測量進行一系列獨立獨立的的等精密度等精密度的的測量時，也就是說，從統(tǒng)計學觀點來看，測量系統(tǒng)、測測量時，也就是說，從統(tǒng)計學觀點來看，測量系統(tǒng)、測量條件、和被測量不變，他們具有相同的數(shù)學期望和標量條件、和被測量不變，他們具有相同的數(shù)學期望和標準偏差。準偏差。 )()x(xiXMMM ）（Xxnxxniin2122122)(1)( iixnMxM2021-11-18北京交通大學電氣工程學院 姜學東2-34

23、 或：或：nXx)()( 結論：結論：1 1、平均值的數(shù)學期望等于總體數(shù)學期望、平均值的數(shù)學期望等于總體數(shù)學期望)()(XMxM nXx)()( 標準偏差標準偏差2 2、平均值的方差減少了、平均值的方差減少了n n倍。倍。2021-11-18北京交通大學電氣工程學院 姜學東2-35 )(XMx 用平均值估計用平均值估計M(X).M(X).x對于方差對于方差, ,用貝塞爾公式估計用貝塞爾公式估計: :1)(122nvXnii或或1)( 12nvXnii殘差殘差xxvii （2 2）、用有限次測量估計測量值的數(shù)學期望和方差）、用有限次測量估計測量值的數(shù)學期望和方差2021-11-18北京交通大學電

24、氣工程學院 姜學東2-36 數(shù)學期望和方差數(shù)學期望和方差總體數(shù)學期望總體數(shù)學期望總體方差總體方差均值數(shù)學期望均值數(shù)學期望均值方差均值方差數(shù)學期望估計數(shù)學期望估計方差估計方差估計)(XM)()(XMxM )(XMx )(2X nXx)()( 1)(12 nv2Xnii 2021-11-18北京交通大學電氣工程學院 姜學東2-37 二、異常數(shù)據(jù)的剔除二、異常數(shù)據(jù)的剔除異常數(shù)據(jù)異常數(shù)據(jù)：誤差絕對值較大的測量數(shù)據(jù)，它對測量值：誤差絕對值較大的測量數(shù)據(jù)，它對測量值的平均值及標準偏差估計值都有較大的影響。的平均值及標準偏差估計值都有較大的影響。產(chǎn)生原因產(chǎn)生原因：測量儀器、測量方法、測量條件不正常或：測量儀

25、器、測量方法、測量條件不正常或測量人員的錯誤所造成。測量人員的錯誤所造成。判別異常數(shù)據(jù)的思路：給定置信概率、找出相應區(qū)間、判別異常數(shù)據(jù)的思路：給定置信概率、找出相應區(qū)間、區(qū)間外數(shù)據(jù)即為異常數(shù)據(jù)。區(qū)間外數(shù)據(jù)即為異常數(shù)據(jù)。2021-11-18北京交通大學電氣工程學院 姜學東2-38 判別異常數(shù)據(jù)常用準則：判別異常數(shù)據(jù)常用準則：萊特準則：萊特準則：)(3,10Xxxni 肖維納準則：肖維納準則：)( Xchxxi 格拉布斯準則：格拉布斯準則：)( Xgxxi 對于均勻分布：對于均勻分布：)(2Xxxi )(73.1Xxxi 2021-11-18北京交通大學電氣工程學院 姜學東2-39由于隨機誤差的影

26、響，測量數(shù)據(jù)有一定的分散性由于隨機誤差的影響，測量數(shù)據(jù)有一定的分散性在正態(tài)分布下，由統(tǒng)計學知識在正態(tài)分布下，由統(tǒng)計學知識 9973. 09545. 06827. 03322 dpdpdp 2021-11-18北京交通大學電氣工程學院 姜學東2-40 即誤差絕對值超過即誤差絕對值超過3G（x）的概率分布僅）的概率分布僅占占0.27%，因此常把，因此常把3G（x）作為判別異常數(shù)）作為判別異常數(shù)據(jù)的界限。據(jù)的界限。 3 r 2 r工程技術中工程技術中即置信系數(shù)為即置信系數(shù)為3、2。計量技術中取計量技術中取2021-11-18北京交通大學電氣工程學院 姜學東2-41 在測量數(shù)據(jù)為正態(tài)分布的情況下，如果

