圓錐曲線的解題技巧和方法

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載圓錐曲線的解題技巧一、考查目標(biāo)：1、熟練掌握三大曲線的定義和性質(zhì)；2 、能夠處理圓錐曲線的相關(guān)軌跡問(wèn)題；3 、能夠處理圓錐曲線的相關(guān)定值、最值問(wèn)題。二、相關(guān)知識(shí)考查：1 、準(zhǔn)確理解基本概念（如直線的傾斜角、斜率、距離等，也要注意斜率的存在與否）2、熟練掌握基本公式（如兩點(diǎn)間距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式、斜率公式、定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式、到角公式、夾角公式等）3、熟練掌握求直線方程的方法（如根據(jù)條件靈活選用各種形式、討論斜率存在和不存在的各種情況等等）4、在解決直線與圓的位置關(guān)系問(wèn)題中，要善于運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)以減少運(yùn)算5、了解線性規(guī)劃的意義及簡(jiǎn)單應(yīng)用6、熟悉圓錐曲線中基本量的計(jì)算7、

2、掌握與圓錐曲線有關(guān)的軌跡方程的求解方法（如：定義法、直接法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法、交軌法、幾何法、待定系數(shù)法等）8、掌握直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的常見(jiàn)判定方法，能應(yīng)用直線與圓錐曲線的位置關(guān)系解決一些常見(jiàn)問(wèn)題三、常規(guī)七大題型：（1）中點(diǎn)弦問(wèn)題具有斜率的弦中點(diǎn)問(wèn)題，常用設(shè)而不求法（點(diǎn)差法）：設(shè)曲線上兩點(diǎn)為( x1 , y1 ) ，( x2 , y2 ) ，代入方程，然后兩方程相減，再應(yīng)用中點(diǎn)關(guān)系及斜率公式（當(dāng)然在這里也要注意斜率不存在的請(qǐng)款討論），消去四個(gè)參數(shù)。如：（ 1 ） x2y 21(a b0) 與直線相交于A、 B，設(shè)弦AB 中點(diǎn)為M(x 0 ,y0)，則有a 2b 2x0y0k0。a2b2（

3、 2 ） x2y21(a0,b0) 與直線 l 相交于A 、 B，設(shè)弦AB 中點(diǎn)為M(x 0 0a2b2,y )則有x0y0k0a2b2（3） y2=2px（ p>0）與直線 l 相交于 A、 B 設(shè)弦 AB 中點(diǎn)為 M(x 0,y0),則有 2y0k=2p,即 y0k=p.學(xué)習(xí)必備歡迎下載典型例題給定雙曲線 x2y2P1 及 P2，1 。過(guò) A（ 2，1）的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)2求線段 P1 P2 的中點(diǎn) P 的軌跡方程。（2）焦點(diǎn)三角形問(wèn)題橢圓或雙曲線上一點(diǎn)P，與兩個(gè)焦點(diǎn)F1 、 F2 構(gòu)成的三角形問(wèn)題，常用正、余弦定理搭橋。典型例題x 2y21上任一點(diǎn)，F(xiàn)1 ( c,0) ， F2

4、 (c,0) 為焦 點(diǎn)，設(shè) P(x,y)為 橢圓b2a 2PF1 F2， PF2 F1。（ 1）求證離心率 esin()sinsin；（ 2）求 |PF1|3 PF2|3的最值。（3）直線與圓錐曲線位置關(guān)系問(wèn)題直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的基本方法是解方程組，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元二次方程后利用判別式、 根與系數(shù)的關(guān)系、 求根公式等來(lái)處理， 應(yīng)特別注意數(shù)形結(jié)合的思想， 通過(guò)圖形的直觀性幫助分析解決問(wèn)題，如果直線過(guò)橢圓的焦點(diǎn)，結(jié)合三大曲線的定義去解。典型例題拋物線方程 y 2p( x1) (p0) ，直線 xyt與 x軸的交點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線的右邊。（ 1）求證：直線與拋物線總有兩個(gè)不同交點(diǎn)（ 2）設(shè)直線與拋物

5、線的交點(diǎn)為A、 B，且 OA OB，求 p 關(guān)于 t 的函數(shù) f(t) 的表達(dá)式。學(xué)習(xí)必備歡迎下載（4）圓錐曲線的相關(guān)最值（范圍）問(wèn)題圓錐曲線中的有關(guān)最值（范圍）問(wèn)題，常用代數(shù)法和幾何法解決。<1>若命題的條件和結(jié)論具有明顯的幾何意義，一般可用圖形性質(zhì)來(lái)解決。<2>若命題的條件和結(jié)論體現(xiàn)明確的函數(shù)關(guān)系式，則可建立目標(biāo)函數(shù)（通常利用二次函數(shù)，三角函數(shù)，均值不等式）求最值。（ 1），可以設(shè)法得到關(guān)于a 的不等式，通過(guò)解不等式求出a 的范圍，即： “ 求范圍，找不等式 ”?；蛘邔 表示為另一個(gè)變量的函數(shù)，利用求函數(shù)的值域求出a 的范圍；對(duì)于（2）首先要把NAB 的面積表示為

6、一個(gè)變量的函數(shù)，然后再求它的最大值,即：“ 最值問(wèn)題，函數(shù)思想 ”。最值問(wèn)題的處理思路：1、建立目標(biāo)函數(shù)。用坐標(biāo)表示距離，用方程消參轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的最值問(wèn)題，關(guān)鍵是由方程求x、 y 的范圍；2、數(shù)形結(jié)合，用化曲為直的轉(zhuǎn)化思想；3、利用判別式，對(duì)于二次函數(shù)求最值，往往由條件建立二次方程，用判別式求最值；4、借助均值不等式求最值。典型例題已知拋物線 y2=2px(p>0)，過(guò) M（ a,0）且斜率為 1 的直線 L 與拋物線交于不同的兩點(diǎn) A、B， |AB| 2p（ 1）求 a 的取值范圍；（ 2）若線段 AB 的垂直平分線交 x 軸于點(diǎn) N，求 NAB 面積的最大值。（ 5）求曲線的方