27、測量次數(shù)在測量數(shù)據(jù)為正態(tài)分布的情況下，如果測量次數(shù)足夠多，習慣上取足夠多，習慣上取3G（x）作為判別異常數(shù)據(jù)的界限，）作為判別異常數(shù)據(jù)的界限，稱為萊特準則。（足夠多指稱為萊特準則。（足夠多指n10次）次）2021-11-18北京交通大學電氣工程學院 姜學東2-42 三、誤差的處理三、誤差的處理系統(tǒng)誤差的處理：系統(tǒng)誤差的處理：1 1、確定系統(tǒng)誤差是否存在；、確定系統(tǒng)誤差是否存在；2 2、分析原因，在測量前和測量過程中盡力消除；、分析原因，在測量前和測量過程中盡力消除；3 3、對掌握了大小和方向的系統(tǒng)誤差，采用一定、對掌握了大小和方向的系統(tǒng)誤差，采用一定的方法對殘余的系統(tǒng)誤差進行修正；的方法對殘余

28、的系統(tǒng)誤差進行修正；4 4、對不能掌握大小和方向的系統(tǒng)誤差，要盡力、對不能掌握大小和方向的系統(tǒng)誤差，要盡力估計大體范圍，掌握對測量結果的影響。估計大體范圍，掌握對測量結果的影響。采用一些專門的測采用一些專門的測量技術和測量方法量技術和測量方法2021-11-18北京交通大學電氣工程學院 姜學東2-43 1 1、恒值系差的判別：、恒值系差的判別： 用多次測量的平均值與被測量真值之間是否用多次測量的平均值與被測量真值之間是否存在差異的辦法來檢驗。存在差異的辦法來檢驗。系統(tǒng)誤差分為系統(tǒng)誤差分為恒值系差恒值系差和和變值系差變值系差。由前述公式可知，測量的絕對誤差由前述公式可知，測量的絕對誤差系統(tǒng)誤差隨

29、機誤差,ix2021-11-18北京交通大學電氣工程學院 姜學東2-44對于同時存在的隨機誤差和系統(tǒng)誤差的測量數(shù)據(jù)，對于同時存在的隨機誤差和系統(tǒng)誤差的測量數(shù)據(jù)，只要測量次數(shù)足夠多，各次測量絕對誤差的算術只要測量次數(shù)足夠多，各次測量絕對誤差的算術平均值就等于測量的系統(tǒng)誤差平均值就等于測量的系統(tǒng)誤差。01,11111niiniiniinnxn其中取平均值后，隨機誤差的影響可以消除。取平均值后，隨機誤差的影響可以消除。證明：證明：2021-11-18北京交通大學電氣工程學院 姜學東2-45例：用一數(shù)字電壓表在相同條件下測同一電源的電壓得例：用一數(shù)字電壓表在相同條件下測同一電源的電壓得到幾個數(shù)據(jù)如下。

30、經(jīng)計量單位鑒定該電源電壓的實際到幾個數(shù)據(jù)如下。經(jīng)計量單位鑒定該電源電壓的實際值為值為6.189V。求測量的系統(tǒng)誤差的估計值（。求測量的系統(tǒng)誤差的估計值（P24）i123456789101112Vi6.2386.2366.2276.2356.2286.2256.2376.2296.2346.2326.2246.230()( )( )v042. 0189. 6x121xxn1xxn1xn1n1ii0n1iin1i0in1ii=-=-=-=2021-11-18北京交通大學電氣工程學院 姜學東2-46變值系差變值系差累進性系差累進性系差周期性系差周期性系差2、變值系差的判別：2021-11-18北京交

31、通大學電氣工程學院 姜學東2-47 判據(jù)：判據(jù)：1 1、馬利可夫判據(jù)：、馬利可夫判據(jù)：用于累進性系差的判別。用于累進性系差的判別。N N為偶數(shù)時為偶數(shù)時N N為奇數(shù)時為奇數(shù)時 nniiniivvM1221 nniiniivvM2)3(2)1(1ivMmax 當當存在累進性系差存在累進性系差2021-11-18北京交通大學電氣工程學院 姜學東2-48 2 2、阿卑、阿卑- -赫梅特判據(jù)赫梅特判據(jù)常用于判別周期性系差，也可用來發(fā)現(xiàn)累進性系差。常用于判別周期性系差，也可用來發(fā)現(xiàn)累進性系差。若若)(12111Xnvvniii 則認為測量中存在變值系差。則認為測量中存在變值系差。2021-11-18北京

32、交通大學電氣工程學院 姜學東2-49 消除或減弱系統(tǒng)誤差的典型測量技術消除或減弱系統(tǒng)誤差的典型測量技術根據(jù)測量的具體條件和內(nèi)容，可選擇以下幾種方法：根據(jù)測量的具體條件和內(nèi)容，可選擇以下幾種方法：1 1、零示法、零示法G GV VVxVxR1R1R2R2使被測量對指示儀表的作用與某已知的標準量對它的使被測量對指示儀表的作用與某已知的標準量對它的作用相互平衡，使指示儀表示零，被測量等于標準量。作用相互平衡，使指示儀表示零，被測量等于標準量。212RRREVVx 2021-11-18北京交通大學電氣工程學院 姜學東2-50 2 2、代替法（置換法）、代替法（置換法） 是在測量條件不變情況下，用一個標

33、準已知量代替是在測量條件不變情況下，用一個標準已知量代替被測量，并調(diào)整標準量使儀器的示值不變，那么，被測被測量，并調(diào)整標準量使儀器的示值不變，那么，被測量等于標準量的數(shù)值。量等于標準量的數(shù)值。G GRxRxR3R3R1R1R2R2G GR0R0R3R3R1R1R2R22021-11-18北京交通大學電氣工程學院 姜學東2-51 3 3、交換法（對照法）、交換法（對照法） 進行兩次測量，交換被測量在系統(tǒng)中的位置或進行兩次測量，交換被測量在系統(tǒng)中的位置或測量方向使兩次測量中誤差源對被測量的作用相反，測量方向使兩次測量中誤差源對被測量的作用相反，對照兩次測量值，取平均值，減小系統(tǒng)誤差影響。對照兩次測

34、量值，取平均值，減小系統(tǒng)誤差影響。4 4、微差法、微差法 與零示法類似，不同的是，被測量與標準量存在與零示法類似，不同的是，被測量與標準量存在微差，不能完全消除指示儀表誤差帶來的影響，但微差，不能完全消除指示儀表誤差帶來的影響，但不需要標準量連續(xù)可調(diào)。使用較為廣泛。不需要標準量連續(xù)可調(diào)。使用較為廣泛。2021-11-18北京交通大學電氣工程學院 姜學東2-52思想：利用萊特準則，去除粗大誤差，求出標準誤差思想：利用萊特準則，去除粗大誤差，求出標準誤差步驟：步驟： a.按測量先后次序列成表格按測量先后次序列成表格 b.計算算術平均值計算算術平均值 c.計算剩余誤差計算剩余誤差 vi d.計算均方

35、根差（標準誤差）計算均方根差（標準誤差）1 e.檢查有無檢查有無3的的vi g.重新整理表格重新整理表格 h.重新求均方根差重新求均方根差2如此循環(huán)，直到全部在如此循環(huán)，直到全部在3之內(nèi)。之內(nèi)。 j.結果輸出。結果輸出。隨機誤差的處理：隨機誤差的處理：ixx3 2021-11-18北京交通大學電氣工程學院 姜學東2-53利用軟件來實現(xiàn)：利用軟件來實現(xiàn)：流程圖如下：流程圖如下：數(shù)據(jù)輸入列表計算剩余誤差Vi清除粗大誤差12nvii3iv3 xxx求 0iV 2021-11-18北京交通大學電氣工程學院 姜學東2-54 總誤差與分項誤差的關系：總誤差與分項誤差的關系：各分項誤差各分項誤差總誤差總誤差

36、合成合成限定總誤差限定總誤差各分項誤差各分項誤差分配分配一、誤差傳遞公式一、誤差傳遞公式設設)(2, 1xxfy 若若 y y 在在 附近各階附近各階),(2010 xxf偏導數(shù)存在，則可把偏導數(shù)存在，則可把y y展開為臺勞級數(shù)，且略去高階展開為臺勞級數(shù)，且略去高階小量，有：小量，有：（三）（三）測量誤差的合成與分配測量誤差的合成與分配2021-11-18北京交通大學電氣工程學院 姜學東2-55 221120100),(xxfxxfxxfyyyy 同理，有同理，有m m個分項時，有個分項時，有jmjjxxfy 1（1 1）（1 1）式適用于函數(shù)的和、差關系。）式適用于函數(shù)的和、差關系。例：例：