7、程問(wèn)題1曲線的形狀已知 - 這類(lèi)問(wèn)題一般可用待定系數(shù)法解決。典型例題已知直線 L 過(guò)原點(diǎn)，拋物線C 的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x 軸正半軸上。若點(diǎn)A（ -1， 0）和點(diǎn) B（ 0，8）關(guān)于 L 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)都在C上，求直線L 和拋物線C 的方程。學(xué)習(xí)必備歡迎下載2曲線的形狀未知-求軌跡方程典型例題已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q（ 2，0）和圓 C：x2+y2 =1, 動(dòng)M點(diǎn) M 到圓 C的切線長(zhǎng)與 |MQ| 的比等于常數(shù)（ >0）,N求動(dòng)點(diǎn) M 的軌跡方程，并說(shuō)明它是什么曲線。OQ（6） 存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)問(wèn)題在曲線上兩點(diǎn)關(guān)于某直線對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，可以按如下方式分三步解決：求兩點(diǎn)所在的直線，求這兩直線的交點(diǎn)，

8、使這交點(diǎn)在圓錐曲線形內(nèi)。 （當(dāng)然也可以利用韋達(dá)定理并結(jié)合判別式來(lái)解決）典型例題已知橢圓x 2y 2m 的取值范圍，使得對(duì)于直線C 的方程1，試確定4 3 y 4x m ，橢圓 C 上有不同兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)學(xué)習(xí)必備歡迎下載（7）兩線段垂直問(wèn)題y1· y21來(lái)處理或用向量的坐標(biāo)圓錐曲線兩焦半徑互相垂直問(wèn)題，常用k1· k2· x2x1運(yùn)算來(lái)處理。典型例題已知直線 l 的斜率為 k ，且過(guò)點(diǎn) P(2,0) ，拋物線C: y2(x) ，直線與41l拋物線 C 有兩個(gè)不同的交點(diǎn)（如圖）。（ 1）求 k 的取值范圍；（ 2）直線 l 的傾斜角 為何值時(shí)， A、 B 與拋物線

9、C 的焦點(diǎn)連線互相垂直。四、解題的技巧方面：在教學(xué)中， 學(xué)生普遍覺(jué)得解析幾何問(wèn)題的計(jì)算量較大。事實(shí)上， 如果我們能夠充分利用幾何圖形、韋達(dá)定理、曲線系方程，以及運(yùn)用“設(shè)而不求”的策略，往往能夠減少計(jì)算量。下面舉例說(shuō)明：（1）充分利用幾何圖形解析幾何的研究對(duì)象就是幾何圖形及其性質(zhì)，所以在處理解析幾何問(wèn)題時(shí)，除了運(yùn)用代數(shù)方程外，充分挖掘幾何條件，并結(jié)合平面幾何知識(shí)，這往往能減少計(jì)算量。典型例題設(shè)直線 3x4 ym0 與圓 x 2y2x2y0 相交于 P、 Q 兩點(diǎn)， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OPOQ ，求 m 的值。學(xué)習(xí)必備歡迎下載（2） 充分利用韋達(dá)定理及“設(shè)而不求”的策略我們經(jīng)常設(shè)出弦的端點(diǎn)坐標(biāo)而不

10、求它，而是結(jié)合韋達(dá)定理求解，這種方法在有關(guān)斜率、中點(diǎn)等問(wèn)題中常常用到。典型例題已知中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在y 軸上的橢圓與直線yx1 相交于P、Q 兩點(diǎn)，且OPOQ，| PQ|10，求此橢圓方程。2（3） 充分利用曲線系方程利用曲線系方程可以避免求曲線的交點(diǎn)，因此也可以減少計(jì)算。典型例題求經(jīng)過(guò)兩已知圓C1： x 2y 24 x 2y 0 和 C2 ：x2y 22y 4 0 的交點(diǎn)，且圓心在直線 l ： 2x4y 10 上的圓的方程。（4）充分利用橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性， 可以解決相關(guān)的求最值的問(wèn)題這也是我們常說(shuō)的三角代換法。典型例題P 為橢圓 x2y21上

11、一動(dòng)點(diǎn)， A 為長(zhǎng)軸的右端點(diǎn)， B 為短軸的上端點(diǎn)，求四a2b2邊形 OAPB面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P 的坐標(biāo)。學(xué)習(xí)必備歡迎下載（5）線段長(zhǎng)的幾種簡(jiǎn)便計(jì)算方法 充分利用現(xiàn)成結(jié)果，減少運(yùn)算過(guò)程一般地，求直線與圓錐曲線相交的弦AB 長(zhǎng)的方法是：把直線方程ykxb 代入圓錐曲線方程中，得到型如ax 2bxc0的方程，方程的兩根設(shè)為x A ， xB ，判別式為，則 |AB|1k 2 ·|xAxB |1k 2·| a |，若直接用結(jié)論，能減少配方、開(kāi)方等運(yùn)算過(guò)程。例求直線xy10 被橢圓x 24 y 216 所截得的線段AB 的長(zhǎng)。 結(jié)合圖形的特殊位置關(guān)系，減少運(yùn)算在求過(guò)圓錐曲線焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)時(shí)， 由于圓錐曲線的定義都涉及焦點(diǎn)， 結(jié)合圖形運(yùn)用圓錐曲線的定義，可