37、321xxxy 2021-11-18北京交通大學電氣工程學院 姜學東2-56 對于相對誤差，有：對于相對誤差，有： mjjjmjjjmmjjjmyxxfxxffxxfxxfxxfyyy11111ln),(),( （2 2）將（將（1 1）式代入式代入2021-11-18北京交通大學電氣工程學院 姜學東2-57 二、系統(tǒng)誤差的合成二、系統(tǒng)誤差的合成mmxxfxxfxxfy 2211有：有：)()()(2221111mmmxfxfxfy （2 2）式適用于函數(shù)乘、商、開方和乘方關系。）式適用于函數(shù)乘、商、開方和乘方關系。例：例：323321)(xxxy 2021-11-18北京交通大學電氣工程學院

38、 姜學東2-58 三、隨機誤差的合成三、隨機誤差的合成根據(jù)上述的推導，若系差為零，則有：根據(jù)上述的推導，若系差為零，則有：jmjjyxf 1如隨機誤差可以忽略，則有：如隨機誤差可以忽略，則有：jmjjyxf 12021-11-18北京交通大學電氣工程學院 姜學東2-59四、分配四、分配對于對于m m項相互獨立的分項測量結果，有：項相互獨立的分項測量結果，有：)()()(2212jmjjxxfy 常見的誤差分配原則常見的誤差分配原則: :1 1、等準確度分配、等準確度分配指以相等的誤差分配到各分項。指以相等的誤差分配到各分項。2021-11-18北京交通大學電氣工程學院 姜學東2-60 )()(

39、)(2121mmxxx jmjjyxf 1)()()(2212jmjjxxfy mjjjmjjyjxfyxmjxf121)()()()1( , 2021-11-18北京交通大學電氣工程學院 姜學東2-61 2 2、等作用分配、等作用分配指分配給各分項的誤差對測量誤差總和的作用指分配給各分項的誤差對測量誤差總和的作用或?qū)偤偷挠绊懴嗤??；驅(qū)偤偷挠绊懴嗤?()()(22222212212211mmmmxxfxxfxxfxfxfxf 2021-11-18北京交通大學電氣工程學院 姜學東2-62 分配給各分項的誤差為：分配給各分項的誤差為：jyjxfm jjxfmyx )()( 2021-11-1

40、8北京交通大學電氣工程學院 姜學東2-63 一、有效數(shù)字及數(shù)字的舍入規(guī)則一、有效數(shù)字及數(shù)字的舍入規(guī)則有效數(shù)字：有效數(shù)字：規(guī)定誤差不得超過末位單位數(shù)字的一半，規(guī)定誤差不得超過末位單位數(shù)字的一半，從左邊第一個不為零的數(shù)字起，到右面從左邊第一個不為零的數(shù)字起，到右面最后一個數(shù)字止，為有效數(shù)字。最后一個數(shù)字止，為有效數(shù)字。（四）（四）測量數(shù)據(jù)的處理測量數(shù)據(jù)的處理在測量中不可避免地存在誤差，并且儀器的分在測量中不可避免地存在誤差，并且儀器的分辨能力也有限，測量數(shù)據(jù)不可能完全準確。為辨能力也有限，測量數(shù)據(jù)不可能完全準確。為了表示得確切，通常規(guī)定誤差不得超過末位單了表示得確切，通常規(guī)定誤差不得超過末位單位數(shù)

41、字的一半。位數(shù)字的一半。2021-11-18北京交通大學電氣工程學院 姜學東2-64有效數(shù)字中除末位外前面各位數(shù)字都是準確有效數(shù)字中除末位外前面各位數(shù)字都是準確的，只有末位數(shù)欠準，但包含的誤差不應大的，只有末位數(shù)欠準，但包含的誤差不應大于末位單位數(shù)字的一半。于末位單位數(shù)字的一半。 3.860V，表示誤差絕對值不大于，表示誤差絕對值不大于0.0005V3.86V，表示誤差絕對值不大于，表示誤差絕對值不大于0.005V科學計數(shù)法，科學計數(shù)法，3.910 x105 4位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。2021-11-18北京交通大學電氣工程學院 姜學東2-65小于小于5 5舍，大于舍，大于5 5入，等于入，等于5 5時取偶數(shù)。時取偶數(shù)。舍入規(guī)則：舍入規(guī)則：如如12.60 12.61 12.62 12.63 對每個測量值，小數(shù)點后第對每個測量值，小數(shù)點后第2位都包含有誤差，所以位都包含有誤差，所以小數(shù)點后第三位無意義，要按舍入原則處理掉。小數(shù)點后第三位無意義，要按舍入原則處理掉。古典的古典的“四舍五入四舍五入”有缺陷。如有缺陷。如n